闭环实负零点对二阶系统的影响.doc

闭环实负零点对二阶系统的影响作者 jiangteng 班级 09电本2班 学号4090208230摘 要：本文采用拉普拉斯变换的方法，首先研究了二阶系统在单位阶跃输入下的响应，并对二阶系统的传递函数及其动态性能指标进行了详细的讨论。然后重点研究了闭环零点对二阶系统的传递函数及其在单位阶跃响应的动态性能指标的影响，并得出了相应的结论。 关键字：闭环零点 二阶系统 欠阻尼0 引言由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统形式简单而且应用广泛，同时，高阶系统的研究也往往通过选取主导极点将系统简单化为二阶系统。二阶系统有两种结构形式，一种是无零点二阶系统，一种是有零点二阶系统。对二阶系统的研究，主要是研究单位阶跃响应和动态性能指标。在阻尼比时，系统不能正常工作，而在时，系统动态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况下（）时是最有实际意义的。下面将讨论这种情况下两种结构形式的二阶系统。1. 典型二阶系统的传递函数和状态方程1.1 二阶系统传递函数的标准形式开环传递函数：闭环循环传递函数：二阶系统标准形式的结构图如下图1-1所示： 图 1-1 二阶系统标准形式的结构图1.2 二阶系统的单位阶跃响应及其动态响应假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为 系统的特征方程为由上式可解除特征方程式的根，这些根与阻尼比有关。这里只讨论欠阻尼的情况。当01时，特征方程式的根为 由于01，故及为一对共轭复根，如图1-2所示。 图 1-2 01时根的分布将式分解为部分分式，并求出各待定系数： 查拉氏变换表得输出量为 t0 式中：阻尼振荡角频率，或振荡角频率； 阻尼角。典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图：图 1-3 单位阶跃响应1.3 二阶系统动态性能指标1.3.1 上升时间在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间。根据这一定义，在中，令时，得 但是，在期间，也就是没有达到最后的稳定以前，所以为满足式只能使。由此得 由上式可以看出和对上升时间的影响。当一定时，阻尼比越大，则上升时间越长；当一定时，越大，则上升时间越短。1.3.2 最大超调量%最大超调量发生在第一个周期中时刻。根据求极值的方法，由式，可求出 得 因此 即 因为在n=1时出现最大超调量，所以有。峰值时间为 将代入式，整理得到最大值为 因为 所以 根据超调量的定义 在单位阶跃输入下，稳态值，因此得最大超调量为 1.3.3 调节时间调节时间是与稳态值之间的偏差量达到允许范围（一般取稳态值的%）而不再超出的稳态过程时间。在动态过程中的偏差量为 当x=0.05或0.02时得 （或0.02）由上式可以看出，在0时刻范围内，满足上述条件的值有多个，其中最大的值就是调节时间。由于正弦函数的存在，值与阻尼比间的函数关系是不连续的。为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到 由此求得调节时间为 ，00.9 ，00.9 2 具有闭环负实零点的二阶系统的动态性能的影响2.1 具有零点的二阶系统标准形式及其结构图具有零点的二阶系统的闭环传递函数为 式中：时间常数 令=z，则上式可写为如下标准形式： 式所示系统的闭环传递函数为具有零点-z 的二阶系统,其结构图如下所示 图 2-1 具有零点的二阶系统结构图将式进行分解，得， 012.2 具有零点的二阶系统的单位阶跃响应设，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反变换为 求出式中两项，然后相加即得输出量。由式得 于是得 将上两式代入式得 式中，为极点与零点间的距离，可由系统闭环传递函数的零点和极点在复平面上的位置确定。由图 2-2 知 图 2-2 零点极点在s平面上的分布故式子可以写成：式子中：令，由图可知r代表闭环传递函数的复数极点的实部与零点实部之比，则上式中的可以简写为因此式子可以写为：由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式。2.3 具有零点的二阶系统的动态性能指标根据上升时间，峰值时间，最大超调量%，调节时间的定义，由式分别求得二阶系统具有闭环实零极点时的欠阻尼单位阶跃响应的各项指标。2.3.1 上升时间 由上式可以看出上升时间受到，的影响，当，一定的时候，上升时间只与有关，而的大小由z的大小决定，z增大减小。所以可得如下结论：闭环零点的增加，使上升时间减小。当z增大时，即零点越来越远离虚轴，减小，所以增大。零点越靠近虚轴，对上升时间影响越大；当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。2.3.2 峰值时间 同理可得：闭环零点的增加，使峰值时间减小。当z增大时，即零点越来越远离虚轴，减小，所以增大。零点越靠近虚轴，对峰值时间影响越大；当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。2.3.3 最大超调量% %=由上式可以看出最大超调量%受到r，的影响，当，一定的时候，最大超调量%与r，有关。r值反映了复数平面上零点与复数极点的相对位置。而的大小由z的大小决定，z增大减小，r减小。所以可得如下结论：闭环零点的增加，使最大超调量%增大，振荡性增强。如果z值越小，即零点越靠近虚轴，则r值越大，振荡性越强。反之，z值越大，则r值越小，振荡性相对减弱。当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。2.3.4 调节时间 = （= = （= 由上式可以看出，零点的加入使调节时间可能增大，可能减小，也可能不变。如果z值越小，即零点越靠近虚轴，调节时间增大。当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。 为了定量说明附加零点对二阶系统性能的影响，引入参数。用参数表示附加零点与二阶系统复数极点实部之比，即 并在同一值下绘出不同值时和的关系曲线，图 2-3 为=0.25的情况。图 2-3 具有零点的二阶系统单位阶跃响应曲线综上所述，可以得出如下结论：当其他条件不变时，附加一个闭环负实零点，将使二阶系统的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。、附加零点越靠近虚轴，上述影响越明显。当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用典型二阶系统来代替。3 结束语本文围绕着闭环负实零点对二阶系统的传递函数、各种性能指标的影响，进行了深入的讨论分析。其理论计算公式全面准确。对于学习研究二阶系统有较高的参考和应用价值。 特别是二阶系统的超调量及振荡性的论述，对深入讨论二阶系统有重要的意义。 参考文献1 王建辉., 顾树生自动控制原理 M.北京:清华大学出版社2007