【物】向心力习题

用心 爱心 专心 117 号编辑 1 20062006 年高考物理第一轮复习圆周运动二年高考物理第一轮复习圆周运动二 知识梳理 一 描述圆周运动的物理量 1 线速度 1 物理意义 描述质点沿圆周运动的快慢 2 方向 质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向 与过该点的半径垂直 3 大小 v s t s 是 t 时间内通过的弧长 2 角速度 1 物理意义 描述质点绕圆心转动的快慢 2 大小 t rad s 是连接质点和圆心的半径在 t 时间内转过的角度 3 周期 T 频率 f 做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数 叫做频率 也叫转速 4 v T f 的关系 T f 1 2 f T 2 v r 2 fr r T 2 注意 T f 三个量中任一个确定 其余两个也就确定了 5 向心加速度 1 物理意义 描述线速度改变的快慢 2 大小 a 2r 4 2f 2r r r v2 2 2 4 T 3 方向 总是指向圆心 所以不论 a 的大小是否变化 它都是个变化的量 6 向心力 1 作用效果 产生向心加速度 只改变线速度的方向 不改变线速度的大小 因此 向心力不做功 2 大小 F ma m m 2r mr 4 2mf 2r r v2 2 2 4 T 3 方向 总是沿半径指向圆心 向心力是个变力 二 匀速圆周运动 1 特点 匀速圆周运动是线速度大小不变的运动 因此它的角速度 周期和频率都是恒定不 变的 物体受的合外力全部提供向心力 2 质点做匀速圆周运动的条件 合外力大小不变 方向始终与速度方向垂直 三 一般的圆周运动 非匀速圆周运动 速度的大小有变化 向心力和向心加速度的大小也随着变化 公式 v r a 2r F m m 2r 对非匀速圆周运动仍然适用 只是利用公式求圆周上某一 r v2 r v2 点的向心力和向心加速度的大小 必须用该点的瞬时速度值 疑难突破 1 在分析传动装置的各物理量时 要抓住不等量和相等量的关系 同轴的各点角速度 相 等 而线速度 v r 与半径 r 成正比 向心加速度 a 2r 与半径成正比 在不考虑皮带打滑的 用心 爱心 专心 117 号编辑 2 情况下 传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等 而角速度 与半径 r 成 r v 反比 向心加速度 a 与半径成反比 r v2 2 处理圆周运动的动力学问题时 在明确研究对象以后 首先要注意两个问题 N P F O O 图 4 2 1 1 确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置 以便确定向心力的方向 例如 沿半球 形碗的光滑内表面 一小球在水平面上做匀速圆周运动 如图 4 2 1 所示 小球做圆周运动 的圆心在与小球同一水平面上的点 不在球心 O 也不在弹力 FN所指的 PO 线上 O 2 向心力是根据力的效果命名的 在分析做圆周运动的质点受力情况时 切不可在物体 的相互作用力 重力 弹力 摩擦力等 以外再添加一个向心力 3 圆周运动的临界问题 1 如图 4 2 2 和图 4 2 3 所示 没有物体支撑的小球 在竖直平面内做圆周运动 过最高点的情况 v R 绳 v v R 0 O 图 4 2 2图 4 2 3 临界条件 绳子或轨道对小球没有力的作用 mg mv临界 R v2 Rg 能过最高点的条件 v 当 v 时 绳对球产生拉力 轨道对球产生压力 RgRg 不能过最高点的条件 v v临界 实际上球还没到最高点时就脱离了轨道 2 如图 4 2 4 的球过最高点时 轻质杆对球产生的弹力情况 当 v 0 时 FN mg FN为支持力 当 0 v 时 FN随 v 增大而减小 且 mg FN 0 FN为支持力 Rg 当 v 时 FN 0 Rg 当 v 时 FN为拉力 FN随 v 的增大而增大 Rg v v O R 杆 图 4 2 4图 4 2 5 若是图 4 2 5 的小球在轨道的最高点时 如果 v 此时将脱离轨道做平抛运动 Rg 因为轨道对小球不能产生拉力 典例剖析 用心 爱心 专心 117 号编辑 3 例 1 如图4 2 6 所示 一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径 r0 1 0 cm 的摩擦小轮 小轮与自行车车轮的边缘接触 