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线性代数知识点总结线性代数知识点归纳 线性代数知识点总结篇一:线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式a11a22-a12a21称为a11a21a11a12所确定的二阶行列式，并记作，a21a12a22a12即D=a11a12a21a22（课本P1） =a11a22-a12a21.结果为一个数。同理，把表达式a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,称为由数a11a12表a21a13a11a12a22a32a13a23。 a33a22a12a22a32a31a32a11即a21a23所确定的三阶行列式，记作a21a31a33a13a31a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,a33二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组：a11x1+a12x2=b1对二元方程组a21x1+a22x2=b2设D=a11a12a21a220D1=b1b2a12a22D2=a11b1.a21b2b1a12ba22D则x1=1=2Da11a12a21a22，a11b1abDx2=2=212.（课本P2）a11a12Da21a22a11x1+a12x2+a13x3=b1对三元方程组a21x1+a22x2+a23x3=b2，ax+ax+ax=b3113223333a11设D=a21a12a22a32a13a230， a33a31b1D1=b2b3则x1=a12a22a32a13a11b1a13a11a12a22a32b1b2， b3a23，D2=a21b2a33a31b3a23，D3=a21a33a31DD1D，x2=2，x3=3。（课本上没有） DDD注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或An)表示。（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）计算排列逆序数的方法： 方法一：分别计算出排在1,2,n-1,n 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,n-1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义a11定义：n阶行列式D=a12a22an2a1na2nann等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积a21an1a1p1a2p2anpn的代数和，其中p1 p2 pn是1， 2， ，n的一个排列，每一项的符号由其a11a12a220a1na2nann=(-1)t(12n)逆序数决定。D=00a11a22ann=a11a22ann也可简记为det(aij)，其中aij为行列式D的（i，j元）。（课本P6）a11根据定义，有D=a12a22an2a1na2nann=p1p2a21an1(-1()pntp1p2pn)a1p1a2p2anpn说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是n!项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积; 4、a1p1a2p2anpn的符号为(-1)，t的符号等于排列p1,p2,.pn的逆序数t5、一阶行列式a=a不要与绝对值记号相混淆。推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。a11即D=a12a220a1na2nannn(n-1)200=(-1)t(12n)a11a22ann=a11a22ann推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于(-1)以其副对角线上各元的乘积。乘l1即l1l2ln=l1l2ln，l2ln=(-1)n(n-1)2l1l2ln（上述二推论证明课本P7例6）第四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 （上述二定理证明课本P8） 定理2n阶行列式D=det(aij)的项可以写为(-1)t(q1q2qn)+t(p1p2pn)aq1p1aq2p2其中aqnpn，q1q2qn是行标排列，p1p2 pn是列标排列 。（证明课本P9） 推论设有n阶行列式D=det(aij)，则D=qn)+t(p1p2pn)t(q1q2(-1)qn)aq11aq22qn)aqnn或anpn（行列D=(-1)t(q1q2aq1p1aq2p2aqnpn或D=(-1)t(q1q2a1p1a2p2式三种不同表示方法） 推论在全部n阶排列中(n2)，奇偶排列各占一半。证明 设在全部n阶排列中有s个奇排列，t个偶排列，现来证s=t。将s个奇排列的前两个数对换，则这s个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，所以st。若将t个偶排列的前两个数对换，则这t个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不同，于是有ts。综上有s=t。第五节：行列式的性质a11定义记D=a12a22an2a1na2nann，D=Ta11a12a1na21a22a2nan1an2ann，行列式D称为行列式Ta21an1D的转置行列式。性质1 行列式与它的转置行列式相等。（证明课本P9）说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。 性质2 互换行列式的两行ri rj或列cicj，行列式变号。（证明课本P10） 推论 性质3 式； 推论1 推论2 性质4 性质5如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k(rjk)，等于用数k乘此行列()()D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面; D中某一行（列）所有元素为零，则D=0。行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零（证明课本P10） 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则a11D=a21an1a11=a21an1a12a22an2a12a22an2a1ia2ianii)(a1i+a1i)(a2i+a2)(ani+ania1na2nann+a11a21an1a1na2nanna12a22an2ia1ia2ania1na2nann性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。（课本P11）ri+krj计算行列式常用方法：利用定义；利用运算而算得行列式的值。 