第八章-理想流体的有旋流动和无旋流动

第八章理想流体的有旋流动

和无旋流动在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。

有旋流动的基本概念及基本性质二维平面势流理论本章内容：重点：流函数、势函数基本有势流动及其叠加第一节流体流动的连续性方程中心点O（x,y,z）上流体质点的速度为、、，

密度为，在方向上，单位时间通过左面流入的流体质量为：

则在方向单位时间内通过微元体表面的净通量同理可得和方向单位时间通过微元体表面的净通量因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为：

控制体内由于流体质量的变化率为：

由此，流场中任一点的连续性方程的一般表达式为:

或

连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。

在定常流动中，由于

或对于不可压缩流体（=常数）对于二维可压缩和不可压缩流动，则有第二节流体微团的运动分解流体微团：移动，转动和变形运动。

刚体运动：移动、转动等式右端加入同理令：则：以微小流团的底面ABCD的平面运动为例进行分析t时各点速度（1）平移运动：矩形ABCD各角点具有相同的速度分量，导致矩形ABCD平移

,下移

,ABCD的形状不变,变为。将整个运动过程看成平移运动和变形运动的合成。（2）变形运动：1）线变形运动：X方向上：

AB、DC在δt时间内变化同理，y方向上

AD、BC在δt时间内变化这一过程可视为矩形ABCD先线性变化为，再经角变形为。线变形速度:单位时间内单位长度流体线段的伸长或缩短量。沿x轴方向的线变形速率为：沿y轴、z轴方向的线变形速率为：●对于不可压缩定常流体，上式等于零，表明流体微团在运动中体积不变。●三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。●不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。2）角变形运动：X方向上：y方向上：在δt时间内，B较点A横向多移动线段逆时针旋转了同理，在δt时间内，D较点A纵向多移动线段逆时针旋转了单位时间内直角的变化量角变形速度（剪切变形速度）：直角的变化量：角变形速度：（3）旋转运动流体微团只发生角变形流体微团只发生旋转，不发生角变形流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动有旋流动、无旋流动：流体微团的旋转角速度是否为零。（a）

（b）

只由流体微团本身是否旋转来确定，与它的运动轨迹无关。无旋流动有旋流动在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体微团中某点的速度作整体平移运动②绕通过该点轴的旋转运动③微团本身的变形运动线速度旋转角速度线变形速率剪切变形速率亥姆霍兹运动分解定理第三节理想流体运动方程定解条件一、理想流体运动方程X方向从左面单位时间流入控制体的动量为：右面单位时间流出控制体的动量为：X方向单位时间控制体内的动量差为：同理，y方向和z方向单位时间控制体内的动量差为因此，控制面单位时间的动量净通量为：控制体单位时间的动量变化量为：作用在控制体内流体上的质量力为：对理想流体：X方向压强的合力为：同理，y、z方向压强的合力为：则，压强的合力为：根据动量定律：展开可得：用当地加速度和迁移加速度表示：同样可得y和z方向的运动微分方程该推导过程也可采用牛顿第二定律进行推导理想流体欧拉运动方程物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡；对欧拉运动方程进行变形：方程对压缩和不可压缩流体都适应。作用在单位质量流体上的力（质量力、表面力）使流体产生相应的加速度；矢量形式兰姆方程同理：如果流体是在有势的质量力作用下，流场是正压性的，则：

此时存在一压强函数:

将压强函数对坐标的偏导数有:代入欧拉方程：写成矢量形关系式

理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系二、定解条件理想流体的运动应满足连续方程和欧拉方程。1、起始条件t=0时刻方程组满足的条件起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件。2、边界条件方程组的解在流场边界上应满足的条件，边界可以是固体，也可以是流体的。（2）流体交界面两流体互不渗透时，交界面上的法向速度相等、两侧温度连续。（3）无穷远处一般给定该处流体的流速、压强和密度。（4）流道的进出口（1）固体壁面条件壁面上流体的方向速度为零。一般给定该处流体的流速和压强。第四节理想流体运动方程的积分矢量形式条件:理想正压性流体、有势的质量力、定常无旋。在流场中任取一微元线段dl，其在三个坐标轴的投影分别为dx、dy、dz，将它们分别乘欧拉公式并相加，得:积分上式为欧拉积分的结果，表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在流场中保持不变，它们可以相互转换。二、伯努利积分

