因式分解掌握方法与技巧

精品文档 1欢迎下载 因因式式分分解解 一 因式分解的技巧一 因式分解的技巧 1 1 首选提取公因式法 即首先观察多项式中各项有没有公因式 若有 则先提首选提取公因式法 即首先观察多项式中各项有没有公因式 若有 则先提 取公因式 再考虑其他方法 取公因式 再考虑其他方法 2 2 当多项式各项无公因式或已提取公因式时 应考察各多项式的项数 当多项式各项无公因式或已提取公因式时 应考察各多项式的项数 1 1 当项数为两项或可看作两项时 考虑利用平方差公式 当项数为两项或可看作两项时 考虑利用平方差公式 a a2 2 b b2 2 a a b b a a b b 2 2 当项数为三项时 可考虑完全平方公式 十字相乘法 求根公式 当项数为三项时 可考虑完全平方公式 十字相乘法 求根公式 法 配方法 法 配方法 3 3 当项数为四项或四项以上时 可考虑分组分解法 当项数为四项或四项以上时 可考虑分组分解法 a a 当项数为四项时 可按公因式分组 也可按公式分组 当项数为四项时 可按公因式分组 也可按公式分组 b b 当项数为四项以上时 可按次数分组 即可将次数相同的项各分为当项数为四项以上时 可按次数分组 即可将次数相同的项各分为 一组 一组 3 3 以上两种思路无法进行因式分解时 这时考虑展开后分解或拆 添 项后以上两种思路无法进行因式分解时 这时考虑展开后分解或拆 添 项后 再分解 再分解 二二 因式分解的方法 因式分解的方法 一 提公因式法 一 提公因式法 方法介绍 如果一个多项式的各项都含有公因式 那么就可以把这个公方法介绍 如果一个多项式的各项都含有公因式 那么就可以把这个公 因式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积的形式 因式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积的形式 例例 1 1 分析 此多项式各项都有公因式分析 此多项式各项都有公因式 x x 因此可提取公因式 因此可提取公因式 x x 解 解 二 应用公式法 二 应用公式法 方法介绍 应用乘法公式 将其逆用 从而将多项式分解因式 如果是方法介绍 应用乘法公式 将其逆用 从而将多项式分解因式 如果是 两项的考虑平方差公式 如果是三项的考虑用完全平方公式 两项的考虑平方差公式 如果是三项的考虑用完全平方公式 精品文档 2欢迎下载 例例 2 2 分析 此多项式可看作两项 正好符合平方差公式 因此可利用平方差分析 此多项式可看作两项 正好符合平方差公式 因此可利用平方差 公式分解 公式分解 解 解 例例 3 3 分析 此多项式有三项 正好符合完全平方公式 因此考虑用完全平方分析 此多项式有三项 正好符合完全平方公式 因此考虑用完全平方 公式分解 公式分解 解 解 三 分组分解法 三 分组分解法 方法介绍 分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一 分组的目方法介绍 分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一 分组的目 的是为提取公因式 应用乘法公式或其它方法创造条件 以便顺利地达到分解的是为提取公因式 应用乘法公式或其它方法创造条件 以便顺利地达到分解 因式的目的 下面介绍八种常见的思路 因式的目的 下面介绍八种常见的思路 1 1 按公因式分组 按公因式分组 例例 4 4 分析 此题有四项 考虑将它们分组 其中第分析 此题有四项 考虑将它们分组 其中第 1 1 2 2 项有公因式项有公因式 m m 第 第 3 3 4 4 项有公因式项有公因式 p p 可将它们分别分为一组 可将它们分别分为一组 解 解 2 2 按系数特点分组 按系数特点分组 例例 5 5 分析 由观察发现 由系数特点第一 二项和第三 四项的系数比为分析 由观察发现 由系数特点第一 二项和第三 四项的系数比为 1 1 2 2 所以可考虑将第一 二项和第三 四项分为一组 或第一 三项和第二 所以可考虑将第一 二项和第三 四项分为一组 或第一 三项和第二 四项分为一组 四项分为一组 精品文档 3欢迎下载 解 解 3 3 按字母次数特点分组 按字母次数特点分组 例例 6 6 分析 此题有一次项 