构造法在数学解题中的应用.doc

构造法在数学解题中的应用摘要: 构造法是数学解题中常用的一种方法，尤其在解决繁难的数学问题时，如能根据具体问题恰当运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，使问题迎刃而解。数学构造法是一种重要的创造性思维方法。文章从构造命题、函数、方程、恒等式、数列、几何模型及实物模型等九个方面展示了构造法在数学解题中的应用。关键词:应用 解题 构造法 引言:数学的学习过程，离不开解题，美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”。在数学教育中，解题活动可以说是最基本的活动形式。一个好的问题的解决方式往往有多种。用构造法解题是一个既古老又年轻的科学方法，如欧拉“七桥问题”的解决，历史上许多数学家都曾用构造发解决过数学中的难题。 构造法是数学上的一种基本方法，在解题中通过对条件和结论的充分剖析，联想出一个适当的数学模型，使问题巧妙的得到解决，从而避免繁杂的运算或复杂的证明。 构造法有十分优越的特点：它在于使已知与未知，条件与结论，建立联系。使本来模糊不清的关系豁然开朗，层次分明。它起到化简、转化和“桥梁”的作用。如果我们能掌握构造法并能运用于解决数学问题,那么不但可以提高我们的解题能力,而且可以培养我们良好的数学思维品质。1、 构造函数构造函数法解题的方法就是根据题目变量间的关系构造一个辅助函数，使各变量有机结合起来，从而使解题思路明朗。它的应用非常广泛，常见的有应用于不等式的证明、等式证明、求值计算、分解因式、求极限、解方程组等。构造函数法解题要注意构造的函数需满足：（1）与命题的形式或几何解释密切相关（2）能够使推理计算变的简捷（3）函数的基本特性（定义域、值域、单调性、有界性、奇偶性、周期性等）与命题相符合（4）所构造的函数与题设条件有着直接或间接的联系。函数是初等数学教育的核心，是解决初等数学问题的基本出发点，利用函数的性质，将数学问题归结为函数问题来解是一种常见、有效、通用的做法。例1.1:已知为三角形的边，求证：证明：设是增函数。是三角形的三条边，则有，即例1.2：若x、y、z、a、b、c、r0，证明：。分析：三个式子结构相似，相当于函数f(x)=在相应三点之值。于是构造函数f(x)= (t0)，容易看出f(x)在(-,-t)和(-t,+)上单调递增,它们的图象是以直线x=t和f(x)=1为渐进线的双曲线.利用函数单调性有:=。例1.3：已知a,b,c,d,e是实数，且a+b+c+d+e=8,求证： 解：将已知条件变形为由此联想到构造一个关于t的二次函数，对于任意实数t恒成立。故其二次式的判别式小于或等于零，即或 解得 在高等数学中构造函数的方法进行了一定程度的研究，主要分析说明了构造函数的常用方法及其在高等数学中的作用，重点从证明存在性、不等式、方程的根及和式的极限等方面论述了构造函数法的重要作用。可以通过分析法，即从结论出发，从后向前一步一步的进行分析，通过对条件和结论的分析，构造出辅助函数，架起一座连接条件和结论的桥梁，最后获得证明。也可以用数形结合法，即建立在数形结合基础上的几何图形常能引导人们去获得解决问题的方法，通过对几何图形的观察，构造出符合条件的辅助函数，使问题得以解决。例1.4 拉格朗日定理作为微分中值定理的一种，是讨论怎样由导数的已知性质来推断函数所应具有的性质的有效工具，在高等数学中有着极其重要的作用。下面通过构造函数证明此定理。Lagrange中值定理： 若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 （*）分析与解：作辅助函数 显然，且在上满足罗尔定理的另两个条件。故存在，使 移向后即得到所要证明的（*）式。例1.5：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，又不是线性函数，且。试证，使得分析：过点的线性函数为因不是线性函数，则，只要证明即可 证明：设辅助函数，则在内可导，由于，使。当时,由Lagrange中值定理，当，即例1.6：求 分析：这是用构造法求和式的极限，转化为积分和式极限的极限。解：取，则其在上连续，将区间分为n个小区间，分点为，取，则由定积分的定义有=2、 构造复数模型如果题设条件或结论具有复数的模、辐角的某种性质的形式，则可构造复数，应用复数的有关性质解决。