说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。第六节 行列式按行（列）展开余子式 在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij。代数余子式 记引理Aij=(-1)i+jMij，叫做元素aij（课本P16）一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(i,j)元外aij都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij。（证明课本P16）a11定理a12a22an2a1na2nann等于它的任意一行（列）的各元素与其对应n阶行列式 D=a21an1的代数余子式的乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin，(i=1,2,n)或D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj，(j=1,2,（证明课本P17） ,n)。1x1扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式Dn=x121x22x21xn2xn=nij1(xi-xj)的证x1n-1明见课本P18n-1x2n-1xna11展开定理推论a12a22an2a1na2nann的任意一行（列）的各元素与另一n阶行列式 D=a21an1行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即ai1As1+ai2As2+ainAsn=0(is)或a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0(jt)（证明课本P19）第七节 克拉默法则a11x1+a12x2+ax+ax+211222如果线性方程组an1x1+an2x2+a11即D=+a1nxn=b1+a2nxn=b2+annxn=bn的系数行列式不等于零，a12a22an2a1na2nann0，那么该方程组有唯一解a21an1线性代数知识点总结篇二:线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式(一)要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义3、行列式的性质4、n阶行列式D=aij，元素aij的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理5、克莱姆法则（二）基本要求1、理解n阶行列式的定义2、掌握n阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即D i=j ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=0 ijD i=j a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj=ij05、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵（一）要点1、矩阵的概念mn矩阵A=(aij)mn是一个矩阵表。当m=n时，称A为n阶矩阵，此时由A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记为A.注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法（1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换（2）方阵的幂：对于n阶矩阵A及自然数k，Ak=1A4ALA 243k个规定A=I,其中I为单位阵 .(3) 设多项式函数j(l)=a0lk+a1lk-1+L+ak-1l+ak，A为方阵，矩阵A的多项式j(A)=a0Ak+a1Ak-1+L+ak-1A+akI,其中I为单位阵。（4）n阶矩阵A和B，则AB=AB.n （5）n阶矩阵A，则lA=lA 04、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A的伴随矩阵记为A， *AA*=A*A=AE矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价（二）要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如Amn，Bnl，将矩阵B分块为B=(b1 b2Lbl)，其中bj（j=1, 2, Ll）是矩阵B的第j列，则AB=A(b1 b2Lbl)=(Ab1 Ab2LAbl)又如将n阶矩阵P分块为P=(p1 p2Lpn)，其中pj（j=1, 2, Ln）是矩阵P的第j列.l1 0 0 L0l1 0 0 L00 l 0 L00 l 0 L022 =(p pLp) =(lp lpLlp) P1122nn12nLLLLLLLLLL0 0 0 Ll0 0 0 Llnn（3）设对角分块矩阵A11 A 22,A(P=1,2,Ls)均为方阵， A= PPO ASSA可逆的充要条件是APP均可逆，P=1,2,Ls，且-1A11 -1 A22 A-1= O-1 Ass 6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B,则称矩阵A和矩阵B等价，记为AB. mn矩阵A和B等价当且仅当r(A)=r(B),在等价意义下的标准型：若r(A)=r，则Ir 0 ADr，Dr=，Ir为r阶单位矩阵。 0 0线性代数知识点总结.因此n阶矩阵A可逆的充要条件为AIn。第三章 线性方程组(一)要点1、n维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n维向量的集合为R，R中定义了n维向量的线性运算，则称R为 n维向量空间。2、向量间的线性关系（1）线性组合与线性表示；线性表示的判定（2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法（1）设有两个向量组 nnna1,a2,Las (A)b1,b2,Lbt (B)向量组(A)和(B)可以相互表示，称向量组(A)和(B)等价。向量组的等价具有传递性。（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同的个数定义为向量组的秩。4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解（1）线性方程组的消元解法（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定（3）线性方程组解的结构（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法（5）非齐次方程组解的求法（二）要求1、理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量（一）要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化（二）要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。