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2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理一、广勾股定理勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍证明(1)设ABC中，AC是锐角B的对边(图24)作BHAC于H，因为AB2=BH2+AH2，BC2=BH2CH2，所以，BC2-AB2=CH2-AH2BC2=AB2+CH2-AH2 (1)但是CH2=(ACAH)2 =AC2-2ACAH+AH2 (2)将(2)代入(1)就得到BC2=AB2AC2-2ACAH(当H在AC边的延长线上时，结论是一样的)ABCH图2-4(2)设在ABC中，BC是钝角A的对边(图25)作BHCA于H，则 BC2CH2+BH2AB2=AH2+BH2BC2AB2+CH2-AH2 (1)但是CH2=(AC+AH)2=AC22ACAHAH2(2)将(2)代入(1)就得到BC2=AB2AC22ACAH由勾股定理和广勾股定理可以得到如下结论：三角形的一角是锐角、直角或钝角时，它的对边的平方比其他两边的平方和较小、相等或较大，并且其逆命题也成立二、斯特瓦尔特(stewart)定理设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2DC+AC2BD-AD2BCBCDCBD证明 在图26中，作AHBC于H为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有AC2=AD2DC2-2DCDH，(1)AB2=AD2+BD2+2BDDH (2)用BD乘(1)式两边得AC2BD=AD2BD+DC2BD-2DCDHBD，(1)用DC乘(2)式两边得AD2DC=AD2DCBD2DC2BDDHDC(2)由(1)+(2)得到AC2BD+AB2DC=AD2(BDDC)+DC2BDBD2DC而AD2(BDDC)+DC2BDBD2DC =AD2BC+BDDCBCAB2DCAC2BD-AD2BC=BCDCBD三、三角形中几条重要线段的计算(一)已知ABC中，BCa，ACb，AB=c，ma，mb，mc分别表示BC、AC、AB边上的中线，求ma，mb，mc解在图27中，设D是BC边的中点，ADma，代入斯特瓦尔特定理之关系式则有(二)设AD=ta为ABC中角A的平分线(图28)ABc，ACb，BC=a，求ta解AD是A的平分线，将BD、CD之值代入斯特瓦尔特定理之关系式，则有(tb、tc分别是ABC中B、C的角平分线之长)(三)设ABC中，ha是BC边上的高线，求ha和ABC的面积解：设图29中，ADBC于D，AD=ha由广勾股定理得b2=c2a2-2aBD 消去BD
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