例2.1:已知a、b为小于1的正数，求证：证明：设，则，所以有成立。 3、 构造二次型例3.1：设是mn个实数，证明：证：构造m元二次型显然是半正定的，而D正好是的行列式所以。证毕4、构造方程 方程是一个重要的数学工具，初等数学对方程作了深入的研究，形成了完善的理论体系。因此，构造方程可提供较多、较好的解题思路和途径。 例4.1：设求的最值。 分析：观察已知条件所给两个代数式的结构特点。设，则易得到与的等式。联想到将看做是某一个方程的两个根。则代数式的最值问题转化为方程是否有解的问题，问题就容易解决多了。 解：由已知及可得 所以，是关于t所构造方程的两个根 或又当时，；当时，故的最小值是1，最大值是9。例4.2、不查对数表，求证：0，解得a1，所以1。 5、构造恒等式 在求数列前n项和中，往往需要将每一项（通项）按其某中规律分拆成若干已知项或正负相同的项的和，从而使和式中出现大量相消项，那么对通项分拆的过程就是构造恒等式的过程。 例5.1：证明 解：将数列中的通项构造恒等式如下： 即 n个式子相加，得例5.2:设、是互不相等的实数，证明：分析与解：考虑以下等式 =0这是关于x的不超过二次的方程，显然时，上式成立，即有三个不等的根，从而说明上式是恒等式。 6、构造图形 德.摩根说过:“数学发明创造的动力不是推理,而是想象力的发挥.”图形可以使数学问题形象化,便于人们直观上的联想,从而使问题一目了然. 例6.1：某人身高1.5米，站立在离河岸3米处往水中看去恰好看到对岸河边一根电线杆在水中的倒影，已知水面低于河岸0.5米，河宽15米，求电线杆的高度。 解：我们如下构造图形 分析：河宽为FD，离河岸CB处身高为AB的人从A点往河中看，正好看到电线杆GH在水中整个倒影FM。F、E、D点在水面所处的直线上，H、C、B在河岸所处的直线上。其中AB=1.5m，BC=3m，FE+ED=15m，HF=CD=0.5m，求GH 易证ABCCDE ABCGFE 因此 即电线杆的高为6.5m.例6.2：若，求函数的最小值。分析：若将原函数式化为，发现式子的形式是两点间距离公式，进一步分析得到其几何意义是点到点和点的距离，于是构造如下的图形解：将原函数式化为，设，显然，而，因为，所以函数y的最小值为。7、构造数列例7.1:求证:证明:设 8、构造实物模型例8.1:求方程x+y+z+w=10有多少组正整数解?分析:这是一个不定方程问题,若用代数法进行讨论非常繁琐,若通过构造法将其转化为组合问题,则此题很容易得到解答,即构造10个相同的小球,放在4个盒子中,则每个盒子不空的总的放法即为方程解的组数,其又相当于将10个小球排成一排放在两条竖线之间,则球与球之间构成9个空位,在9个空位间划3条竖线,将每两条竖线间的小球依次装入4个盒子中,共有种装法,所以原方程有84组正整数解.可见,通过构造模型可使抽象的数学问题具体化,形象化,从而使问题易于解答. 9、构造新的数学命题当一些问题直接证明（或求解）较困难时，可以寻找与之等价（或接近）的较易证明的另一个问题，比如构造原命题的逆否命题，构造矛盾命题等。例9.1 求证：在自然数集中，存在2n+1(nN)个连续的自然数,使得前n+1个自然数的平方和等于后n个数的平方和。分析：这是一个证明存在性的问题，直接证明不易入手，但可以从题目的“连续”和“2n+1”的条件发现这2n+1个数中，中间的那个数（即第n+1个数）是关键。不妨设这个数为m，则第一个数为m-n，第2n+1个数为m+n，这样就把问题转化为：求以m为未知数的方程：的自然数解，此方程不难求解，移项得，=0化简得，-2n(n+1)m=0,解得m=0(舍去)，m=2n(2n+1),(nN),即存在第一个数为n(2n+1),第n+1个数为2n(2n+1),最后一个数为n(2n+3)的2n+1个连续自然数,符合题目所求。构造方法是数学中主要的解决问题的方法之一，具有扎实的基本理论、基本运算的功底，是综合地分析解决问题的基础。同时，多方位地、多角度地构造辅助问题，将有机地将各学科知识融会贯通，提高解决问题的能力。构造法的应用还有许多，须针对不同的数学问题灵活采用其相应的构造法，这里不能一一枚举，但通过以上几例可见，构造法在解题应用中不但具有把问题由繁化简，由难化易，由抽象化具体的转化之功能，而且还具有保证解答正确的“保险”之功能，因此构造法是解决数学问题应用甚广的一种方法。在解决数学问题中若能巧妙恰当地运用构造法，则可以达到事半功倍的效