条件：理想正压性流体、有势的质量力、定常有旋在流场中沿流线取一有向微元线段dl，其在三个坐标轴上的投影分别为：,表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的总机械能沿流线保持不变。通常沿不同流线积分常数值有所不同。积分有：

上节小结流体微团运动的分解平移运动旋转运动变形运动流体是否有旋的判定理想流体欧拉运动方程理想正压性流体在有势的质量力作用下，作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在流场中保持不变，它们可以相互转换。理想正压性流体在有势的质量力作用下，作定常有旋流动时，单位质量流体的总机械能沿流线保持不变，它们可以相互转换。第五节涡线涡管涡束涡通量一、涡线、涡管、涡束涡线:涡线是在给定瞬时t，曲线上每一点切线与该点流体微团的速度的方向相重合。涡线的微分方程为非定常流动中，涡线的形状和位置随时变化；只有在定常流动中，涡线的形状和位置才保持不变。涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管。截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。在涡量场中取一微元面积dA，其上流体微团的涡通量为二．涡通量（旋涡强度）旋涡强度也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于旋转角速度，而且取决于面积A。

dA与旋转角速度的方向垂直第六节速度环量、斯托克斯定理在流场的某封闭周线上，流体速度矢量沿周线的线积分速度环量是标量，它的正负与速度的方向、线积分的绕行方向有关。一、速度环量规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。二、斯托克斯（Stokes）定理在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即:

这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。

沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量可将斯托克斯定理从微元封闭周线推广到任意有限封闭周线。对任一微元封闭周线对所有的微元封闭周线但周线k内的各微元段速度的线积分都要计算两次，且绕行方向相反，故积分之和等于0.应用斯托克斯定理的条件：区域内任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界：若为多连通区域，则将其拆分为几个单连通区域。若有多个内周线：单连通区域解：旋转角速度的分量为：带入涡线方程积分后得涡线方程为：速度环量为：由于封闭周线所在平面Z=0，带入旋转角速度的表达式，可求得流体微团的涡量为：第七节汤姆孙定理亥姆霍兹定理理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化。一、汤姆孙定理（Thomson）在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K，它随流体运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。由于封闭线K始终由同样的流体质点组成，

由理想流体的欧拉运动微分方程或

斯托克斯定理和汤姆孙定理表明：理想正压性流体在有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。

流场中原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持原有的环量；原来没有旋涡和速度环量的，就永远没有旋涡和环量。二、亥姆霍兹定理（Helmholtz）

亥姆霍兹关于旋涡的三个定理，解释了涡旋的基本性质，是研究理想流体有旋流动的基本定理。亥姆霍兹第一定理：在理想正压性流体的有旋流场中，同一涡管各截面上的旋涡强度相同。对于封闭周线ABB’A’A，沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量都相等第一定理说明，在理想正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、终止于边界。亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。封闭周线K包围的面积内涡通量等于零。周线K上的速度环量等于零；K上的速度环量将永远为零亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化，永远保持定值。涡管的旋涡强度不随时间变化周线K上的速度环量为常数K上的旋涡强度为常数整个涡管各个截面旋涡强度都不变第八节平面涡流假设在理想不可压缩的重力流场中，有一象刚体一样以等角速度绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束，其涡通量为J。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动。流动可以分为：涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区，其半径为；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。环流区速度分布根据斯托克斯定理，沿任何圆周流线的速度环量为环流区内半径为r的点和无穷远处的伯努利方程:环流区，随着环流半径的减小，流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值。涡核区：涡束内部的速度分布为

由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故其压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧拉运动微分方程为:

或

积分得:

