复变函数习题解答(第1章)

1 p44 第一章习题第一章习题 一一 13 16 17 20 13 试证 arg z 0 D2 z Im z 0 D3 z Im z 0 1 首先 f z 在原点无定义 故 f z 在原点处不连续 2 设 a 且 a 0 则 f a 考察点列 zn a cos 1 n i sin 1 n n 显然 0 上的二元连 续函数 故 f z 是 D1上的连续函数 3 2 在 D2上 f z arccot x y 因 arccot x y 是 x y 2 y 0 上的二元连 续函数 故 f z 是 D2上的连续函数 3 3 在 D3上 f z arccot x y 因 arccot x y 是 x y 2 y 0 使得 Ur a z z a 0 0 使得 z Dk 当 z a 时 f z f a 设 min r 则 z D 当 z a 时 z Ur a Dk 又因 z a 故必有 f z f a 所以 f 在 a 处连续 由 a 的任意性 f z 是上的连续函数 连续性部分的证明可以用几何的方法 而且写起来会简单些 但我们之所以选 择这个看起来很复杂的方法 是可以从这里看出 z arg z 作为 x y 的二元函 数 在 D1 D2 D3上都有很明显的可导的表达式 因此它在区域 D 上不仅是连 续的 而且是连续可导二元函数 x y x2 y2 y x x2 y2 证明中的第四部分并不是多余的 这是因为若 f 在两个集合 A B 上都连续 即使 它们有公共的部分 一般说来 并不能保证 f 在两个集合 A B 上也连续 问题问题 若 f 在区域区域 A B 上都连续 且 A B 问 f 在 A B 上是否必连续 16 试问函数 f z 1 1 z 在单位圆 z 1 内是否连续 是否一致连续 解 1 f z 在单位圆 z 1 内连续 因为 z 在 内连续 故 f z 1 1 z 在 1 内连续 连续函数的四则运算 因 此 f z 在单位圆 z 1 内连续 2 f z 在单位圆 z 1 内不一致连续 令 zn 1 1 n wn 1 1 n 1 n 则 zn wn都在单位圆 z 0 故 f z 在单位圆 z 1 内不一致连续 2 也可以直接用实函数 f x 1 1 x 在 0 1 不一致连续来说明 只要把这个实 函数看成是 f z 在 E z Im z 0 0 Re z 0 N 使得 n N 有 zn z0 此时有 xn x0 zn z0 yn y0 zn z0 0 N1 使得 n N1 有 xn x0 N2 有 yn y0 N 有 n N1且 n N2 故有 zn z0 xn x0 i yn y0 xn x0 yn y0 0 K 使得 n K 有 zn z0 K 时 有 z1 z2 zn n z0 z1 z0 z2 z0 zn z0 n z1 z0 z2 z0 zn z0 n z1 z0 zK z0 n zK 1 z0 zn z0 n M n n K n 2 M n 2 因 lim n M n 0 故 L 使得 n L 有 M n K 时 有 z1 z2 zn n z0 M n 2 2 2 所以 lim n z1 z2 zn n z0 2 当 z0 时 结论不成立 这可由下面的反例看出 例 zn 1 n n n 显然 lim n zn 但 k 有 z1 z2 z2k 2k 1 2 因此数列 z1 z2 zn n 不趋向于 这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同 甚至反例都是一样的 p45 第一章习题第一章习题 二二 6 8 9 11 12 6 设 z 1 试证 a z b b z a 1 z 表示复数 z 的共轭 解 此题应该要求 b z a 0 a z b a z b a z b a z b z a z b z a z z b z a z 2 b z b z a 故 a z b b z a 1 8 试证 以 z1 z2 z3为顶点的三角形和以 w1 w2 w3为顶点的三角形同向相似的 3 充要条件为 0 1 1 1 33 22 11 wz wz wz 解 两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过 一系列的 旋转 平移 位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形 注意没有反射变换 例如 2 w1 z 1 1 3 z 2 z 3 z 2 z2 z3 z1 w2 w3 z 1 z 3 我们将采用下述的观点来证明 以 z1 z2 z3为顶点的三角形和以 w1 w2 w3为顶点的三角形同向相似的充要条件 是 将它们的一对对应顶点都平移到原点后 它们只相差一个位似旋转 记 f1 z z z1 将 z1变到 0 的平移 f3 z z w1 将 0 变到 w1的平移 那么 三角形 z1z2z3与三角形 w1w2w3同向相似 存在某个绕原点的旋转位似变换 f2 z z0 z 使得 f2 f1 zk f3 wk k 2 3 其中 z0 0 存在 z0 0 使得 z0 zk z1 wk w1 k 2 3 w2 w1 z2 z1 w3 w1 z3 z1 0 1313 1212 