1向量及向量的基本运算.doc

5.1向量及向量的基本运算 一、知识要点归纳1）向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作|。零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。单位向量：模为1个单位长度的向量。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。2）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）； （2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。的作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4)实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5)两个向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。6)平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。二、例题选讲例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9)已知A（3，7），B（5，2），将按向量=（1，2）平移后得到的向量的坐标为（3，3）(10）的充要条件是且；解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图 （9）不正确，=（1，2），平移公式是，将A（3，7），B（5，2）分别代入可求得，故=（6,4）（4,9）=（2,5）。（10）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到； 点评正确理解向量的有关概念例2 如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来解：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，所以=，所以= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示练习：（1）如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD3CN,设解： . 点评根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示（2）在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.解：由已知得=，=. 设=，R，则=+=+.而=，=+（）=+（）.=（）+.同理，设=t，tR，则=+=+t=+t（）=+t（）.=（）+t.（）+=（）+t.由与是不共线向量，得 解得=+，即=a+b.评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.例3设非零向量、不共线，=k+，=+k (kR)，若，试求k解： 由向量共线的充要条件得： = (R)即 k+=(+k) (k-) + (1-k) = 又、不共线 由平面向量的基本定理 练习：（1）设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值分析:使解：, 使得点评共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决（2）求证：起点相同的三个非零向量，32的终点在同一条直线上证明：设起点为O，=，32，则=2()，=， 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，32的终点在同一直线上点评：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成： 证明向量平行； 说明两个向量有公共点；用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无公共点例4 若a、b是两个不共线的非零向量（tR）.（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60，那么t为何值时，|atb|的值最小?解：（1）设atb=ma（a+b）（mR），化简得（1）a=（t）b.a与b不共线，t=时，a、tb、（a+b）的终点在一直线上.（2）|atb|2=（atb）2=|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60=（1+t2t）|a|2，t=时，|atb|有最小值|a|.评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.三、课堂小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3