在与环流区交界处得涡核区的压强分布为：涡管中心的压强最低，其大小为：涡核区边缘至涡核中心的压强差为由此可见，涡核区和环流区的压强差相等在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际中有许多利用涡流流动特性装置，如锅炉中的旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式泵和风机、离心式分选机等。上节小结涡通量（旋涡强度）斯托克斯（Stokes）定理适用条件：单连通区域多连通区域汤姆孙定理理想正压性流体在有势的质量力作用下，速度环量不随时间变化。同一涡管各截面上的旋涡强度相同涡管始终由相同的流体质点组成涡管强度不随时间变化，永远保持定值。亥姆霍兹定理平面涡流分涡核区、环流区；流速最大位于涡核区和涡流区边缘第九节速度势流函数流网对无旋流动，流体微团的角速度为零。函数称为速度势函数。因此，存在速度势函数

的流动为有势流动，简称势流。一、速度势成为全微分的充要条件。无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。根据全微分理论，势函数的全微分可写成按矢量分析对于圆柱坐标系，则有速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。

势流中有一曲线AB，速度沿该曲线积分为上式表明，有势流动中沿AB曲线的速度线积分等于终点B和起点A的速度势之差。如速度势是单值、连续的，则该线积分与积分路径无关。当速度沿封闭周线积分时，周线的速度环量等于零。速度势函数的性质势函数φ满足拉普拉斯方程拉普拉斯算子柱坐标系中不可压缩的有势流动，势函数φ是调和函数二、流函数平面、不可压缩流体的连续性方程流线的微分方程为表示该函数函数Ψ称为流场的流函数

Ψ=常数，可得流线微分方程式Ψ=常数的曲线即为流线。对于极坐标系，可写成若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（x0，y0）代入流函数Ψ

，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。（1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ永远满足连续性方程。二、流函数的性质（2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。对于平面无旋流动定常流动时，两条流线间的流量保持不变。（3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数的物理意义。在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为三、流网在不可压缩的平面无旋流动中，同时存在速度势和流函数它们的关系是等势线簇[常数]和流线簇[常数]互相正交的条件。在同一流场中流线和等势线正交，它们构成的正交网格，称为流网。解：合速度及其与x轴的夹角为积分可得：流函数由于取C=0不影响流动的流谱，因此流函数为解：合速度及其与x轴的夹角为根据伯努利方程得：第十节几种简单的平面势流一、均匀等速流定义：流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。

积分得等势线与流线垂直各流线与x轴的夹角等于若均匀直线流动在水平面上或者流体为气体流场中压强处处相等二、源流和汇流如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为源流，这个点称为源点。若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为汇流，这个点称为汇点。这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度

。点源点汇

现将极坐标的原点作为源点或汇点，则根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一半径为r的单位长度圆柱面上的流量qv都应该相等＋qv

—源流—流出（vr与r同向）－qv

—汇流—流入（vr与r反向）等势线簇是同心圆簇，流线是极角不同的径线，两者正交。而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。当r=0时，→∞，vr→∞，源点和汇点都是奇点。因此，、vr

只有在源点和汇点以外才能应用。压力分布如果XOY平面是无限水平面，则根据伯努利方程压强p随着半径r的减小而降低。适应范围：三、势涡平面涡流的涡束半径趋于零时，平面上的涡核区缩为一点，称为涡点。这样的流动称为势涡或自由涡流。涡点是一个奇点，该式仅适用于r>0的区域当Γ>0时，环流为反时针方向；当时Γ<0时，环流为顺时针方向。点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。涡点以外势流区的压强和前述二维涡流流场压强分布相同。零压强处的半径为：上述各式的实际适用范围为的区域。以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。第九节简单平面势流的叠加势函数、流函数等于几个有势流动的势函数、流函数的代数和。

势流叠加原理速度分量为原有速度分量的代数和将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。一、汇流和势涡叠加的流动——螺旋流二、源流和汇流叠加的流动——偶极流一、汇流和势涡叠加——螺旋流汇流势涡等势线方程流线方程螺旋流的速度分布代入伯努利方程，得流场的压强分布其适用范围应为：等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇，称为螺旋流，流体从四周向中心流动。研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。二、源流和汇流叠加的流动——偶极流A点（-a，0）—源流B点（a，0）—汇流叠加汇流源流叠加偶极流定义源流和汇流无限接近的同时，流量无限增大(即a→0，qv→∞)以至使2aqv保持一个有限常数值M的极限情况。在这种极限情况下的流动称为偶极流，M称为偶极矩或偶极强度。偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向。