第五章 二次型（一）要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定（二）要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义，会判定二次型的正定性。线性代数期末复习知识点考点总结篇三:线性代数知识点总结线性代数必考的知识点1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：、Aij和aij的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij=(-1)i+jAijAij=(-1)i+jMij4. 设n行列式D：n(n-1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1=(-1)2D； n(n-1)将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，则D2=(-1)2D；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3=D；将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4=D； 5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-1)、副对角行列式：副对角元素的乘积 (-1)2；、上、下三角行列式（ = ）：主对角元素的乘积； n(n-1)、 和 ：副对角元素的乘积 (-1)2；、拉普拉斯展开式：AOAC=AB、CAACB=OBBO=OBC=(-1)mgnAB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值；n6. 对于n阶行列式A，恒有：lE-A=ln+(-1)kSn-kkl，其中Sk为k阶主子式；k=17. 证明A=0的方法：、A=-A； 、反证法；、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A)n； 、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；r(A)=n（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax=0有非零解； bRn，Ax=b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0； ATA是正定矩阵；A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A：AA*=A*A=AE 无条件恒成立； 3.(A-1)*=(A*)-1(AB)T=BTAT(A-1)T=(AT)-1(AB)*=B*A*(A*)T=(AT)* (AB)-1=B-1A-14. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A1若A=A2，则： OAs、A=A1A2LAs；A1-1、A-1=-1-1A2； OAs-1O；（主对角分块） B-1A-1AO、=OBOOOA、=-1BOAA-1AC、=OBO-1-1-1B-1；（副对角分块） O-A-1CB-1；（拉普拉斯） B-1O；（拉普拉斯） B-1A-1AO、=-1-1CB-BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=rO对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B) AgB； 2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(A , E) g (E , X)，则A可逆，且X=A-1；、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1B，即：(A,B) (E,A-1B)；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)g(E,x)，则A可逆，且x=A-1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；l1、L=rrEO； Omn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；cl2，左乘矩阵A，l乘A的各行元素；右乘，l乘A的各列元素；iiOln11、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)-1=E(i,j)，例如：1=1；1111-1、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)=E(i()，例如：kk-111=k1-1(k0)； 1k-k11、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)-1=E(ij(-k)，如：1=1(k0)；-1115. 矩阵秩的基本性质：、0r(Amn)min(m,n)；、r(AT)=r(A)；、若AgB，则r(A)=r(B)；、若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） 、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)+r(B)；（） 、r(A+B)r(A)+r(B)；（） 、r(AB)min(r(A),r(B)；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB=0，则：（） 、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解（转置运算后的结论）；、r(A)+r(B)n、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)+r(B)-n；6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1ac、型如01b的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式：(a+b)n=C0an+C1an-1b1+L+Cman-mmnnnnb+L+Cn-11bn-1+Cnbnmmn-nan=Cmnab； m=0注：、(a+b)n展开后有n+1项；、Cmn(n-1)LL(n-m+1)n!n=1g2g3gLgm=m!