当车轮转动时 因摩擦而带动小轮转动 从而为 发电机提供动力 自行车车轮的半径 R1 35 cm 小齿轮的半径 R2 4 0 cm 大齿轮的半径 R3 10 0 cm 求大齿轮的转速 n1和摩擦小轮的转速 n2之比 假定摩擦小轮与自行车车轮之间无 相对滑动 摩擦小轮 小发电机 车轮 小齿轮 大齿轮 链条 图 4 2 6 剖析 大小齿轮间 摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同 两轮边缘各点的线速度大 小相等 由 v 2 nr 可知转速 n 和半径 r 成反比 小齿轮和车轮间与轮轴的原理相同 两轮上 各点的转速相同 由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比 n1 n2 2 175 说明 皮带传动 齿轮传动装置 两轮边缘各点的线速度大小相等 根据 v r a v2 r 即可讨论两轮的角速度和边缘的向心加速度的关系 在同一轮上 各点的角速度相同 根据 v r a 2r 即可讨论轮上各点的线速度和向心加速度的关系 例 2 如图 4 2 7 所示 倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动 圆盘的倾角为 37 在 距转动中心 0 1 m 处放一小木块 小木块跟随圆盘一起转动 小木块与圆盘的动摩擦因数为 0 8 木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同 若要保持木块不相对圆盘滑 动 圆盘转动的角速度最大值约为 37 o 图 4 2 7 A 8 rad sB 2 rad sC rad sD rad s12460 剖析 木块在最低点时容易相对圆盘滑动 此时木块相对圆盘将要滑动 圆盘的角速度最 大 则 mgcos37 mgsin37 m 2r r g 37sin37cos rad s 2 rad s 1 0 6 08 08 010 所以 选项 B 正确 说明 分析角速度最大时的临界条件 是求解这类极值的关键 例 3 一根长为 L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴 O 在竖直平面内转动 杆最 初处于水平位置 杆上距 O 为 a 处放有小物体 可视为质点 杆与其上小物体最初均处于静 止状态 如图 4 2 8 所示 若此杆突然以角速度 绕 O 轴转动 问当 取什么值时 小物 体与杆可能相碰 用心 爱心 专心 117 号编辑 4 w L a O 图 4 2 8 剖析 物体相遇的条件是在相同的时间内物体的路程或位移相等 本题中是物体自由下落 的位移与由于杆的转动而引起的相同时间内的杆的两位置与 B 所在竖直线交点间的距离相等 从图 4 2 9 a 中看出 此最大距离为 BD 的长 即 atan 1 物体做自由落体运动 起始速 度较小 速度逐渐变大 而杆在匀速转动 在相同时间内 BC 大于自由落体高度 当两者相等 时则相遇 相遇的最大距离为 BD 即为 的最大值 若 再增大时 当物体落至 D 点时 杆 已转过 OD 位置 则此时不可能相碰 但当 再增大时 即在物体没有到达 D 之前杆可能再次 转入 AOD 区域 这种情况下物体与杆也能相碰 这种情况相遇的最长时间是在 D 点相遇 此 时的 为这种情况的最小值 只要 大于该值均能在 AOD 区域内相碰 如图 4 2 9 b O AB C a D q q q w 1 2 a b 图 4 2 9 应用自由落体规律求出物体下落到 D 点所用的时间 再由圆周运动求解出杆到 OD 所用 的时间 相遇则距离相等 同时还具有等时性 小物体做自由落体运动 在时间 t 内下落 BC atan gt2 2 1 此时 A 点转过角度 t 由以上两式得 a g 2 tan 可见在不同的角度 时相遇要有不同的 值 小物体追上杆的临界情况是在 D 点相碰 所以有 BD gt2 22 aL 2 1 1t arccos L a 消去时间 t 有 1 arccos 2 g 422 1 aL L a 若 很大时 即转一圈后追上小物体并与小物体相碰 如图 4 2 9 b 所示 这时杆转过的角度 2 arccos 2 L a 所以 2 t 2 用心 爱心 专心 117 号编辑 5 2 arccos 2 g 422 1 aL L a 此为第二种情况下相遇的最小角速度 故物体与杆相遇的条件是 1或 2 说明 1 杆突然转动后 