知识点223欧拉公式(填空)VIP

1 一个五棱柱有个 7 面 15 条棱 10 个顶点 考点 欧拉公式 分析 根据棱柱的特性 n 棱柱有 n 2 个面 3n 条棱 2n 个顶点 解答 解 故五棱柱有 7 个面 15 条棱 10 个顶点 故答案为 7 15 10 点评 本题主要考查 n 棱柱的构造特点 n 2 个面 3n 条棱 2n 个顶点 2 伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点 V 棱数 E 面数 F 之 间关系的公式为 V F E 2 考点 欧拉公式 分析 根据一个多面体的顶点 面数 棱数的关系 顶点 面数 棱数 2 列出公式即可 解答 解 伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点 V 棱数 E 面数 F 之间关系的公式为 V F E 2 点评 熟记一个多面体的顶点 面数 棱数的关系式 顶点 面数 棱数 2 3 正方体或长方体是一个立体图形 它是由 6 个面 12 条棱 8 个顶点组成 的 考点 欧拉公式 分析 正方体和长方体属于四棱柱 根据棱柱的特性即可解 n 棱柱有 n 2 个面 3n 条棱 2n 个顶点 解答 解 根据以上分析 正方体或长方体是由 6 个面 12 条棱 8 个顶点组成 故答案为 6 12 8 点评 本题需注意正方体或长方体可看作四棱柱 按照棱柱的构造特点来做 4 长方体由 6 个面 12 条棱 8 个顶点 考点 欧拉公式 分析 长方体属于四棱柱根据四棱柱的概念及特性即可解 解答 解 长方体属于四棱柱 四棱柱有 6 个面 12 条棱 8 个顶点 故答案为 6 12 8 点评 可把长方体看作四棱柱根据棱柱的构造特点来做 5 一个多面体有 12 条棱 6 个顶点 则这个多面体是 八 面体 考点 欧拉公式 分析 根据常见几何体的结构特征进行判断 解答 解 一个多面体有 12 条棱 6 个顶点 为 8 面体 每个面都是三角形 故答案为八 面体 点评 本题考查四棱柱的结构特征 是一道简单的基础题 6 长方体有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 考点 欧拉公式 分析 根据长方体的概念和特性即可解题 解答 解 根据长方体的特征知 它有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 故答案为 8 12 6 点评 对于四棱柱 一定有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 应熟记这一特征 7 六棱柱有 12 个顶点 18 条棱 8 个面 考点 欧拉公式 分析 根据六棱柱的概念和定义即解 解答 解 六棱柱上下两个底面是 6 边形 侧面是 6 个长方形 所以共有 12 个顶点 18 条棱 8 个面 故答案为 12 18 8 点评 解决本题的关键是掌握六棱柱的构造特点 8 一个多面体的面数为 6 棱数是 12 则其顶点数为 8 考点 欧拉公式 分析 因为多面体的面数为 6 棱数是 12 故多面体为四棱柱 解答 解 根据四棱柱的概念 有 8 个顶点 故答案为 8 点评 本题考查的棱柱的定义 关键点在于 棱柱的面与面相交成棱 棱与棱相交成点 9 一个直棱柱有 7 个面 则它有 10 个顶点 15 条棱 表面上至少有 20 个直 角 考点 欧拉公式 分析 一个直棱柱有 7 个面 故为五棱柱 根据五棱柱的概念和特点求解 解答 解 因为是五棱柱 故有 10 个顶点 15 条棱 表面上至少有 20 个直角 故答案为 10 15 20 点评 本题需注意 因为每个侧面都是矩形有 4 个直角 直五棱柱有 5 个侧面 至少有 20 个直角 10 长方体有 6 个面 有 12 条棱 考点 欧拉公式 分析 根据长方体属于四棱柱 结合四棱柱的特征进行填空 解答 解 长方体有 6 个面 有 12 条棱 故答案为 6 12 点评 