也有二次项 可将一次项分为一组 二次项分为分析 此题有一次项 也有二次项 可将一次项分为一组 二次项分为 一组 一组 解 解 4 4 按公式特点分组 按公式特点分组 例例 7 7 分析 此题可将第分析 此题可将第 2 2 3 3 4 4 项分为一组 运用完全平方公式 再从整体项分为一组 运用完全平方公式 再从整体 上运用平方差公式 上运用平方差公式 解 解 5 5 拆项分组 拆项分组 精品文档 4欢迎下载 例例 8 8 分析 为了便于运用乘法公式 可将分析 为了便于运用乘法公式 可将 3 3 拆成拆成 4 4 1 1 再适当分组 达到 再适当分组 达到 因式分解的目的 因式分解的目的 解 解 6 6 添项分组 添项分组 例例 9 9 分析 分析 解 解 7 7 换元分组 换元分组 例例 10 10 分析 观察代数式中的分析 观察代数式中的 x x y y xyxy 可考虑用换元法 使之结构简化 再可考虑用换元法 使之结构简化 再 分组 分组 解 解 则 则 精品文档 5欢迎下载 8 8 按主元分组 按主元分组 例例 11 11 分析 题中的多项式是关于分析 题中的多项式是关于 x x 的三项式排列的 按其结构分解有一定的的三项式排列的 按其结构分解有一定的 难度 可考虑换个角度 选定难度 可考虑换个角度 选定 a a 为主元 即整理为关于为主元 即整理为关于 a a 的多项式 的多项式 解 解 四 利用特殊值法 四 利用特殊值法 方法介绍 比如说将方法介绍 比如说将 2 2 或或 1010 这些特殊值代入字母 比如说这些特殊值代入字母 比如说 x x 求出一 求出一 个数个数 P P 然后将数 然后将数 P P 分解质因数 将质因数适当的组合 并将组合后的每一个分解质因数 将质因数适当的组合 并将组合后的每一个 因式写成因式写成 2 2 或或 1010 的和与差的形式 将的和与差的形式 将 2 2 或或 1010 还原成还原成 x x 即可得因式分解的式 即可得因式分解的式 子 子 例例 12 12 解 令解 令 x x 2 2 则 则 精品文档 6欢迎下载 将将 105105 分解成分解成 3 3 个质因数的积 即个质因数的积 即 105105 3 5 73 5 7 观察到多项式中最高项的系数为观察到多项式中最高项的系数为 1 1 而 而 3 3 5 5 7 7 分别为分别为 x x 1 1 x x 3 3 x x 5 5 在 在 x x 2 2 时的值 则原式 时的值 则原式 x x 1 1 x x 3 3 x x 5 5 五 待定系数法 五 待定系数法 方法介绍 首先判断出分解因式的形式 然后设出相应整式的字母系数 方法介绍 首先判断出分解因式的形式 然后设出相应整式的字母系数 求出字母系数 从而把多项式因式分解 求出字母系数 从而把多项式因式分解 例例 13 13 分析 观察这个多项式没有一次因式 因而只能分解为两个二次因式 分析 观察这个多项式没有一次因式 因而只能分解为两个二次因式 解 解 利用恒等式的性质可得 利用恒等式的性质可得 六 十字相乘法 六 十字相乘法 方法介绍 对于方法介绍 对于 mxmx2 2 pxpx q q 形式的多项式 如果形式的多项式 如果 abab m m cdcd q q 且且 acac bdbd p p 则多项式可因式分解为 则多项式可因式分解为 axax d d bxbx c c 例例 14 14 分析 这是一个三项式 它不符合完全平方公式 因此可考虑用十字相分析 这是一个三项式 它不符合完全平方公式 因此可考虑用十字相 乘法分解因式 乘法分解因式 精品文档 7欢迎下载 解 解 七 双十字相乘法 七 双十字相乘法 方法介绍 可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起 先分解因式后 方法介绍 可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起 先分解因式后 然后再与剩下的项再用十字相乘法 然后再与剩下的项再用十字相乘法 例例 15 15 分析 可先将其先去括号后的项分析 可先将其先去括号后的项 6a6a2 2 11ab11ab 3b3b2 2应用十字相乘法可分为应用十字相乘法可分为 2a2a 3b3b 3a3a b b 解 解 八 