小木块做自由落体运动 如果在杆转动的时间 t 内 杆端 A 恰 好转到小物体的正下方使小物体与杆端相碰 即杆转过 角的时间与小物体自由下落高度 h 的时间相等 2 求杆转动的角速度的范围 要求杆转动的角速度的临界值 就是要求两者恰好相碰时 杆所转动的角速度 例 4 铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的 弯道处要求外轨比内轨高 其内外 轨高度差 h 的设计不仅与 r 有关 还取决于火车在弯道上的行驶速率 下列表格中是铁路设计人 员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的轨道的高度差 h 弯道半径 r m660330220165132110 内外轨高度差 h mm50100150200250300 1 根据表中数据 试导出 h 和 r 关系的表达式 并求出当 r 440 m 时 h 的设计值 2 铁路建成后 火车通过弯道时 为保证绝对安全 要求内外轨道均不向车轮施加侧 向压力 又已知我国铁路内外轨的间距设计值为 L 1 435 mm 结合表中数据 算出我国火车 的转弯速率 v 以 km h 为单位 结果取整数 路轨倾角很小时 正弦值按正切值处理 3 随着人们生活节奏加快 对交通运输的快捷提出了更高的要求 为了提高运输力 国 家对铁路不断进行提速 这就要求铁路转弯速率也需要提高 请根据上述计算原理和上述表格 分析提速时应采取怎样的有效措施 剖析 1 分析表中数据可得 每组的 h 与 r 之乘积均等于常数 C 660 m 50 10 3 m 33 m2 即 hr 33 或 h 33 r 1 当 r 440 m 时 有 h m 0 075 m 75 mm 440 33 2 转弯中 当内 外轨对车轮没有侧向压力时 火车的受力如图 4 2 10 所示 由牛 顿第二定律得 a L mg h O N 图 4 2 10 mgtan m r v2 因为 很小 有 tan sin L h 由 可得 v L ghr 代入数据得 用心 爱心 专心 117 号编辑 6 v 15 m s 54 km h 3 由 式可知 可采取的有效措施有 a 适当增大内外轨的高度差 h b 适当增大铁路弯道的轨道半径 r 例 5 如图 4 2 11 所示 光滑的水平面上钉有两枚铁钉 A 和 B 相距 0 1 m 长 1 m 的柔软细绳拴在 A 上 另一端系一质量为 0 5 kg 的小球 小球的初始位置在 AB 连线上 A 的 一侧 把细线拉紧 给小球以 2 m s 的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动 由于钉子 B 的 存在 使线慢慢地缠在 A B 上 A A B B LL 0 图 4 2 11 1 如果细线不会断裂 从小球开始运动到细线完全缠在 A B 上需要多长时间 2 如果细线的抗断拉力为 7 N 从开始运动到细线断裂需经历多长时间 剖析 小球交替地绕 A B 做匀速圆周运动 因线速度不变 随着转动半径的减小 线中 张力 F 不断增大 半周期不断减小 推算出每个半周期的时间及半周期数 就可求出总时间 根据绳子能承受的最大拉力 可求出细绳断裂所经历的时间 在第一个半周期内 F1 m t1 0 2 L v v L0 在第二个半周期内 F2 m AB LL v 0 2 t2 v LL AB 0 在第三个半周期内 F3 m AB LL v 2 0 2 t3 v LL AB 2 0 在第 n 个半周期内 Fn m AB LnL v 1 0 2 tn v LnL AB 1 0 由于 10 所以 n 10 AB L L0 1 0 1 1 小球从开始运动到细线完全缠到 A B 上的时间 t t1 t2 t10 10L0 1 2 3 10 1 LAB v 10L0 0 1 8 6 s v 2 11010 2 设在第 x 个半周期时 Fx 7 N 用心 爱心 专心 117 号编辑 7 由 Fx m AB LxL v 1 0 2 代入数据后得 x 8 则所经历的时间 t 8L0 LAB v 2 188 8 1 0 1 s 8 2 s 2 2 188 说明 运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法 物理和 数学是紧密联系的 应用数学知识处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一 