n 棱柱有 2n 个顶点 有 n 2 个面 有 3n 条棱 11 正八面体有 6 个顶点 12 条棱 8 个面 考点 欧拉公式 分析 依据正八面体是由 8 个正三角形所围成的立体图形作答 解答 解 正八面体有 8 个面 每个面都是全等的正三角形 有 6 个顶点 12 条棱 点评 本题考查的是正八面体的特征 是简单的基础题 12 一个直棱柱有 18 个顶点 则它是直 九 棱柱 有 27 条棱 11 个面 考点 欧拉公式 分析 根据一个 n 直棱柱有 2n 个顶点 3n 条棱 n 2 个面 进行填空 解答 解 一个直棱柱有 18 个顶点 则它是直九棱柱 有 27 条棱 11 个面 故答案为九 27 11 点评 熟记一个 n 直棱柱的顶点的个数 面的个数和棱的条数与 n 的关系 本题容易解 决 13 从每个顶点出发的所有棱长相等 所有面形状 大小完全相同的正多边形的几何体称 为正多面体 其面数 顶点数 棱数 2 考点 欧拉公式 分析 根据欧拉公式 得出正多面体的面数 顶点数 棱数的结果 解答 解 从每个顶点出发的所有棱长相等 所有面形状 大小完全相同的正多边形的几 何体称为正多面体 其面数 顶点数 棱数 2 故答案为 2 点评 本题考查多面体的顶点数 面数 棱数之间的关系及灵活运用 14 如图 一个正四面体共有 4 个面 4 个顶点 6 条棱 考点 欧拉公式 分析 结合图形 可知个正四面体是三棱锥 再根据棱的定义判断棱的条数即可 解答 解 根据题意可知 一个正四面体共有 4 个面 4 个顶点 6 条棱 故填 6 点评 将多面体的顶点数用 V 表示 面数用 F 表示 棱数用 E 表示 则 V F E 之间的数 量关系可用一个公式来表示 这就是著名的欧拉公式 V F E 2 15 长方体有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 这些面的形状是 长方形或正方形 考点 欧拉公式 分析 根据长方体的概念和定义即可解 解答 解 长方体由 6 个面围成 面与面相交成棱 三条棱相交于一点是顶点 所以长方 体有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 这些面的形状是长方形或正方形 故答案为 8 12 6 长方形或正方形 点评 掌握四棱柱的特征 其中有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 16 八棱柱有 16 个顶点 24 条棱 10 个面 考点 欧拉公式 分析 根据棱柱的特性 n 棱柱有 2n 个顶点 3n 条棱 n 2 个面 解答 解 八棱柱有 16 个顶点 24 条棱 10 个面 故答案为 16 24 10 点评 本题主要考查 n 棱柱的构造特点 17 n 棱柱有 2n 个顶点 3n 条棱 n 2 个面 考点 欧拉公式 分析 根据棱柱的概念和特性即可解 解答 解 三棱柱有 3 2 个顶点 3 3 条棱 3 2 个面 n 棱柱有 2n 个顶点 3n 条棱 n 2 个面 故答案为 2n 3n n 2 点评 本题可由具体的棱柱的构造得到一般棱柱的构造 18 一个直六棱柱的侧面个数是 6 顶点个数是 12 棱的条数是 18 考点 欧拉公式 分析 一个直六棱柱是由两个六边形的底面和 6 个长方形的侧面组成 根据其特征进行填 空即可 解答 解 一个直六棱柱的侧面个数是 6 顶点个数是 12 棱的条数是 18 故答案为 6 12 18 点评 n 棱柱有 2n 个顶点 有 n 2 个面 有 3n 条棱 19 一个直五棱柱 它有 15 条棱 有 10 个顶点 5 个侧面 考点 欧拉公式 分析 一个直五棱柱是由两个五边形的底面和 5 个长方形的侧面组成 根据其特征进行填 空即可 解答 解 一个直五棱柱 它有 15 条棱 有 10 个顶点 5 个侧面 故答案为 15 10 5 点评 n 棱柱有 2n 个顶点 有 n 2 个面 有 3n 条棱 20 五棱柱有 10 个顶点 有 15 