平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广VIP

1 平面向量三点共线定理的推论及空间推广平面向量三点共线定理的推论及空间推广 南昌外国语学校 梁懿涛 一 问题的来源 平面向量三点共线定理平面向量三点共线定理 对于共面向量 则 三点共线的 OA OB OC OCxOAyOB ABC 充要条件是 1xy 二 问题的提出 问题问题 1 1 在上述定理中 如果 时 分别有什么结论 1xy 1xy 问题问题 2 2 有什么特定的意义吗 xy 问题问题 3 3 上述问题可以推广到空间吗 三 问题的解决 推论推论 1 1 对于不共线向量 若 则 OA OB OCxOAyOB 1 点在直线外侧 不含点一侧 的充要条件是 CABO1xy 2 点在直线内侧 含点一侧 的充要条件是 CABO1xy 证明 1 必要性 如图 1 1 连 OC 交 AB 于点 则存在实数 使得 C 1 OCOC 1 OCx OAy OBxy OCx OAy OB xx yy 1xyxy 充分性 存在 使得且 1xy 1 xx yy 1xy 在直线上 在直线外侧 OCx OAy OBOC C ABC AB 同理可证 2 进一步分析 得 推论推论 对于不共线向量 若 则 1 OA OB OCxOAyOB 1 连接得直线 过点作平行于的直线 则 将平面分成三个区域 如图 1 2AB 1 O 1 2 1 2 OAB 点落在各区域时 满足的条件是 Cxy 区 区 区 特别地 当点落在上时 1xy 01xy 0 xy C 1 当点落在上时 1xy C 2 0 xy 2 直线 将平面分成四个区域 如图 1 3 则点落在各区域时 满足的条件是 OAOBOABCxy 区 区 区 区 0 0 x y 0 0 x y 0 0 x y 0 0 x y 证明略 推论推论 2 2 若 则 且当 则点在线OCxOAyOB 1xy 0 xy ACy BCx 0 0 xy C 段上 当 则点在线段的延长线上 当 则点在线段的延长线AB0 0 xy CBA0 0 xy CAB 上 证明 且 OCxOAyOB 1xy OCxOCyOCxOAyOB xCAyBC 2 当时 与同向 如图 2 1 所示 则点在线段上 当 ACy BCx 0 0 xy CA BC CAB 时 与反向 且 如图 2 2 所示 则点在线段的延长线上 当0 0 xy CA BC ACBC CBA 时 与反向 且 如图 2 3 所示 则点在线段的延长线上 0 0 xy CA BC ACBC CAB 推论推论 3 3 点是所在平面上且与不重合的一点 若 OABC A B C0 0 xOAyOBzOCxyz 则 OAB ABC Sz Sxyz OBC ABC Sx Sxyz OCA ABC Sy Sxyz 证明 只证的情形 其它情形可类似证明 0 x y z 由得 0 xOAyOBzOC yzyz AOOBOC xyzyz 存在点使得 且1 yz yzyz D yz ODOBOC yzyz 如图 3 BDz DCy yz AOOD x AOyz ODx 同理有 命题得证 OAB ABC Szyzz Syzxyzxyz OBC ABC Sx Sxyz OCA ABC Sy Sxyz 将以上结论拓展到空间 得 推论推论 4 4 对于不共面的向量 若 则 OA OB OC OPxOAyOBzOC 1 若 则点在平面上 空间向量基本定理空间向量基本定理 1xyz PABC 2 若 则点在平面的外侧 不含点 O 一侧 1xyz PABC 3 若 则点在平面的内侧 含点 O 一侧 1xyz PABC 证明 仿照推论 1 略 推论推论 5 5 对于不共面的向量 若 则 OA OB OC 1 OPxOAyOBzOC xyz 1 PAB ABC Sz Sxyz PBC ABC Sx Sxyz PCA ABC Sy Sxyz 2 PABPBCPAC SSSzxy 3 O PAB O PABC Vz Vxyz O PBC O PABC Vx Vxyz O PCA O PABC Vy Vxyz 证明 1 