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高中数学秒杀型推论高中数学秒杀型推论一 函数1. 抽象函数的周期（1）f（ax)=f(bx) T=|b-a|（2）f（ax)=-f(bx) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性 （1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（a+b2，c2）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=a+b2成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)limfx0g(x)0f(x)g(x)=f(x)g(x) limfxg(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)二、三角1.三角形恒等式（1）在中，tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1（2） 正切定理&余切定理：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotA2+cotB2+cotC2=cotA2cotB2cotC2（3） sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2（4）sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC（5）cycsinAcosBcosC=sinAcosBcosC+sinBcosAcosC+sinCcosAcosB=sinAsinBsinCcyccosAsinBsinC=cosAsinBsinC+cosBsinAsinC+cosCsinAsinB=cosAcosBcosC-12任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在ABC中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3. 任意三角形内切圆半径r=2Sa+b+c（S为面积），外接圆半径R=abc4S=a2sinA=b2sinB=c2sinC欧拉不等式：R2r4梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是 CEEAAFFBBDDC=15塞瓦定理 如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是 AFFBBDDCCEEA=16. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有ABDC+ACBD-ADBCBCDCBD7、和差化积公式（只记忆第一条）sin+sin=2sin+2cos-2sin-sin=2cos+2sin-2 cos+cos=2cos+2cos-2 cos-cos=-2sin+2sin-28、积化和差公式sinsin=- cos(+)-cos(-) 2coscos= cos+cos(-) 2sincos= sin+sin(-) 2 cossin= sin+-sin(-) 29、万能公式10三角混合不等式：若x（0，2),sinxxtanx当x0时sinxxtanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c，大三角形面积为S=xyz（x+y+z)=14（a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=ex-e-x2，双曲余弦函数coshx=ex+e-x2易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）=coshx，（coshx）=sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：xR（6）值域：sinhxR，coshx1，+）13.三角形三边a.b.c成等差数列，则tanA2tanC2=1314.三角形不等式（1）在锐角中，sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCtanA+tanB+tanCcotA+cotB+cotC（2）在中，x2+y2+z22yzcosA+2xzcosB+2zycosC（3）在中，sinAsinBcos2Acos2B15ASA的面积公式：S=a2sinBsinC2sin（B+C）=b2sinAsinC2sin（A+C）=c2sinAsinB2sin（A+B）三、复数1欧拉公式（泰勒级数推出） cos+isin=ei2棣莫弗定理（欧拉公式推出） （cos+isin）n=cos(n)+isin(n)3.复数模不等式（三角不等式） |z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn| 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立4z1-z22+z1+z22=2（z12+z22）5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.An+1=kAn+f(n)两边同除以kn+1，构造数列Ankn，通过累加法得出通项公式2. An+1=kAn+C设一常数x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=Ck-1，得到等比数列An+xAn-1+x,公比为k3不动点法：形如An+1=bAn+cdAn+e（d0，当d=0时，则是第二种情况），设函数f(x)=bx+cdx+e，x=bx+cdx+e的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f（x）有2个不动点， 则数列An-An-是一个等比数列，An=An-An-=A1-A1-（b-db-d)n-1，An=An-An-1（2）若函数f（x）只有一个不动点 则数列1An-数一个等差数列，An=1A1-+（n-1)db-d（3）若函数f（x）没有不动点，则数列An是周期数列，周期自己找4特征方程法：形如An+2=pAn+1+qAn称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若方程有两根x1，x2，则An=x1n-1+x2n-1 (, 可根据题目确定)（2）若只有一个根x0An=(+n)x0n-1 (, 可根据题目确定)5变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）Am+1xm+Bm+1ym+A+B+m+1x+y+m当且仅当Ax=By=时，等号成立2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，1n+1f(x)dx1nf(x)当f(x)为增时，1n+1f(x)dx1nf(x)3琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f（x）0时fx1+fx2+f(xn）nf(x1+x2+xnn）当f(x)为凸函数，即f（x）0时，n+1-n12n1时，1n-1n+11n20时，am+n+bm+nambn+anbm当mn0时，am+n+bm+nambn+anbm五、排列组合1隔板法I把n个元素放到m个集合中，所得集合均非空，则有Cn-1m-1种x1+x2+xm=n的正整数解个数为Cn-1m-12.隔板法II把n个元素放到m个集合中，所得集合可为空，则有Cm+n-1m-1种x1+x2+xm=n的非负整数解个数为Cm+n-1m-1（a1x1+a2x2+amxm）n展开式的项数为Cm+n-1m-13.圆排列从n个元素中抽取m个元素，按照一定的顺序排列成一圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数Rnm=Cnmm-1！