[司法考试]chapt08-分离变量法6学时

2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,第八章 分离变量法,本章中心内容,用分离变量法求解各种有界问题；,本章基本要求,掌握有界弦的自由振动解及其物理意义,着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题-本征值问题,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,问题的引入,(1),(2),(3),行波法,达朗贝尔公式,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法,其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,8.1 分离变量理论,8.1.1 偏微分方程变量分离及条件,对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？,假设 （8.1.2）的解有下列分离的形式,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,1. 常系数偏微分方程,讨论:,若（8.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的,代表,，将方程两边同,除以XY, 则,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得到两个常微分方程,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,2. 变系数偏微分方程,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为,，从而得到两个常微分方程,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离,需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的 函数才能实施变量分离,但对于变系数的二阶偏微分齐次方程,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,第一类边界条件,第二类边界条件,8.1.2 边界条件可实施变量分离的条件,第三类边界条件,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系,求定解问题的不恒等于零的解,须,因此得,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,8.2直角坐标系中的分离变量法,8.2.1 分离变量法介绍,泛定方程,初始条件,边界条件,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,【解】,第一步：分离变量,用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：,变量分离形式的试探解,代入（8.2.）和（8.2.）:,等式恒成立的条件,等于不依赖于x和t的常数。,写为,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,偏微分方程分离成两个常微分方程:,(8.2.4),(8.2.5),(8.2.6),由齐次边界条件有,（8.2.7）,故得,注: 边界条件是齐次的，才得出（8.2.）这样简单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,第二步：求解本征值（或称为固有值）问题,上面推导的方程,三种可能逐一加以分析,求解（8.2.5），将,本征值 不能任意取，只能根据边界条件（8.2.7）取某些特定值。,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,（8.2.5）的解为,（）,和,由（8.2.）确定，即有,由此解出,被排除,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,（）,方程（8.2.5）的解是,解出,也被排除,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,（8.2.5）的解,（）,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,只剩下一种可能性：,（8.2.8）,（8.2.9）,（8.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族,常数,的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作,本征函数,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,第三步：先求特解，再叠加求出通解,（8.2.10）,方程的解：,（8.2.11）,变量分离形式的特解,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,这就是满足(8.2.1)和条件（8.2.2）的通解,（8.2.13）,线性叠加后的解,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,初始条件(8.2.3)确定叠加系数,（8.2.14）,第四步: 利用本征函数的正交性确定待定系数,(8.2.15),可确定待定系数:,至此，定解问题（8.2.1）-(8.2.3)的解已经求出,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,注意：,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,8.2.2. 解的物理意义,特解 (8.2.12) 改写为,(8.2.16),驻波叠加,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,振幅:,频率:,初位相:,波节:,波腹:,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,点数为2，3，4的驻波形状,图8.1,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的,所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相,于是我们也可以说解,是由一系列频率不同,的差异，由初始条件决定，而圆频率,与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,中最小的一个,称为基频，,相应的,称为基波,称为谐频，,相应的,称为谐波,基波的作用往往最显著,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,坐标变量和时间变量分离,2. 三维形式的直角坐标分离变量,三维齐次热传导方程为例:,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,在上式中平方形式来表示固有值得,亥姆霍兹方程,由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,分离变数：,其中,上面三个方程，就是X, Y, Z的分离方程.这些方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合,而时间部分的解为:,因此，三维形式中热传导问题的完整解为,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,8.2.3直角坐标系分离变量例题分析,上面我们已经研究的例题8.2.1讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题下面讨论的例题8.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题8.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,例8.2.2 研究定解问题：,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,【解】用分离变量法求解. 令,则方程的解是,非零解,即:,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,故得到本征值:,相应的本征函数是,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,将,代入（8.2.24）解得,叠加得,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,系数由定解条件确定,傅里叶展开式系数可确定为,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,例:,热传导：设物体表面温度保持零度，初始温度分布为,【解】定解问题为：,(8.2.36),(8.2.37),(8.2.38),(8.2.39),(8.2.40),2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,(1) 时空变量的分离：,(2) 空间变量的分离 ：,代入方程式，可得：,代入（8.2.41）式及（8.2.37）,关于,的常微分方程及边界条件，构成本征值问题：,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,同时，,满足,（8.2.42）,再令,可得另外两个本征值问题,和,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,(3) 求本征值问题,这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为：,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,（8.2.46）,本征值相加:,本征函数相乘:,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,(4) 求解关于,(5) 解叠加起来:,的常微分方程 ：,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,其中,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,83 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量,例 8.3.1 物理模型：,带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度 E0 是竖直的，方向向下水平架设的输电线处于这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图8.2所示不过离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为匀强的现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外的电势分布,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT,解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题取圆柱的轴为Z轴如果圆柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与Z坐标无关，我们只需在XY平面上加以研究就行了图8.2画出了 XY平面上的静电场分布，圆柱面在 XY平面的剖口是圆,2018/1/5,Chang-Kui Duan, Institute of Mod