巧用换元法 八 巧用换元法 方法介绍 对于较复杂的一些多项式 通过适当的换元 可达到减元降方法介绍 对于较复杂的一些多项式 通过适当的换元 可达到减元降 次 化繁为简的目的 次 化繁为简的目的 1 1 取相同部分换元取相同部分换元 例例 16 16 分析 若将上式展开 得到一个四次多项式 更加难分解了 如将分析 若将上式展开 得到一个四次多项式 更加难分解了 如将 m m2 2 5m5m 看作一个整体 这样乘积得到的式子就简化了 看作一个整体 这样乘积得到的式子就简化了 解 解 精品文档 8欢迎下载 2 2 取部分式子换元取部分式子换元 例例 17 17 分析 观察题目特点 可考虑设分析 观察题目特点 可考虑设 1 1 x x x x2 2 y y 解 解 3 3 取倒数换元取倒数换元 例例 18 18 解 解 精品文档 9欢迎下载 以上我介绍了八种方法 除了这些方法外 还有求根法 图像法 配方法以上我介绍了八种方法 除了这些方法外 还有求根法 图像法 配方法 等 因为这些知识将在九年级的学习中将会学到 所以以后将继续介绍这些方等 因为这些知识将在九年级的学习中将会学到 所以以后将继续介绍这些方 法 法 三 分解因式 三 分解因式 3030 分 分 1 2 234 352xxx 26 33xx 3 4 5 22 2 4 2 25xyyx 22 414yxyx xx 5 6 7 8 1 3 x 2 axabaxbxbx 2 8118 24 xx 9 10 24 369yx 24 4 3 2 1 xxxx 1 x p 2 x q 2 2 16 a b 2 9 a b 2 3 x2 6x 9 4 16x2 24x 9 5 25x4 10 x2 1 6 4 x p 2 12 x p x q 9 x q 2 1 2 3 4 21112 2 xx 675 2 xx 215 2 xx 4256 2 xx 5 6 7 4254 xx 4255 2 xx 307 2 xx 8 9 10 11 25309 2 xx 6197 2 xx 20920 2 xx 93936 2 xx 12 13 14 4359 24 xx 4379 24 xx 22 22021417yyxx 15 16 1232 22 yyxxyxy cabcbabca 3223 20920 17 18 1212 33 xxxx baaba24 23 19 20 2222 1baba yzyzyx 22 精品文档 10欢迎下载 21 22 23 4bayxyx 1 23 aabba 23 24 xxxx2121 33 3649 2222 yxyx 25 26 22 822baba 222 2zyzyx 27 28 4224 2bbaa 22 1yxxy 29 30 acbcabcba222 222 1444 2 baba 31 32 222 2zyzyx 12 2 baaba 33 34 22 2cbacbcab baaxb2 22 35 36 1222 2 yxxyx 122 22 yxyxyxy 37 38 abxybayx244 2222 4914 2 xx 39 40 169 2 xx 121669 2 xx 41 42 xx12136 2 22 16249baba 43 44 2 9 4 15 4 2 25 1 yxyx 422 16249yxyx 45 46 4224 2bbaa 252102 2 baba 47 48 2 2 94249xxbaba aaa5105 23 49 50 81 2 x 4916 2 x 51 52 22 254ba 22 41yx 53 54 2 182x xx416 3 55 56 222 4baa 2 3216yx 57 58 22 3412xx 2524 2 yx 59 60 81 4 x 12165 2 xx 61 62 152912 2 xx 22 122512yxyx 63 64 22 164220baba 22 18310yxyx 精品文档 11欢迎下载 65 66 7411 22 xyyx 2 568xx 67 68 20920 2 xx cabcbabca 3223 82215 69 70 22 2yyxyxx 1232 22 yyxxyxy 71 72 26344 22 yxyxyx 20383 2 2