条棱 有 7 个面 考点 欧拉公式 分析 根据五棱柱的概念和特性可解题 解答 解 5 棱柱有 10 个顶点 15 条棱 7 个面 故答案为 10 15 7 点评 本题主要考查 n 棱柱的知识点为 n 棱柱有 2n 个顶点 3n 条棱 n 2 个面 21 一个正多面体 20 个顶点 12 个面 则它共有 30 条棱 考点 欧拉公式 分析 根据一个多面体的顶点 面数 棱数的关系 顶点 面数 2 棱数 直接代入计算即 可 解答 解 一个正多面体 20 个顶点 12 个面 则它共有棱 20 12 2 30 条 故答案为 30 点评 熟记一个多面体的顶点 面数 棱数的关系式 顶点 面数 棱数 2 是解决此类问 题的关键 22 正三棱锥的顶点数有 4 个 棱有 6 条 有 4 个面 考点 欧拉公式 分析 正三棱锥的侧面是三个三角形围成 底面也是一个三角形 结合三棱锥的组成特征 可确定它的顶点个数 棱的条数和面的个数 解答 解 正三棱锥的顶点数有 4 个 棱有 6 条 有 4 个面 故答案为 4 6 4 点评 熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键 23 五棱柱是由 7 个面围成的 它有 10 个顶点 有 15 条棱 考点 欧拉公式 分析 根据五棱柱的概念和特性即可解 五棱柱有 7 个面 10 个顶点和 15 条棱 解答 解 五棱柱是由侧面的 5 个长方形和上下 2 个底面组成 共 7 个面围成的 其中面 与面相交成棱 棱与棱相交成顶点 它有 10 个顶点 有 15 条棱 故答案为 7 10 15 点评 柱体中 面与面相交成棱 棱与棱相交成顶点 24 图 1 1 2 3 依次表示四面体 八面体 正方体 它们各自的面积数 F 棱数 E 与顶点数 V 如下表 FEV 四面体464 八面体8126 正方体6128 观察这些数据 可以发现 F E V 之间的关系满足等式 F E V 2 考点 欧拉公式 专题 计算题 分析 根据题给图形中各图具体的面积数 F 棱数 E 与顶点数 V 即可得出答案 解答 解 根据表中所列可知 四面体有 4 6 4 2 八面体有 8 12 6 2 正方体有 6 12 8 2 故有 F E V 2 故答案为 F E V 2 点评 本题主要考查了欧拉公式的知识 属于基础题 注意对欧拉公式的熟练掌握 25 很多同学都知道空间多面体有一个欧拉公式 顶点数 面数 棱数 2 如长方体有 8 个 顶点 6 个面与 12 条棱 满足 8 6 12 2 现在请你观察如下的平面图形 图 1 是一个三角形 它将整个平面分成了内部与外部两个 区域 图 2 是由平面上 5 个点组成的两个不重叠的三角形 任意 3 点都不在一条直线上 图 3 是由平面上 7 个点组成的 3 个互不重叠的三角形 任意 3 点都不在一条直线上 我们 还可以画出由平面上更多的点组成的具有相同特征的三角形组合图形 试猜想它们的点数 a 边数 b 与区域数 c 满足的一个等式是 答案不唯一如 a c b 2 2a b c 1 考点 欧拉公式 专题 计算题 分析 分别找出所给三个图形的点数 a 边数 b 和区域数 c 的值 然后看其右什么关系 继而猜想它们满足的等式 解答 解 根据题意可知 图 1 a 3 b 3 c 2 图 2 a 5 b 6 c 3 图 3 a 7 b 9 c 4 继而可得 a c b 2 或 2a b c 1 等 故答案为 答案不唯一如 a c b 2 2a b c 1 点评 本题考查了欧拉公式的知识 属于基础题 准确找出各图中的 a b c 的值是关 键 26 正方体有 6 个面 8 个顶点 经过每个顶点有 3 条棱 这些棱的长度 相同 填 相同 或 不同 棱长为 acm 的正方体的表面积为 6a2 cm2 考点 欧拉公式 几何体的表面积 分析 根据正方体的概念和特性进行解答 并用正方体的面积公式计算面积 解答 解 正方体属于四棱柱 有 4 2 6 个面 4 2 8 个面 经过每个顶点有 3 条棱 