4.重复组合从n个元素中抽取m个元素，元素可以重复选取，不管顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数Hnm=Cm+n-1m5组合恒等式（只例举了最简洁的四个）kCnk=nCn-1k-1mnCnm=Cn-1m-1组合数的聚合性：Cn+1m+1=Cnm+Cnm+1CknCkm=CnmCn-mk-m6.从互不相同的n个非零数字中任取m个，所得m位数之和为S，S=19aAnm（10m-1），其中a为n个非零数字的算术平均数7（ax+by）n展开式中，第k项系数绝对值最大，则k=ba+bn+1+1其中 表示高斯函数，即取整函数六、解析几何1圆锥曲线统一极坐标方程=ep1-ecos2圆锥曲线统一焦点弦长公式L=2ep1-e2cos23A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），SABC=12x1y11x2y21x3y31当且仅当SABC=0时，三点共线4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点共圆的充要条件5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三线共点的充要条件A1B1C1A2B2C2A3B3C3=06过（x0，y0）引圆锥曲线F（x,y）的弦，弦中点的轨迹方程为y-y0=F（x,y）（x-x0），当（x0，y0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为y-y0=F（x0,y0）（x-x0）7.定比分点公式：A（xA，yA），B（xB，yB），AB的+1等分点坐标为（xA+xB1+，yA+yB1+）8.若抛物线y2=2px，AB是抛物线上的动弦，kOAkOB=，则AB恒过定点（-2p，0）9.抛物线焦点弦性质：抛物线焦点弦两端点A（x1，y1）、B（x2，y2），焦点弦斜率为k，焦点弦长度为L（1）y1y2=-p2x1x2=p24x1+x2=p+2pk2=p（1+2k2）y1+y2=2pk（2）L=x1+x2+p=2psin2=2p（1+1k2）=（y1-y2）22p（3）k=2py1+y2（4）1x1+p2+1x2+p2=2p（5）SOAB=p4y1-y210圆锥曲线焦点弦性质（通性）：焦点弦长为L，（1）已知x1+x2时，椭圆：L=2a-e（x1+x2）双曲线：L=ex1+x2-2a抛物线：L=x1+x2+p（2）已知焦点弦倾斜角时，L=2ep1-e2cos2（3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数1AF1+1BF1=2ep双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数1AF1-1BF1=2ep（4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数1AB+1CD=2-e22ep（5）圆锥曲线焦点弦AB的中垂线于对称轴（标准方程中为x轴）于D，DF与AB之比为e2DFAB=e2（6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径有心圆锥曲线：通径长=2b2a无心圆锥曲线：通径长=2p11.圆锥曲线的焦半径（通性）（1）极点为焦点，极轴为x轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的为极径，即焦半径，为极角=ep1-ecos（2）已知焦半径端点的横坐标x时椭圆：=a-ex双曲线：=ex-a抛物线：=x+p212双焦点三角形面积：F1.F2为有心圆锥曲线两焦点P为椭圆上一个点，SPF1F2=b2tan2P为双曲线上一个点，SPF1F2=b2cot213.圆锥曲线幂定理：圆锥曲线F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0与一条过M（x0，y0），且倾斜角为的直线L交于P1.P2两点，则MP1MP2=F（x0，y0）Acos2+Bsin2=Ax02+Bx02+Dx0+Ey0+FAcos2+Bsin214.点P（x0，y0）对圆锥曲线C引两条切线，连结切点所得线为切点弦（极线），或点P（x0，y0）为切点，则极线方程或切线方程为（1）若C为椭圆，x0xa2+y0yb2=1（2）若C为双曲线，x0xa2-y0yb2=1（3）若C为抛物线，y0y=p（x+x0）15.已知有心圆锥曲线F（x,y），直线l：f(x,y)，p是l上一点，射线OP交圆锥曲线于点R，又点Q在OB上，且满足OQOP=OR2，当P在l上移动时，Q的轨迹方程即为F（x,y）=f(x,y)16曲线族F（x,y,t）的包络为F（x,y,t）=Ft（x,y,t)=017. A（x1，y1），B（x2，y2），以AB为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=018.关于双曲线渐近线：（1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，离心率的倒数平方和为1：1e12+1e22=1（2）焦点到渐近线距离为虚半轴长b（3）若两渐近线夹角为，则双曲线离心率e=1cos2=sec2（4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数a2b2a2+b2（5）过双曲线上任意一点M作平行于实轴的直线交两渐近线于P.Q，则MPMQ=a219过有心圆锥曲线上一定点P（x0，y0）作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值k=x0b2y0a2过无心圆锥曲线上上一定点P（x0，y0）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值k=-py0以上情况中，APB的角平分线x=x0平行于y轴，APB的内切圆圆心恒过直线x=x0.20.圆锥曲线光学性质：椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为b222.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率弦中点与中心连线的斜率=-b2a2双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率弦中点与中心连线的斜率=b2a223.抛物线y2=2px内接RtOAB（以O为直角顶点），A（x1，y1）B（x2，y2）（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2（2）AB恒过顶点（2p,0）（3）AB中点轨迹方程y2=p（x-2p）（4）AB边上高的垂足轨迹方程（x-p）2+y2=p2（5）（SOAB）min=（12OAOB）min=4p224.对于极坐标方程=f，从1到2，曲线所围成的面积S=1212f2（）d对于极坐标方程=f，从1到2，曲线所积出的长度L=12f（）d25圆锥曲线上一弦AB，其中点M（x0，y0），AB的斜率为（1）对于椭圆，kAB=-b2x0a2y0（2）对于双曲线，kAB=b2x0a2y0（3）对于抛物线，kAB=py026.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点P（x0，y0），另有一直线L于圆锥曲线交于与P相异两点A.B.第一组：当kPAkPB=（b2a2）时1） 对于椭圆，L恒过定点（a2+b2a2-b2x0，-a2+b2a2-b2y0）2） 对于双曲线，L恒过定点（a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0）3） 对于抛物线，L恒过定点（x0-2p，-y0）第二组：当kPA+kPB=（0）时1） 对于椭圆，L恒过定点（x0-2y0，-2b2x0a2-y0）2） 对于双曲线，L恒过定点x0-2y0，2b2x0a2-y03） 对于抛物线，L恒过定点（x