四年级奥数讲义380学子教案库第9讲竞赛123班教师版.doc

第九讲 排列组合教学目标1. 加强对排列组合知识的理解；2. 掌握排列组合问题的解题思路。经典精讲排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。这就是排列问题。在排列的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物之间的先后顺序有关。一般地，从个不同的元素中任取出个（）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样。如果两个排列的元素不完全相同，或者各元素的排列顺序不完全一样，则就是两个不同的排列。从个不同元素中取出个（）元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，我们把它记做（），。当时就有，这称为个不同元素的全排列。讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！计算：； 分析：；。【例1】 （年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）将、七位同学在操场排成一列，其中学生与必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法？【分析】 （法）七人排成一列，其中要与相邻，分两种情况进行考虑。若站在两端，有两种选择，只有一种选择，另五人的排列共有种，所以这种情况有种不同的站法。若站在中间，有五种选择，无论在中间何处，都有两种选择。另五人的排列共有种，所以这种情况共有种不同的站法。所以共有种不同的站法。（法）由于与必须相邻，可以把与当作一个整体来考虑，这样相当于个元素的全排列，另外注意、内部有种不同的站法，所以共有种不同的站法。【例2】 小明的书架上原来有本书，不重新排列，再放上本书，可以有多少种不同的放法?【分析】 （法）放第一本书时，有原来的本书之间和两端的书的外侧共个位置可以选择；放第二本书时，有已有的本书之间和两端的书的外侧共个位置可以选择。同样道理，放第三本书时，有个位置可以选择。由乘法原理，一共可以有种不同的放法。（法）原有本书，再放上本书后共有本书，相当于个位置放本书，后放上的本书有种放法，这本书放好后，剩下六个位置放原有的本书，由于原有的本书之间的顺序是确定的，所以只有种放法，根据乘法原理，共有种放法。【例3】 （年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）不重复地使用数字、，请问共可组成多少个不同的三位数偶数？【分析】 不重复地使用数字、组成不同的三位偶数，不能为首位，且个位数字必须是偶数。当个位为时百位和十位上的数字可以从余下的个数字中任选两个进行排列，有种，由乘法原理知此时有个。当个位数字不为时，个位有种选择，百位有种选择，十位有种选择，由乘法原理知此时有个。所以共有个。前铺 用、可以组成多少个没有重复数字的三位数? 用、可以组成多少个三位数？分析 要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成个没有重复数字的三位数。没有要求数字不能重复，所以不能直接用来计算，可以分步考虑，用乘法原理可得共有个。注意“可以重复”和“没有重复”的区别！巩固 用、可以组成多少个没重复数字的三位数？分析 （法）本题中要注意的是不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从、这四个数字中选择一个，有种方法；十位和个位上的数字可以从余下的个数字中任选两个进行排列，有种方法。由乘法原理得，此种三位数的个数是：(个)。（法）：从、中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是的。从、这五个数字中任选三个数字的排列数为，其中首位是的三位数有个。三位数的个数是：(个)。本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素。【例4】 一栋层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停。在一楼有人进了电梯，其中至少有一人要上楼，则他们到各层的可能情况共有多少种?【分析】 每个人都可以在第层至第层中任何一层出电梯，有种情况，那么三个人一共有种情况，其中，都不到楼的情况有种。因此，至少有一人要上楼的情况有种。【例5】 某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题，每道题满分为分，给分时只能给出自然数，分。已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是，而且任意二人各题得分不完全相同，那么请问参加竞赛的最多有多少人?【分析】 将分解为不大于的三个数的乘积，有、这三种情况。考虑到因数的先后顺序，第一种情况，有三个位置可选择，其余位置放，有种顺序；第二种情况与第一种情况相似，有种顺序；最后一种情况，有种顺序。由加法原理，一共有种顺序，所以参赛的最多有人。巩固 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是。为确保打开保险柜，至少要试多少次？分析 四个数字之和为的情况有种：，分别计算这种情况。对于“”这种情况有种；对于“”这种情况有种；，可知共有不同的情况，为确保打开保险柜，至少要试次。【例6】 七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：七个人排成一排，某两个同学都不能站在边上；七个人站成两排，前排三人，后排四人；七个人站成两排，前排三人，后排四人，某两个同学不在同一排。【分析】 先排两边，从除不能站在边上的两个同学之外的个人中选个人排在边上，再排剩下的个人，共有（种）站法。七个人排成一排时，个位置就是各不相同的。现在排成两排，不管前后排各有几个人，个位置还是各不相同的，所以本题实质就是个元素的全排列，所以共有（种）不同站法。不能站在同一排的两个同学一个站在前排，一个站在后排，有种站法；站在前排的有种选择，站在后排的有种选择，其他个位置共有种站法，根据乘法原理共有种不同的站法。