这 些棱的长度相同 正方体的表面积由 6 个小正方形的面积组成 所以是 6 a2 6a2 故答案为 6 8 3 相同 6a2 点评 需熟练掌握正方体的构造特征 27 一个多面体有 12 条棱 8 个顶点 则这个多面体一定是 六面体 考点 欧拉公式 专题 推理填空题 分析 根据常见几何体的结构特征进行判断 解答 解 一个多面体有 12 条棱 8 个顶点 为 6 面体 每个面都是四边形 故答案为六面体 点评 本题考查的知识点是欧拉公式及几何体的特征 是一道简单的基础题 28 一个四棱柱有 8 个顶点 有 12 条棱 有 6 个面 它的侧面 是长方 形 考点 欧拉公式 专题 推理填空题 分析 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行 由这些面所围成的几何体叫做棱柱 它的每个侧面都是平行四边形 四棱柱 共有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 它的侧面展开图是长方形 解答 解 根据四棱柱的特点得 四棱柱共有 8 个顶点 12 条棱 6 个面 它的侧面展开 图是长方形 故答案为 8 12 6 是长方 点评 此题考查的知识点是欧拉公式 本题是一个基本的题目 考查对常见图形的认识 是需要识记的内容 29 一个棱柱有 l8 条棱 那么它的底面是 六 边形 考点 欧拉公式 专题 常规题型 分析 根据欧拉公式简单多面体的顶点数 V 面数 F 及棱数 E 间的关系是 V F E 2 然后 把棱数 18 代入进行讨论即可求解 解答 解 根据欧拉公式有 V F E 2 E 18 V F 2 18 20 当棱柱是四棱柱时 V 8 F 6 V F 14 当棱柱是五棱柱时 V 10 F 7 V F 17 当棱柱是六棱柱时 V 12 F 8 V F 20 有 l8 条棱的棱柱是六棱柱 它的底面是六边形 故答案为 六 点评 本题考查了欧拉公式的应用 需要对棱柱的顶点数与面数的关系有全面的认识并熟 记欧拉公式方可进行解答 30 一个直五棱柱的侧面个数是 5 顶点个数是 10 棱的条数是 15 考点 欧拉公式 专题 计算题 分析 一个直五棱柱是由两个五边形的底面和 5 个长方形的侧面组成 根据其特征及欧拉 公式 V F E 2 进行填空即可 解答 解 一个直五棱柱由两个五边形的底面和 5 个长方形的侧面组成 根据其特征及欧 拉公式 V F E 2 可知 它有 15 条棱 有 10 个顶点 5 个侧面 故答案为 5 10 15 点评 本题主要考查了欧拉公式的知识 注意掌握 n 棱柱有 2n 个顶点 有 n 2 个面 有 3n 条棱 31 一个直五棱柱的侧面个数是 5 顶点个数是 10 棱的条数是 15 考点 欧拉公式 专题 计算题 分析 一个直五棱柱是由两个五边形的底面和 5 个长方形的侧面组成 根据其特征及欧拉 公式 V F E 2 进行填空即可 解答 解 一个直五棱柱由两个五边形的底面和 5 个长方形的侧面组成 根据其特征及欧 拉公式 V F E 2 可知 它有 15 条棱 有 10 个顶点 5 个侧面 故答案为 5 10 15 点评 本题主要考查了欧拉公式的知识 注意掌握 n 棱柱有 2n 个顶点 有 n 2 个面 有 3n 条棱 32 一个六棱柱有 8 个面 18 条棱和 12 个顶点 考点 欧拉公式 专题 计算题 分析 根据棱柱的特性 n 棱柱有 n 2 个面 3n 条棱 2n 个顶点即可得出答案 解答 解 六棱柱有 8 个面 18 条棱 12 个顶点 故答案为 8 18 12 点评 本题主要考查了欧拉公式的知识 注意掌握 n 棱柱的构造特点 n 2 个面 3n 条棱 2n 个顶点 33 一个棱柱有 18 条棱 则它有 8 个面 考点 欧拉公式 专题 几何图形问题 分析 根据棱柱的概念和定义 可知有 18 条棱的棱柱是六棱柱 据此解答 解答 解 一个棱柱有 18 条棱 这是一个六棱柱 它有 8 个面 故答案为 8 点评 本题考查六棱柱的