OPxOAyOBzOCxyz OP 0 xPAyPBzPC 由推论 3 可知结论成立 2 由 1 得证 3 同理可证 O PABPAB O PABCABC VSz VSxyz O PBC O PABC Vx Vxyz O PCA O PABC Vy Vxyz 推论推论 6 6 已知四面体及与其顶点不重合的点 若 则ABCDO0aOAbOBcOCdOD O BCDO ACDO ABDO ABC VVVVabcd 证明 只证的情形 其它情形可类似证明 0a b c d 3 由 得 令 0aOAbOBcOCdOD aOAbOBcOCdOD bcdbcd bOBcOCdOD OP bcd 则四点共面 由推论 5 又 P B C D PCDPBDPBC SSSb c d 如图 4 知 aOA OP bcd OPOAabcd 同理可证 O ABD cbcdc V bcdabcdabcd O BCD a V abcd O ACD b V abcd 命题得证 O ABC d V abcd 四 结论的应用 1 2006 年湖南 理 如图 点在由射线 线段及的延长线围成的阴影OMABPOMOBAB 区域内 不含边界 运动 且 则的取值范围是 当时 的取OPxOAyOB x 1 2 x y 值范围是 解析 由推论 1 及推论 有 且当 有 即 1 0 x 1 2 x 1Oxy 答案为 113 1 222 Oyy 0 x 1 2 3 2 2 2009 年安徽卷 理 给定两个长度为 1 的平面向量和 它们的夹角为 如图所示 点OA OB 0 120 C 在以 O 为圆心的圆弧上变动 若其中 则AB OCxOAyOB x yR xy 的最大值是 解析 由推论 3 OABOBCOAC SOCSOASOB 设 4 3 3 OBCOAC OBCOAC OABOAB SS xySS SS AOC 2 0 3 112 sin sin 223 OACOBC SS 此时 4 3 1122 333 sinsin cossin 2sin 2 32233226 xy 3 3 2010 年高考天津卷理 如图 在中 则 ABC ADAB 3 1BCBD AD AC AD A 解析 由推论 2 得 31 3 CD BC 13 3ACABAD 答案 2 13 3 33AC ADABADADAD 3 4 2011 届黑龙江省哈尔滨三中高三 10 月月考理 如图所示 两射线OA与OB交于O 下列向量若 以O为起点 终点落在阴影区域内 含边界 的是 2OAOB 31 43 OAOB 11 23 OAOB 31 45 OAOB 31 45 OAOB 4 解析 由推论 1 及推论 可知的系数要满足 1 OA OB x y 0 0 1 x y xy 适合的只有 答案为 5 江西省十所重点中学 2010 届高三第一次模拟理 设点在的外部 且 032OCOBOA OABC 则 OBCABC SS 解析 由推论 3 可知 OBCABC SS 4xyzx 5 2011 届江苏省南京师大附中高三学情调研 设点是内一点 不包括边界 且PABC 则的取值范围是 APmABnAC m nR 22 223mnmn 解析 由推论 1 及推论 可知满足 表 1 m n 0 0 1 m n mn 2222 223 1 1 1mnmnmn 示点 到的距离的平方 由线性规化知识可得所求的范围为 m n 1 1 1 2 6 自编题 已知点与四面体 且 则OABCD0OAOBOCOD ABDBCDCAD SSS 解析 由推论 5 可知 ODOAOBOC 1 1 11 1 1 ABDBCDCAD SSS 7 自编题 已知点与四面体 且 OABCD230OAOBOCOD 则 O ABDO BCDO CAD VSS 解析 由推论 6 可知 1 1 2 3 1 1 2 3 O ABDO BCDO CADO ABC VSSS 8 自编题 已知点是四面体内一点 不包括边界 且PABCD 则点满足的概率是 APxAByACzAD x y zR x y z 222 1 3 xyz 解析 因为点是四面体内一点 不包括边界 由推论 4 可知满足 如PABCD x y z 0 1 1