2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题详细解答(word版)_第1页
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2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（考试时间： 2015 年5月17日上午 8 : 30 一 10 : 30 )注意：1所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效； 2密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记一、填空题（本大题共10小题，每小题8分，共80分，请将答案填写在下面答题卡相应的横线上）1函数的最小值是 解析：定义域为，设，当时单调递减，单调递减， 当时单调递减同理，当时递增，而当时函数值,当时，而当时, ， 2被8除所得余数是 解析：原式，原式被8除余数为53己知实数满足，则的取值范围是 解析：由己知得，由,将前面两个式子代入得得4己知数列的通项公式为，其前项和为，则在数列中,有理数项共有 项解析：,从而中只有43个有理项 5四面体A-BCD中， AB = CD =5 , AC = BD=， AD=BC=，则四面体A-BCD的外接球半径为 解析：构造棱长分别为3、4、5的长方体，则四面体A-BCD的外接球即为长方体的外接球，6函数的图像是开口向下的抛物线，互异，且都在集合中取值，则这些抛物线中通过点（0，-l）的有 个 解析：抛物线过点（0，-l), , =-5,-4,-3,-2，-1, 0, 1,2,3,4, 5,只能从-5，-4，-3，-2中取一个有种取法，则有种取法，由乘法原理共有=36种可能 7ABC内有2015个点，加上三个顶点，共有2018个点把这些点连线，形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数是 解析：,8在锐角ABC 中，A，B，C的对边长依次为, 若，则B的取值范围是 解析：，9设复数，其中，当取得最小值时，= 解析：易求得, , 取得最小值，当且仅当解得10正整数，具有如下性质：从集合1, 2，500中任取一个元素，若整除的概率是，则正整数的最大值是 解析：由题设恰有5个约数，设的质因数分解是，的约数个数为具有的形式，的最大值为 81 二、解答题（本大题共3小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤11. （本小题满分20分）设，且，求的最小值解：由柯西不等式知，令，设，在单调递增，当且仅当取到最小值，所求最小值为 12. （本小题满分 25 分）如图，已知PA、PB是由O外一点P引出的两条切线， M、N分别是线段AP、AB的中点，直线MN交O于C、 E两点，点N在M与C之间， PC交O于点D，延长ND 交PB于点Q证明：四边形MNQP为菱形证明：连结，显然三点共线，且，所以是中点，由是的中点，故，(5分)，所以，(10分)又四点共圆，故四点共圆， (15分)是直角三角形，有，于是四点共圆 (20分)，所以，四边形是菱形. (25分)13.（本小题满分25分）动点P在椭圆上移动时，求连结原点O和点P所得线段长的最大值解：设点，将椭圆方程变形为，椭圆的中心在（0, l)，满足：
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