怎样数复杂三角形个数

怎样数复杂三角形个数1层三角形的个数行数正三角形个数倒三角形个数合计三角形个数11012213332544375549665117761388715998171010919合计5545100【问题】由100个完全一样的小三角形组成一个大三角形，问这个大三角形中一共有多少个三角形？10987654321【分析1】 由完全一样的小三角形拼成一个大三角形，其拼法如上图所示，形成一个层又叠的大三角形，每层小三角形的个数如上图右表，对应的层数的三角形个数为层数的两倍-1，用n表示层数，第n层三角形的个数=2n-1，各层小三角形个数依次组成一个等差数列：1，3，5，2n-1，所有小三角形个数和等于此数列各项的和，利用数列求和公式Sn=(a1+an)*n/2=1+(2n-1)*n/2=n*n又：100=10*10，所以100个相同的小三角形能组成一个层数为10的大三角形。【分析2】100个相同的小三角形能组成一个层数为10的大三角形，该三角形图中所包含的三角形分为尖朝上的正三角形和尖朝下的倒三角形两种情况，其中正三角形又分别为1层的，2层的，3层的，10层的。倒三角形又分别有倒1层的，倒2层的，倒3层的，倒4层的，倒5层。 1个小三角形【定义】 尖朝上的正三角形和倒三角形如图： 1层 4个小三角形 2层 9个小三角形 3层16个小三角形 4层【解法】 明确了100个小三角形能层叠成一个大三角形，也明确了这个大三角形中包含的三角形分为正三角形和倒三角形两大类形，也明确了正三角形中有1层、2层、10层等10种，还明白了倒三角形有1层、2层、5层等5种，下面就分别数大三角形中各种三角形的个数，列表如下：1层2层3层4层5层6层7层8层9层10层合计正55453628211510631220倒452815610000095合计1007351342215106313152层三角形的个数行数正三角形个数倒三角形个数合计三角形个数100021123224433654486551076612877149881099合计452873具体数法如下：1、1层三角形的个数如上图一2、2层三角形的个数如下图二109876543213层三角形的个数行数正三角形个数倒三角形个数合计三角形个数100020003112422453366448755108669771088合计361551109876543214层三角形的个数行数正三角形个数倒三角形个数合计三角形个数100020003004112522463367448559661077合计28634109876543215层三角形的个数行数正三角形个数倒三角形个数合计三角形个数123451126227338449551066合计2112210987654321【归纳】1、数三角形为两种，正三个形和倒三角形。2、正三角形的种类有10种（10为大三角形的层数），倒三角形有5种（层数的一半）3、每种三角形的个数规律：（1）1层正三角形的个数S1正=1+2+3+101层倒三角形的个数 S1倒=1+2+3+9（2）2层正三角形的个数S2正=1+2+3+92层倒三角形的个数 S2倒=1+2+3+7（3）3层正三角形的个数S2正=1+2+3+83层倒三角形的个数 S2倒=1+2+3+4+5（4）4层正三角形的个数S4正=1+2+3+74层倒三角形的个数 S4倒=1+2+3【问题】1、 各层正三角形的个数都是一个首项为1，公差为1的等差数列的和，关键是这个等差数列的项数如何确定？以上算法中不难看出，项数=大三角形的层数减去小三角形的层数+12、 各层倒三角形的个数也是一个首项为1，公差为1的等差数列的和，而这个等差数列的项数如何确定？以上计算中的项数分别是9、7、5、3、1，其规律是项数=大三角形的层数-（小三角形的层数*2-1）（为什么？）【提高】若干个三角形层叠组成的n（n为正整数）层大三角形，包含的三角形个数如何求呢？需要的小三角形个数为n2，数1层三角形的个数：S1正=1+2+3+n=n(n+1)/2S1倒=1+2+3+（n-1）=（n-1）(n-1+1)/2k层三角形的个数，（k为正整数）Sk正=13+（n-k+1）=1+(n-k+1)* (n-k+1) /2 （n-k+10）Sk倒=1+2+3+（n-2k+1)= 1+(n-2k+1)* (n-2k+1