近几年的 高考均对该能力提出了较高的要求 因此 在平时的练习中 应注意数学知识与物理知识的结 合 能在正确分析 清楚地理解试题所给的物理现象 物理过程的基础上 运用数学知识列式 推导和求解 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 要使学生明确向心力是做圆周运动物体所受指向圆心的合外力 对具体问题要会分析是什 么力提供了向心力 F m 2r m是牛顿第二定律 F ma 在圆周运动问题中的应用 r v2 2 要让学生理解物体在竖直面上做圆周运动时恰能维持圆周运动的临界条件 复习中也可适 当扩展 举一些涉及电场力 磁场力的圆周运动问题进行分析 可使学生对条件理解得更清楚 也可提高综合应用知识处理问题的能力 拓展题例拓展题例 例 1 2003 年上海综合 14 某品牌电动自行车的铭牌如下 车型 20 吋 车轮直径 508 mm 电池规格 36 V 12 Ah 蓄电池 整车质量 40 kg额定转速 210 r min 转 分 外形尺寸 L 1 800 mm W 650 mm H 1 100 mm充电时间 2 8 h 电机 后轮驱动 直流永磁式电机额定工作电压 电流 36 V 5 A 根据此铭牌中的有关数据 可知该车的额定时速约为 A 15 km hB 18 km hC 20 km hD 25 km h 解析 车轮转动的角速度为 2 n 自行车的速度为 v R 2 nR 5 6 m s 20 km h 答案 C 例 2 如图 电视画面每隔 1 30 s 更迭一帧 当屏幕上出现一辆车匀速奔驰的情景时 观众如果注视车辆的辐条 往往会产生奇怪的感觉 设车轮上有八根对称分布的完全相同的辐 条 试问下列说法不正确的是 A r A 若在 s 内 每根辐条恰好转过 45 则观众觉得车轮是不动的 30 1 B 若在 s 内 每根辐条恰好转过 360 则观众觉得车轮是不动的 30 1 用心 爱心 专心 117 号编辑 8 C 若在 s 内 每根辐条恰好转过 365 则观众觉得车轮是倒转的 30 1 D 若在 s 内 每根辐条恰好转过 355 则观众觉得车轮是倒转的 30 1 解析 若在 1 30 s 内 转过 45 或 360 相邻辐条之间 后面辐条转至前面辐条的位置 由于视觉暂留 观众认为不动 同理可判定 D 的说法正确 不正确的判断为 C 答案 C 例 3 如图所示 转轴 O1上固定有两个半径分别为 R 和 r 的轮 用皮带传动 O2轮 O2轮的半径是 r 若 O1每秒钟转 5 圈 R 1 m r r 0 5 m 则 C B R A 2 r r O O 1 1 大轮转动的角速度 rad s 2 图中 A C 两点的线速度分别是 vA m s vC m s 解析 大轮转动的角速度为 2 5 rad s 31 4 rad s vA r 31 4 0 5 m s 15 7 m s vC vB R 31 4 1 m s 31 4 m s 答案 1 31 4 2 15 7 31 4 例 4 狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶 图中为四个关于雪橇受到的 牵引力 F 及摩擦力 f 的示意图 O 为圆心 其中正确的是 f F O f F O f F O f F O A B C D 答案 C 例 5 飞机以 320 km h 的速度在地球表面附近飞行 下列哪种情况中 飞机上的乘客 可在较长时间内看见太阳不动地停在空中 已知地球半径 R 6 400 km cos11 0 98 cos79 0 19 A 在北纬 79 由东向西飞行B 在北纬 79 由西向东飞行 C 在北纬 11 由东向西飞行D 在北纬 11 由西向东飞行 答案 A 例 6 如图所示 质量为 m 的物体沿半径为 R 的圆形轨道自 A 点滑下 过 A 点的半径 沿水平方向 过 B 点的半径沿竖直方向 物体与轨道间的滑动摩擦因数为 若物体滑至 B 点 的速度为 v 则此时物体所受的摩擦力为 AO B R 解析 在 B 点物体所受支持力为 FN 则 用心 爱心 专心 117 号编辑 9 FN mg m FN m g R v2 R v2 此时的摩擦力为 Ff FN m g R v2 答案 m g R v2 例 7 童非 江西人 中国著名体操运动员 首次在单杠项目上实现了 单臂大回环 用一只手抓住单杠 伸展身体 以单杠为轴做圆周运动 假设童非的质量为 65 kg 那么 在 完成 单臂大回环