组合一般地，从个不同元素中取出个（）元素组成一组，不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关。只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。从个不同元素中取出个元素（）的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数，记作，这就是组合数公式。讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将组合公式的计算练习一下！计算：，；，分析：，；，注意：从中发现规律。【例7】 （年“希望杯”第一试）将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有_种不同的方法。【分析】 因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边。这样共有个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从个元素中取出个，所以共有种不同的放法。【例8】 一个盒子装有个编号依次为，的球，从中摸出个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少?【分析】 个编号中奇偶，要使个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：奇偶，对奇数只有种选择，对偶数有种选择。由乘法原理，有种选择；奇偶，对奇数有种选择，对偶数也有种选择。由乘法原理，有种选择；奇偶，对奇数有种选择，对偶数只有种选择。由乘法原理，有种选择。由加法原理，不同的摸法有种。前铺 在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法?分析 两个数的和是偶数，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题。从个偶数中取出个，有种取法；从个奇数中取出个，也有种取法。根据加法原理，一共有种不同的取法。【例9】 （年北京“数学解题能力展示”决赛）由数字组成五位数，要求这五位数中至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个。【分析】 这是一道组合计数问题。由于题目中仅要求至少各出现一次，没有确定出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由组成的五位数中，去掉仅有个或个数字组成的五位数即可。解法一：分两类：中恰有一个数字出现次，这样的数有(个)； 中有两个数字各出现次，这样的数有(个)。符合题意的五位数共有(个)。解法二：从反面想，由组成的五位数共有个；用两个数字共可以组成个五位数，但是这个数中包含有个只由一个数字组成的五位数，所以由中的某个数字组成的五位数共有个，由中的某个数字组成的五位数共有个，所以符合题意的五位数共有(个)。【例10】 从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛。在下列条件下，分别有多少种选法？恰有名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【分析】 恰有名女生入选，说明男生有人入选，应为种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求。运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：；人必须入选，则从剩下的人中再选出另外人，有种；从所有的选法种中减去这个人同时入选的种：。分三类情况：人无人入选；人仅有人入选；人中有人入选，共：。【例11】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【分析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船。若这人都不乘坐船，则恰好坐满两船，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；若两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，则船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法。故人都不乘坐船有种安全方法；若这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择。其余的个成人与个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种安全方法。所以，共有种安全乘法。【例12】 有名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通。从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可以开出多少张?【分析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参与情况分成三类：多面手不参加，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择。由乘法原理，有种选择。多面手中有一人参加，有种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，则需从名英语翻译员中再选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择。由乘法原理，有种选择；如果参加日文翻译，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中再选出名，有种选择。由乘法原理，有种选择。根据加法原理，多面手中有一人参加，有种选择。多面手中两人均参加，有一种选择，但此时又分三种情况：两人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种。情况中，还需从名英语翻译员中选出人，有种选择。