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3036-3 闭区间上连续函数可积性的证明6-3 闭区间上连续函数可积性的证明 bax图6-3函数在区间上的一致连续性，使得对于任意给定的正数，都有仅与有关的正数，当把区间划分为有限个长度都不超过的小区间时(图6-3)，在每一个小区间上，函数的最大值减去最小值的差(称为振幅)不会超过，即。令， 则有即 (6-1)正是有这个结论，我们才证明了闭区间上连续函数的可积性。图6-4OaABxbyByAxO ab证 设是闭区间上的连续函数。对于区间的任何两个划分方法和，总有。为了说明这个结论,不妨认为。如图6-4，对于任意划分，小和对应的那些内接小矩形合起来含在曲边梯形内。如图6-4，对于任意划分，大和对应的那些外接小矩形合起来能够覆盖住曲边梯形。因此，总有。其次，因为所有可能的小和构成的集合有上界，所以有最小上界,于是；而因为对于所有可能的大和构成的集合有下界，所以有最大下界，于是。 因此，有。 特别，对于区间的任意划分，就有 或 根据条件(6-1)，所以(公共值)。又因为， 所以有即这样，就证明了函数在区间上的可积性。【注】函数在闭区间上连续是函数可积的充分条件,而不是必要条件。在下一章中将证明,在有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的，甚至有的可积函数会有无限多个间断点。习题和选解1.设函数和在闭区间上连续。用任意方法把区间划分成小区间：证明其中。注意，左端的和数不是积分和！而称它为“拟积分和”。2.设函数和在闭区间上有连续的导数。用任意方法把区间划分成小区间：。证明其中。左端的和数也不是积分和，也称它为“拟积分和”。3.黎曼引理（*）习惯上称这个结论为黎曼引理, 因为在证明其他许多有关结论时都要引用这个结论。 若函数在闭区间上连续，则有 和 【注】当函数在区间上为可积的情形时, 结论仍然成立（证明在下一章中）。证 设函数在闭区间上连续。为简单起见，只证明其中一个等式就行了。设(常数)。对于区间的任意划分：则有从而有 其中为函数在区间上的最大值, 为最小值; 而。 因此，设为任意给定的正数, 根据函数在区间上的一致连续性(康托尔定理), 先把区间划分成个小区间, 使在每一个小区间上, 都有; 再取正数，则当时，根据极限定义的“”说法，所以有。4.证明。证 由恒等式 得另一方面， ()其中函数在点有极限【用洛必达法则求极限】。补充函数值
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