条件极值与隐函数习题课.doc

第十四、十五章 条件极值与隐函数习题课一、重要内容1、 极值1）、无条件极值的计算和判断主要步骤：i)、计算可疑点：驻点偏导数不存在的点。Ii）、判断A)、判断可疑点为极值点，常用方法：a)、定义法：计算，若存在某个，使得在上恒成立，则为极小值点；若存在某个，使得在上恒成立，则为极大值点。b)、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点；即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法（二阶微分法）。 通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性质。B)、判断可疑点不是极值点，常用方法有：a)、定义法：对任意的，确定一对点，使得 则，不是极值点。 b)、二阶导数法：H为不定矩阵时，不是极值点。2）、条件极值的计算与判断主要步骤：i)、构造L-函数；ii)、计算L-函数的驻点；iii)、判断，常用方法为二阶微分法。3）、隐函数极值的计算4)、极值的应用主要有 计算函数闭区域上的最值；证明多元不等式。2、隐函数存在定理 要求：熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数存在定理。二、典型例题例1、讨论的极值。进一步研究沿任意直线在的极值性质。解、先计算驻点。求解得唯一驻点。判断。计算得，H=0，故二阶导数法失效。（同样，因而不能确定对任意的(dx，dy)，都成立0,二阶微分法同样失效。）用定义判断。注意到 因而，对任意,取r充分小满足，则 且，故不是极值点。再考虑沿直线y=kx在的极值性质。转化为无条件极值讨论。当k=0时，沿直线y=0, 函数z转化为一元函数，因而为其极小值点，故对应的为函数z沿直线y=0的极小值点。当时，沿直线y=kx，则，为驻点，进一步判断为极小值点，因而，对应的为原函数z沿直线y=kx的极小值点。注、事实上，在原点的任意邻域内，通过曲线将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线之间的部分和曲线上面的部分，函数z在上下两部分上取值为正，在曲线间的部分取值为负，而正取自使函数不同号的部分里。当沿直线y=kx考虑时，由于当x充分小时，直线y=kx总在曲线的上方，因而，取不到使函数z取负值的点如，故是极值点。注、结论表明：设为函数z的定义域内某一点，沿任一过直线，为函数z极值点，并不一定表明点就是函数z在其定义域内的极值点。例2、计算z=f(x,y)=在由直线x+y=6及x轴、y轴所围成的闭区域D上的极值和最值。解、先计算D内的极值点。求解 的D内驻点。（注、(0,y)、(4,0)也是驻点，但不在D内，而在D的边界上。）判断。计算得，H=32，故，为极大值点且对应的极大值为。其次，计算边界上的最值。记D的边界为 、。则，计算得最后，对内部极值和边界值进行比较。比较内部极值和边界值可知：函数z在D的内部有极大值，而在整个闭区域D上，函数的最大值为，最小值为f(4,2)=-64.例3、设为正定矩阵，计算在上的最值。解、在有界闭集 上连续，因而存在最大值点和最小值点，故，最小值，又由正定性得。进一步计算如下：构造 ，得驻点方程组： ，由于在D上必能达到最大值和最小值，故上述方程组必有解。和就是其两个解。由（3）知：其解必为非零解，因而对（1）、（2），必有解得 ，。设为其一组解，则代入方程组且由 得 ，因而， 。即对应的一组解必满足，因此，必有，。例4、计算在下的最大值。其中解、显然，函数f0，此时，f(x,y,z)与具有相同的单调性，故可以采用对数法。记，构造L-函数 则，求解如下驻点方程组 得。 又，计算得 故，在，因而在点达到极大值。又，沿边界x=0,y=0,z=0，都有，故所求最大值为。注、注意掌握上述求极值的对数法。例5、计算在条件下的最小值。其中。解、构造L函数，求解方程组 ， 得唯一驻点。由题意和驻点的唯一性，则在处达到最小值。特别，当时，在下在处达到最小值，因而，成立不等式 。注、利用题意和驻点的唯一性，不需进一步的判断，可以直接给出唯一的驻点处的极值性质，这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。例7、证明：时成立不等式 。证明、用极值理论证明不等式。记，只需证明在D上成立 ，因而，只需证明在区域D上的最小值为0。求解 得函数的驻点为曲线，上的所有点且。（进一步验证，在这些驻点处都有H=0，因而，二阶导数法失效，且在无界区域D上，函数最值存在性也是未知的，为此，采用逼进法，转化为在有界闭区域的最值的讨论。）记，则，曲线l在内的点仍是的驻点，为计算在上的最值，只需讨论边界最值。简单计算可知： 在s=0处取到最小值0； 在s=lnR处取到最小值0；在t=1处取到最小值0；在处取到最小值0；因而，函数在上的最小值为0，即在，；由R的任意性，得到 ，。注、沿任一条直线，可以发现，函数在曲线l上达到最小值0，但，由例1知道，这还不能说明函数的最小值为0。例8、设z=z(x,y)是由确定的隐函数，计算函数z(x,y)的极值。分析：先计算可疑点。这些点满足，由此出发确定可疑点。解、将方程中z视为x、y的复合函数，求导得 故、令，代入得 x=3y -3x+10y-z=0此外，还成立 ，解之得解为，则对应点为函数z的可疑的极值点。进一步计算二阶导数，得 故，为极小值点，极小值为，为极大值点，极大值为。注、关于隐函数的极值的计算还有下述结论。例9、具二阶连续偏导，且由=0可确定，讨论的极值的必要和充分条件，并由此计算由所确定的的极值。分析题意：由极值理论，对一个已知的函数，其极值点的充要条件是已知的（在本题条件下），因此，本题的目的是将由表示的充要条件转化为已知的函数来表示。解：必要条件。 给定点，设为的极值点，则，（我们要寻求能确定的条件）由在点取得极值的必要条件，则 。（根据题意，要将此条件转化为用表示的形式，因此要寻求它们的关系）由于函数是由=0所确定的隐函数，由隐函数的求导及隐函数存在的条件：，因而：，故：为的极值点的必要条件为：为方程组的解。（因而，通过求解关于x、y、z的方程组 ，其解(x,y,z)就是可能的极值点）。充分性： 设满足：，（要证在何条件下：为的极值点，此过程与上述过程类似，将在点取得极值的充分条件转化为用表示的条件）。利用隐函数求导：，因而：为的驻点，记，则由极值的充分条件：当H正定时，为极小值点；当H负定时，为极大值点。（将上述H中的条件转化为的条件）。由于，因而：，注意到：，故：，类似：，故，故充分条件是：正定时，为极小点； 负定时，为极大点。应用：考察由0所确定的隐函数的极值。由上述结论，先求解，得两组解解：。由于，则在点附近确定的隐函数为，进一步判断在点的极值性质。计算，故是负定的，因而为的极大值点；是正定的， 因而为的极小值点。事实上：F