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常微分重点中的例题答案例1：解： 当，有 两边求积分得： （*） 把y(0)=1代入（*）式，得-1=c 满足初始条件的解为 当方程y=0,不满足初始条件 y=0不是满足初始条件的解例2：(1)解： 当即-1y1时变量分离，有 两边同时积分得： 得方程通解： 当把代入原方程满足条件 所以方程的常数解为: （2）解： 首先容易看出为方程的常数解 当时，两端同除以得 两边同时积分得 化简得方程通解： 例3：解： 方程组有解 令 代入原方程得： 令代入上式得 即： 两边同时积分得: 即 把反代回得原方程通解： 例4：解： 令 则 = = 例5：证明： 假设对任一解x(t)满足初始条件， 从而有 因为x(t)是连续函数，则x(t)在有界。 设 于是，对有 结论正确例6：解： =f(x) 与y无关，故存在只含x的积分因子代入原方程得 为全微分方程 去由公式知：原方程的通积分为： 解得方程的通解：例7：（1）解： 该方程是克莱罗方程 方程通解为： 又由，消去c得 方程特解： （2）解： 令代入原方程得 又 由 消去 得方程的通解： （3）解： 令代入原方程得 又 由消去t 得方程的通解： 例8：解： 由变量分离可求得方程的通解为： 对c求偏导联立得消去c得 方程的奇解：y=0 例9：解： 方程组的系数矩阵为： 特征方程为： 得特征根为 对应的解为 所对应的解形如 其中 又 由得出两个线性无关的向量 将上述向量分别代入均得到为零向量 对应的无关解是： 得方程的通解为 例10：证明： 设y是已知二阶齐次方程的一个解，根据刘维尔公式有 即 用同时乘以等式两端，整理后得： 由此可得 因为是方程的一个非零特解 易见是已知方程的一个解 即 又因为 所以求得的解y与已知解是线性无关解 从而得已知方程的通解： 命题成立。 例11：解： 先求其对应齐次方程的通解 特征方程是得特征根为 所以对应齐次方程的通解为 因为不是特征根，因为知原方程有形如得特解 代入原方程得 比较上式等号两端x的同次幂数可得 A=1,B
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