高中数学第二章2.1数列自主训练.docx

2.1 数列自主广场我夯基 我达标1.如果无穷数列an的第n项与n之间的函数关系能用一个公式an=f(n)来表示，则该函数的定义域为( )A.Z B.N C.N+ D.N+的有限子集1,2,n思路解析:任意数列的定义域是N+或N+的有限子集1,2,n.由于这个数列是无穷数列，从函数观点来看，定义域是N+.答案:C2.下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,1,的通项公式的是( )A.an=(-1)n B.an=(-1)n+1C.an=(-1)n-1 D.an=思路解析:令n=1，对于an=(-1)n+1，a1=(-1)1+1=1，同样对于an=(-1)n-1，an=1,n为奇数,-1,n为偶数中均有a1=1，符合题意;而在an=(-1)n中，a1=(-1)1=-1,不符合数列首项.答案:A3.设数列,则是这个数列的( )A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项思路解析:数列通项公式为an=3n-1，令3n-1=25，解得n=7.答案:B4.已知数列an的首项a1=1，且an=3an-1+1(n2)，则a4为( )A.13 B.15 C.30 D.40思路解析:利用递推式可逐个求出a2,a3,a4.答案:D5.若数列an的通项公式是an=3-2n，则a2n=_，=_.思路解析:根据通项公式,可以求出这个数列中的任意一项.an=3-2n，a2n=3-22n=3-4n,.答案:3-4n 6.已知数列an中，an=2n+1.数列bn中，b1=a1，当n2时，bn=，则b4=_，b5=_.思路解析:题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系,可以逐个推导.an=2n+1,bn=(n2),b1=a1=3,b2=a3=7,b3=a7=15,b4=a15=31,b5=a31=63.答案:31 637.a1=1,an+1=an+2n(nN+),则这个数列的第5项为_.思路解析:an+1=an+2n,an+1-an=2n.a5=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)=1+21+22+23+24=1+2(1+2+3+4)=21.答案:218.记凸n-1边形的内角和为an-1(n3)，凸n边形的内角和为an，试写出an与an-1的关系式，找到它们之间的递推关系式，并且写出这个数列的通项公式.思路分析:关键要找到凸n-1边形与凸n边形之间图形的不同，它们之间只是差了个三角形，这样我们可以得到递推关系式，然后根据所得到的递推关系式可以归纳总结出这个数列的通项公式.但是要注意n的范围，n3.解:由凸n-1边形变为凸n边形，增加了一个三角形，故an=an-1+；当n=3时，a3=，接着分别得到a4=a3+=2，a5=3，a6=4，,可归纳出通项公式an=(n-2)(n3).我综合 我发展9.(2006广东高考，14)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)= _；f(n)=_(答案用n表示).图2-1-2思路解析:f(1)=1，观察图象可知，f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，通项公式是，所以f(5)=f(4)+15=35.利用归纳推理便可得f(n)=.答案:10 10.若an的前8项的值互异，且an+8=an，对于nN+都成立，则下列数列中，可取遍an前8项的值的数列为( )A.a2k+1 B.a3k+1 C.a4k+1 D.a6k+1思路解析:kN+，当k=1,2,3时，a2k+1、a4k+1、a6k+1均取奇数项，而无偶数项，a2k+1、a4k+1、a6k+1不符.而当k取以上值时，a3k+1可以取遍前8项.实际上，由an+8=an，可以知道这个数列是个循环数列，也可称为周期数列，每隔8项，数列的项就重复出现.具体情况如下：在a3k+1中，当k=1,2,3,4,5,6,7,8时，分别得到：a4,a7,a10,a13,a16,a19,a22,a25,a10=a2+8=a2,a13=a5+8=a5,a16=a8+8=a8,a19=a3+28=a3,a22=a6+28=a6,a25=a1+38=a1,这样，这个数列的项包括了数列an中的前8项不同的取值.答案:B11.在m(m2)个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj(即前面某数大于后面某数)，则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a2=3.求a4、a5，并写出an的表达式.思路分析:排列(n+1)n(n-1)321的逆序数an的求法：比1大且在1前面的数有n个，比2大且在2前面的数有n-1个，比k大且在k前面的数有(n+1)-k个所以an=n+(n-1)+2+1.解:由已知,得a4=10,a5=15，an=n+(n-1)+2+1=.12.设数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4 096.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列log2an的前n项和为Tn,对数列Tn，从第几项起Tn-509？思路分析:利用an、Sn的关系，先求出数列的首项，利用an=Sn-Sn-1(n2),得出an、an-1的关系式，根据关系式解决通项公式.(2)问主要是解不等式.解:(1)an+Sn=4 096,a1+S1=4 096.a1=2 048.当n2时,an=Sn-Sn-1=(4 096-an)-(4 096-an-1)=an-1-an.an=2 048()n-1=212-n.(2)log2an=log2212-n=12-n,Tn=(-n2+23n).由Tn-509,解得n.而n是正整数,于是n46.从第46项起Tn-509.13.某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%.从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.2001年底绿化面积为a1=,经过n年绿化总面积为an+1.请你想一想，能不能找到an+1与an之间的递推关系式?思路分析:题目的叙述比较冗长，容易使我们望而生畏，但是多读几遍，就能将实际问题抽象为数学问题了.an+1表示经过n年绿化的总面积，根据“到2001年底全县的绿化率已达30%”“2001年底绿化面积为