常数

常数偶极流速度势φ偶极流流函数Ψ偶极流流线方程偶极流等势线方程即流线的图像是圆心为（）.半径为并与x轴在原点相切的圆族，如图中实线所示。对速度势函数求偏导数，得出的偶极流的速度分布为上节小结势函数无旋是流场有势的充要条件势函数为调和函数流函数流函数为调和函数平面流动中，两条流线的流函数之差为通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量平面流动中，流函数Ψ满足连续性方程。等势线与流线正交。势流叠加原理螺旋流——汇流+势涡偶极子流——汇流+源流第十二节均匀等速流绕过圆柱体的平面流动均匀直线流+偶极流均匀直线流偶极流势函数流线方程零流线方程取流函数可见，零流线为以坐标原点为圆心，为半径的圆和x轴。零流线自x轴的负端至点A，分成两股，沿上下两个半圆周至点B，重新汇合，直至x轴的正端。由于流体不能穿过流线，零流线的圆可以用圆柱体的横截面代替。公式的适应范围：且流函数势函数速度分布在零流线的圆上，速度为：

A点（-r0，0），

A点为前驻点

B点（r0，0），B点为后驻点

C、D点，速度达最大值在处，，这表示，在离开圆柱体无穷远处是速度为V∞的均匀直线流。沿包围圆柱体圆周的速度环量为

在圆柱面上流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离。不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布无量纲的压强系数与圆柱体半径、无关理论线亚临界超临界达朗伯疑题理想流体绕圆柱体无环流流动时，圆柱体上既不承受升力，也不承受阻力。流体作用在圆柱面上的压强合力可分为：与来流方向垂直的升力与来流方向平行的阻力。粘性流体绕圆柱体无环量流动时，圆柱体上既不承受升力，但承受阻力。第十三节均匀等速流绕过圆柱有环流的平面流动●无环流圆柱绕流+环流无环流的流动环流（势涡）叠加的结果当时的圆周为一条流线符合流体既不穿过又不脱离流线的绕流条件，可用圆柱体代替均匀等速流+偶极流环流驻点的位置（1）叠加的环流

时上部为速度增高区域，下部为速度降低区域。当驻点在圆柱面上时，

此时，讨论：当，则则有两个驻点。随着速度环量增大，θ也增大，驻点向中间移动。当时，驻点移动到最下方。当时，和上述的情况类似，只是驻点的位置在上部。当时，。可令和为零，得（）（）两个驻点，一个在圆柱体内，无效解。另一个在圆柱体外的驻点A.圆柱面上的压强分布1、压强分布在圆柱面上列无穷远处和圆柱面上的伯努利方程则可得当、、、为常数时，

2、阻力、升力库塔－儒可夫斯基公式作用在单位长度圆柱体上的阻力和升力为：上式即为库塔（美国）—儒可夫斯基（俄罗斯）公式。意义：理想流体绕圆柱体有环流的流动中，在垂直于来流方向上，流体作用在单位长度的圆柱体上的升力等于流体的密度、来流速度和环量的乘积。升力的方向为的方向反环流转。第十四节叶栅的库塔-儒可夫斯基公式一、叶型（翼型）●定义：飞机机翼与汽轮机等流体机械的叶片截面形状。型线弦长弯度二、叶栅叶栅平均直径当D/h>10～15时，可近似将叶栅视为排练在一个平面上，称平面叶栅。栅距进气角出气角取控制面ABCDA，AB、CD线上的压强和速度均一且为常数，控制面内流体上的力R分为：叶型对流体的反作用力控制面外流体对控制面以内流体的作用力R分量为每秒流进/出控制面的流体质量为动量方程：绕封闭周线ABCDA的速度环量：令根据伯努利方程：叶栅的库塔-儒可夫斯基公式孤立叶型认为则孤立叶型前后足够远处的速度完全相同。绕儒可夫斯基翼型的速度环量为：升力为：升力系数：冲角较小时：第十五节库塔条件均匀等速流以一定冲角流向翼型，如沿下表面的气流能绕过后缘点，