wwzz wwzz 0 1 1 100 1313 1212 wwzz wwzz 0 证完 1 1 1 33 22 11 wz wz wz 9 试证 四个相异点 z1 z2 z3 z4共圆周或共直线的充要条件是 z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 为实数 解 在平面几何中 共线的四个点 A B C D 的交比定义为 4 A B C D AC CB AD DB 这是射影几何中的重要的不变量 类似地 在复平面上 不一定共线的 四个点 z1 z2 z3 z4的交比定义为 z1z2 z3z4 z1 z3 z2 z3 z1 z4 z2 z4 本题的结论是说 复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数 分两种情况讨论 1 若 z1 z4 z1 z2 为实数 则 z3 z4 z3 z2 也是实数 设 z1 z4 z1 z2 t t 则 z4 1 t z1 t z2 故 z4在 z1 z2所确定的直线上 即 z1 z2 z4共线 因此 同理 z1 z2 z3也共线 所以 z1 z2 z3 z4是共线的 2 若 z1 z4 z1 z2 为虚数 则 z3 z4 z3 z2 也是虚数 故 Arg z1 z4 z1 z2 k Arg z3 z4 z3 z2 k 而 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 Arg z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 k 注意到 Arg z z4 z z2 Arg z4 z z2 z 是 z2 z 到 z4 z 的正向正向夹角 若 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 则 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的同侧 且它们对 z2 z4所张的角的大小大小相同 故 z1 z2 z3 z4是共圆的 若 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 则 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的异侧 且它们对 z2 z4所张的角的大小大小互补 故 z1 z2 z3 z4也是共圆的 也分两种情况讨论 1 若 z1 z2 z3 z4是共线的 则存在 s t 0 1 使得 z4 1 s z3 s z2 z4 1 t z1 t z2 那么 z3 z4 s z3 z2 即 z3 z4 z3 z2 s 而 z1 z4 t z1 z2 即 z1 z4 z1 z2 t 所以 z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 t s 2 若 z1 z2 z3 z4是共圆的 若 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的同侧 那么 Arg z4 z1 z2 z1 Arg z4 z3 z2 z3 因此 z4 z1 z2 z1 z4 z3 z2 z3 是实数 也就是说 z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 是实数 若 z1 z3在 z2 z4所确定的直线的异侧 则 Arg z4 z1 z2 z1 Arg z2 z3 z4 z3 2k 1 故 Arg z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z4 z3 z2 Arg z1 z4 z1 z2 Arg z3 z2 z3 z4 Arg z4 z1 z2 z1 Arg z2 z3 z4 z3 2k 1 所以 z1 z4 z1 z2 z3 z4 z3 z2 仍为实数 证完 这个题目写的很长 欢迎同学们给出更简单的解法 11 试证 方程 z z1 z z2 k 0 k 1 z1 z2 表示 z 平面的一个圆周 其圆心为 z0 半径为 且 z0 z1 k2 z2 1 k2 k z1 z2 1 k2 解 到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线 当比值不等于 1 时 轨迹 5 是一个圆 这个圆就是平面几何中著名的 Apollonius 圆 设 0 0 1 z 1 z 0 点 z 在 y 轴右侧 点 z 在点 1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的右侧 点 z 在点 1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的与 1 同侧的那一侧 点 z 到点 1 的距离大于点 z 到点 1 的距离 1 z 1 z 1 z 1 z 1 不用几何意义可以用下面的方法证明 设 z x i y x y 1 z 1 z 1 z 1 z 2 1 z 2 1 z2 2Re z 1 z2 2Re