(n-m)!C0nn=Cn=1、组合的性质：Cmn-mnrn=CnCmmm-1n+1=Cn+CnCn=2nrCrr-1n=nCn-1；r=0、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：nr(A)=n 、伴随矩阵的秩：r(A*)=1r(A)=n-1； 0r(A)n-1、伴随矩阵的特征值：A*l(AX=lX,A*=AA-1 AX=AlX)；、A*=AA-1、A*=An-18. 关于A矩阵秩的描述：、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0；（两句话）、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；、r(A)n，A中有n阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax=b，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程； 10. 线性方程组Ax=b的求解：线性代数知识点总结.、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1 ax+ax+L+ax=b 2112222nn2、； LLLLLLLLLLLam1x1+am2x2+L+anmxn=bna11、a21Mam1a12a22Mam2La1nx1b1线性代数知识点总结.La2nx2b2（向量方程，=Ax=bOMMMLamnxmbmA为mn矩阵，m个方程，n个未知数）、(a1a2b1x1bx2（全部按列分块，其中b=2）； Lan)=bMMbnxn、a1x1+a2x2+L+anxn=b（线性表出）、有解的充要条件：r(A)=r(A,b)n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：a1,a2,L,am构成nm矩阵A=(a1,a2,L,am)；b1TTbTTTm个n维行向量所组成的向量组B：b1,b2,L,bm构成mn矩阵B=2；MbTm线性代数知识点总结.含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 Ax=b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示 AX=B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14) 4. 5.r(ATA)=r(A)；(P101例15)n维向量线性相关的几何意义：、a线性相关 a=0；、a,b线性相关 a,b坐标成比例或共线（平行）；、a,b,g线性相关 a,b,g共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若a1,a2,L,as线性相关，则a1,a2,L,as,as+1必线性相关；若a1,a2,L,as线性无关，则a1,a2,L,as-1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；向量组A能由向量组B线性表示AX=B有解；r(A)=r(A,B) 向量组A能由向量组B等价 r(A)=r(B)=r(A,B)8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl，使A=P1P2LPl；、矩阵行等价：ABPA=B（左乘，P可逆）Ax=0与Bx=0同解、矩阵列等价：ABAQ=B（右乘，Q可逆）； 、矩阵等价：ABPAQ=B（P、Q可逆）； 对于矩阵Amn与Bln：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩； 若AmsBsn=Cmn，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=0 只有零解 Bx=0只有零解；、Bx=0 有非零解 ABx=0一定存在非零解；设向量组Bnr:b1,b2,L,br可由向量组Ans:a1,a2,L,as线性表示为：(b1,b2,L,br)=(a1,a2,L,as)K（B=AK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)=r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：Qr=r(B)=r(AK)r(K),r(K)r,r(K)=r；充分性：反证法）cr9.10.11.12.注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵Amn，存在Qnm，AQ=Em r(A)=m、Q的列向量线性无关；、对矩阵Amn，存在Pnm，PA=En r(A)=n、P的行向量线性无关； 14. a1,a2,L,as线性相关存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，使得k1a1+k2a2+L+ksas=0成立；（定义）x1(a,a,L,a)x2=0有非零解，即Ax=0有非零解； 12sMxsr(a1,a2,L,as)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：r(S)=n-r； 16. 若h*为Ax=b的一个解，x1,x2,L,xn-r为Ax=0的一个基础解系，则h*,x1,x2,L,xn-r线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵ATA=E或A-1=AT（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj=10i=jij(i,j=1,2,Ln)；、若A为正交矩阵，则A-1=AT也为正交阵，且A=1； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,L,ar)b1=a1；b2=a2-b,aba,b-rar,b1,a21b1-2rgb2-L-gb-r; gb1 LLL br=ar-1rg1b1,b1b2b,2br-br1,1b1,b1-3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. 、A与B等价 A经过初等变换得到B；线性代数知识点 归纳整理篇四:线性代数知识点总结线性代数知识点 归纳整理 诚毅学生 编01、余子式与代数余子式 . - 2 - 02、主对角线 . - 2 - 03、转置行列式 . - 2 - 04、行列式的性质 . - 3 - 05、计算行列式 . - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 . - 4 - 07、几类特殊的方阵 . - 4 - 08、矩阵的运算规则 . - 4 - 09、矩阵多项式 . - 6 - 10、对称矩阵 . - 6 - 11、矩阵的分块 . - 6 - 12、矩阵的初等变换 . - 6 - 13、矩阵等价 . - 6 - 14、初等矩阵 . - 7 - 15、行阶梯形矩阵 与