江苏省南京市2007-2008学年数学奥林匹克学校高二期末试题

1 江苏省南京市江苏省南京市 20072007 20082008 学年数学奥林匹克学校高二期末试题学年数学奥林匹克学校高二期末试题 一 选择题 每题 6 分 共 36 分 1 若 x1是的根 x2是 x10 x 2008 的根 则 x1 x2 lg2008 x x A 2007 B 2008 C 2009 D 2010 2 椭圆与双曲线的离心率分别为 以 22 22 1 1 xy ab 22 22 2 1 xy ab 1 0ab 1 e 2 e 1 a 2 a 为边长 其中为斜边 可构成直角三角形的充要条件是 b 1 a A B C D 1 2 1ee 22 21 1ee 21 ee 22 12 2ee 3 设函数 f x 3sinx 2cosx 1 若实数 a b c 使得 af x bf x c 1 对任意实数 x 恒成立 则的值等于 a cbcos A B C 1D 1 2 1 2 1 4 若实数 x y 满足 4x 4y 2x 1 2y 1 则 u 2x 2y的取值范围是 A 0 u 2 B 0 u 4 C 2 u 4 D u 4 5 抛物线顶点为 O 焦点为 F M 是抛物线上的动点 则的最大值为 MF MO A 1B C D 2 1 3 32 3 6 设正整数 n 2 f x 是定义在有限集合 A 1 2 n 上的单调递增函数 且对任何 x y A 都有 则 f x f x f y f y A n 2 B n 3 C n 4 D n 5 二 填空题 每题 9 分 共 54 分 7 在平面直角坐标系中 已知的顶点和 顶点在椭圆xOyABC 4 0 A 4 0 C B 上 则 22 1 259 xy sinsin sin AC B 8 设实数 记 则 的最大1xyz min 1 1 1 xyz M yzxzxyxyz M 值为 9 数列中 且 则此数列的通项公 n a 1 6a 1 1 2 21 n nn a aan n n N2n 式 n a 2 10 设均为非负实数 则 12 3 kk xy k 2 2 1233 2008yyyx 22 32 yx 的最小值为 22 21 yx 22 1123 yxxx 11 已知是实数 函数 如果函数在区间上有零点 a 2 223f xaxxa yf x 11 则的取值范围为 a 12 已知 若对任意恒有xxxfsin22sin x xxg 4 1 3 12 0 xx 则的最大值为 mxgxf 21 m 三 解答题 每题 20 分 共 60 分 13 若正整数 n 能拆成 k k 是正整数 个成等差数列且公差不为零的正整数的和 即 n 其中正整数依次成公差不为零的等差数列 则称 123 k aaaa 123k aaaa n 有一个 k 阶非平凡等差分拆 记作 并且规定 n 的两个非平凡等差 123k n aaaa 分拆是相同的分拆 等价于且集合 12 123123kk nn aaaabbbb 12 kk 与集合相等 请研究并回答下面的问题 1 123k aaaa 2 123k bbbb 1 有非平凡等差分拆 n 的最小正整数是多少 2 试写出 20 的一个非平凡等差分拆 并说明 20 的非平凡等差分拆不超过 5 阶 3 素数有非平凡等差拆吗 若有 试举一例 若没有 试说明你的理由 3 14 已知椭圆的中心为原点 点是它的一个焦点 直线 过点与椭圆交于CF 10 lFC 两点 且当直线 垂直于轴时 AB lx 6 5 OBOA 1 求椭圆的方程 C 2 是否存在直线 使得在椭圆的右准线上可以找到一点 满足为正三角lCPABP 形 如果存在 求出直线 的方程 如果不存在 请说明理由 l 15 在 ABC 中 AB BC 点 I 为其内心 M 是边 AC 的中点 N 是外接圆上的的中 A ABC 点 证明 IMA INB I N M B C A 4 答答 案案 一 BACDCA 二 7 8 9 10 2008 5 4 1 3 1 1 21 n n an 11 或 a 1 12 37 2 a 2 3 三 13 解 1 6n 2 所 1 1 6 1234562120 20246823456adkn 以 20 的非平凡等差分拆不超过 5 阶 3 设素数 p 有 k 阶非平凡等差分拆 123 3 k p aaaakk N P 1231 1 1 2 k aaaakak kdd N 与 p 是素数矛盾 1 2 2 21 32km mpmamdkm N k 2m 1 同理 与 p 是素数矛盾 1 21 mpmamd N 所以 素数没有非平凡等差分拆 14 解 1 设椭圆的方程为 则 C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 22 ba 当 垂直于轴时 两点坐标分别是和 lxAB 2 1 b a 2 1 b a 则 即 224 2 1 1 1 bbb OA OB aaa 6 5 1 2 4 a b 42 6ba 由 消去 得 a016 24 bb 或 舍去 当时 2 1 2 b 3 1 2 b 2 1 2 b 2 3 2 a 因此椭圆的方程为 C12 3 2 2 2 y x 2 设存在满足条件的直线 l 当直线 垂直于轴时 由 1 的解答可知 焦点到右准线的距离为lx 3 62 2 a b ABF 此时不满足 因此 当直线 垂直于轴时不满足条件 2 1 2 c c a dABd 2 3 lx 5 当直线 不垂直于轴时 设直线 的斜率为 则直线 的方程为 lxlkl 1 xky 由 12 3 2 1 2 2 y x xky 03612 26 2222 kxkxk 设两点的坐标分别为和 AB 11 xy 22 xy 则 13 6 2 2 21 k k xx 26 36 2 2 21 k k xx 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 26 36 4 13 6 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k 13 1 6 2 2 k k 又设的中点为 则 ABM 2 21 xx xM 13 3 2 2 k k 当为正三角形时 直线的斜率为 ABP MP k kMP 1 2 3 P x 222 22222 113313 1 11 2312 31 PM kkk MPxx kkkkk 当为正三角形时 即 ABP ABMP 2 3 13 2 1 31 2 2 2 2 k k k k 13 1 6 2 3 2 2 k k 解得 1 2 k1 k 因此 满足条件的直线 存在 直线 的方程为或 ll01 yx01 yx 15 证明 如图 过点 M 作外接圆的直径 NP 则 NBP NAP 900 于是 P 是的中点 A AC 故 ABP CBP 即 BP 是 ABC 的平分线 因 此 I 位于 BP 上 由于 AIP 是 AIB 的外角 所以 AIP BAI ABI 22 BACABC IAC CBP IAC CAP