需从名日语翻译员中选人，有种选择。由乘法原理，有种选择。情况中，需从名英语翻译员中选出人，有种选择。还需从名日语翻译员中选出人，有种选择。根据乘法原理，共有种选择。情况中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择。剩下的需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出名，有种选择。由乘法原理，有种选择。根据加法原理，多面手中两人均参加，一共有种选择。综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出张。附加题目【附1】 玩具厂生产一种玩具棒，共节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家厂共可生产_种颜色不同的玩具棒。【分析】 每节有种涂法，共有涂法(种)。但上述种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次。可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有(种)。故玩具棒最多有种不同的颜色。【附2】 某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语又会日语。现要从中选人，其中人做英语导游，另外人做日语导游。则不同的选择方法有多少种?【分析】 此题若从既会英语又会日语的人出发来讨论，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：只会日语的人都参加，则还需个多面手做日语导游，有种选择。从剩下的只会英语的人和多面手共人中选人做英语导游，有种，由乘法原理，有种选择。只会日语的人中有人参加，有种选择。还需从多面手中选人做日语导游，有种选择。剩下的只会英语的人和多面手共人中选人做英语导游，有种选择。由乘法原理，有种选择。只会日语的人不参加，需从多面手中选人做日语导游，有种选择。剩下的只会英语的人和多面手共人中选人做英语导游，有种选择。由乘法原理，有种选择。根据加法原理，不同的选择方法一共有种。【附3】 有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面。这些旗的模样、大小都相同。现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号?【分析】 按挂旗的面数来分类考虑。第一类：挂一面旗。从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示种不同信号；第二类：挂两面旗。按颜色分成：红黄（种）；红蓝（种）；黄蓝（ 种）；黄黄（种）；蓝蓝（种）；共种；第三类：挂三面旗。按颜色分类：红蓝蓝（种）；红黄黄（种）；红黄蓝（种）；黄黄蓝（种）；黄蓝蓝（种）；蓝蓝蓝（种）；共种；第四类：挂四面旗。按颜色分类：红黄黄蓝（或种）；红黄蓝蓝（或种）；红蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝（种）；黄蓝蓝蓝（种），共种；第五类：挂五面旗。按颜色分类：红黄黄蓝蓝（种）；红黄 蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝蓝（种），共种；第六类：挂六面旗。红黄黄蓝蓝蓝（种）。根据加法原理，共可以表示种不同的信号。巩固精练1. 某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻节目必须在第一天播出，体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？【分析】 某动画片和某新闻节目在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，有种选择；对于新闻节目可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，有种选择；体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，有种选择；剩下的个节目随意安排顺序，有种选择。由乘法原理，一共有种不同的播放节目方案。2. 由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?【分析】 先排独唱节目，四个节目随意排，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应种排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法，由乘法原理，一共有种不同的编排方法。3. 用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数?用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数?【分析】 先考虑在个数位上选个数位放，这两个的顺序无所谓，故是组合问题，有种选法；再从剩下的个数位上选个放，有种选法；剩下的个数位放，只有种选法。由乘法原理，这样的六位数有个。在前一问的情况下组成的个六位数中，首位是、的各个。如果将全部换成，这个首位是的数将不是六位数，所以用个，个，个可以组成互不相同的六位数的个数为个。4. 马路上有编号为，的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？【分析】 只灯关掉只，实际上还亮只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在只亮着的路灯之间的个空档中放入只熄灭的灯，有种方法。 乒乓球运动属于隔网对抗的技能类体育项目，起源于世纪末的英国，目前是世界上参与人数最多的三个体育项目之一。 年的汉城奥运会上，乒乓球首次被列为正式项目，到年北京主办第届奥运会时，它将是连续第六次出现在夏季奥运会正式比赛项目的名单上。 作为世界公认的中国的“国球”，乒乓球在奥运会上是中国体育代表团的优势项目，中国乒乓球队几乎垄断了奥运会这一项目的金牌。过去的届奥运会共计产生枚乒乓球金牌，其中枚都为中国运动员所摘取，旁落的枚金牌