高考数学立体几何中的向量方法2第2课时空间距离与立体几何中的最值（范围）问题（选用）教学案.docx

第2课时空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)空间中的距离问题 如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，点E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点(1)求证：平面EFG平面PAB；(2)求点A到平面EFG的距离【解】如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)(1)证明：因为(0，1，0)，(0，0，2)，(2，0，0)，所以0010020，0210000，所以EFAP，EFAB.又因为AP，AB平面PAB，且PAABA，所以EF平面PAB.又EF平面EFG，所以平面EFG平面PAB.(2)设平面EFG的一个法向量为n(x，y，z)，则所以取n(1，0，1)，又(0，0，1)，所以点A到平面EFG的距离d.(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；点线距：点M到直线a的距离，若直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离为d|sin，a；线线距：两平行线间的距离转化为点线距离，两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；点面距：点M到平面的距离，若平面的法向量为n，平面内任一点为N，则点M到平面的距离d|cos ，n|.(2)利用空间向量求空间距离问题，首先应明确所求距离的特征，恰当选用距离公式求解 1如图，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB2，PA，则B1到平面PAD的距离为_解析：以A1为原点，以A1B1所在直线为x轴，A1D1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系A1xyz，则(0，2，0)，(1，1，2)，设平面PAD的法向量是m(x，y，z)，所以由可得取z1，得m(2，0，1)，因为(2，0，2)，所以B1到平面PAD的距离d.答案：2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12.(1)求证：平面A1BC1平面ACD1；(2)求平面A1BC1与平面ACD1的距离解：(1)证明：因为AA1綊CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以ACA1C1.又AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC平面A1BC1.同理可证CD1平面A1BC1.又ACCD1C，AC平面ACD1，CD1平面ACD1，所以平面A1BC1平面ACD1.(2)以B1为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B1xyz，则A1(4，0，0)，A(4，0，2)，D1(4，3，0)，C(0，3，2)，(0，0，2)，(4，3，0)，(0，3，2)，设n(x，y，z)为平面ACD1的一个法向量，则即取n(3，4，6)，所以所求距离d|cosn，|，故平面A1BC1与平面ACD1的距离为.立体几何中的最值(范围)问题 (1)(2020宁波十校联考)如图，平面PAB平面，AB，且PAB为正三角形，点D是平面内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，l，且lAB，则PQ与l所成角的正切值的最小值为()A. B. C. D3(2)(2020温州高考模拟)如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，BAC与BCD均为等腰直角三角形，且BACBCD90，BC2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得直线PQ与AC成30的角，则线段PA长的取值范围是()A. B.C. D.【解析】(1)如图，不妨以CD在AB前侧为例以点O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设AB2，OAD(0)，则P(0，0，)，D(2sin ，12cos ，0)，所以Q，所以，设内与AB垂直的向量n(1，0，0)，PQ与直线l所成角为，则cos .令tcos (1t0，得y，所以当y时，线段DF长度的最小值是，当y0时，线段DF长度的最大值是1，又不包括端点，故y0不能取，故选A.2.(2020杭州市学军中学高考数学模拟)如图，三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，ADBC于点D，BCCDAD1，设PDx，BPC，记函数f(x)tan ，则下列表述正确的是()Af(x)是关于x的增函数Bf(x)是关于x的减函数Cf(x)关于x先递增后递减Df(x)关于x先递减后递增解析：选C.因为PA平面ABC，ADBC于点D，BCCDAD1，PDx，BPC，所以可求得AC，AB，PA，PC，BP，所以在PBC中，由余弦定理知cos .所以tan211.所以tan (当且仅当x时取等号)，所以f(x)关于x先递增后递减3.(2020义乌市高三月考)如图，边长为2的正ABC的顶点A在平面上，B，C在平面的同侧，点M为BC的中点，若ABC在平面上的射影是以A为直角顶点的AB1C1，则M到平面的距离的取值范围是_解析：设BAB1，CAC1，则AB12cos ，AC12cos ，BB12sin ，CC12sin ，则点M到平面的距离dsin sin ，又|AM|，则|B1C1|2，即cos2cos23(sin22sin sin sin2)也即sin sin ，所以dsin sin sin ，因为sin 1，sin 1，所以1，所以sin 0，所以2x2，即AD的取值范围是2，2答案：2，25.(2020金丽衢十二校联考)如图，在三棱锥DABC中，已知AB2，3，设ADa，BCb，CDc，则的最小值为_解析：设a，b，c，因为AB2，所以|abc|24a2b2c22(abbcca)4，又因为3，所以(ac)(bc)3abbccac23，所以a2b2c22(3c2)4c2a2b22，所以2，当且仅当ab时，等号成立，即的最小值是2.答案：26(2020温州十五校联合体期末考试)在正四面体PABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且，设异面直线NM与AC所成角为，当时，则cos 的取值范围是_解析：设点P到平面ABC的射影为点O，以AO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，过点O作BC的平行线为x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图设正四面体的棱长为4，则有A(0，4，0)，B(2，2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，4)，M(，1，2)由，得N(2，64，0)从而有(2，56，2)，(2，6，0)所以cos ，设32t，则t.则cos ，因为，所以cos .答案：7.如图，在ABC中，B，ABBC2，点P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D.现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，点E为AC的中点，求证：ABDE.解：(1)设PAx，则PAx，所以VAPBCDPAS底面PBCDx.令f(x)x(0x2)，则f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)单调递增极大值单调递减由上表易知，当PAx时，VAPBCD取最大值(2)证明：取AB的中点F，连接EF，FP.由已知，得EF綊BC綊PD.所以四边形EFPD是平行四边形，所以EDFP.因为APB为等腰直角三角形，所以ABPF.所以ABDE.8.(2020杭州市第一次高考科目数学质量检测)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，平面A1BC平面A1ABB1.(1)求证：ABBC；(2)设直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA的大小为，试比较和的大小关系，并证明你的结论解：(1)证明：过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，因为平面A1BC平面A1ABB1，平面A1BC平面A1ABB1A1B，所以AD平面A1BC，又因为BC平面A1BC，所以ADBC.因为AA1平面ABC，所以AA1BC.又因为AA1ADA，所以BC侧面A1ABB1，又因为AB平面A1ABB1，故ABBC.(2)连接CD，由(1)知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角又ABA1是二面角A1BCA的平面角则ACD，ABA1.在RtADC中，sin ，在RtADB中，sin .由ABAC，得sin sin ，又0，所以1)，将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角CABE为直二面角(1)求证：平面ACE平面BCE；(2)设点F是BE的中点，二面角EACF的平面角的大小为，当2，3时，求cos 的取值范围解：(1)证明：因为二面角CABE为直二面角，ABBC, 所以BC平面ABE，所以BCAE.因为AECE，BCCEC，所以AE平面BCE.因为AE平面ACE，所以平面ACE平面BCE.(2)如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则AB，A(0，1，0)，B(，0，0)，C(，0，1)，E(0，0，0)，F，则(0，1，0)，(，0，1)，设平面EAC的法向量为m(x，y，z)，则，取x1，则m(1，0，)同理得平面FAC的一个法向量为n(2，)所以cos .因为2，3，所以cos .2.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD， PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长解：以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)(1)由题意知，AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0，2，0)因为(1，1，2)，(0，2，2)设平面PCD的法向量为m(x，y，