第一轮复习 风向标基本初等函数(Ⅱ).doc

第三章 基本初等函数（）知识网络任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用第1讲 弧度制与任意角的三角函数知 识 梳理1任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角的终边在第象限，则称为第象限角；终边相同的角所有与终边相同的角连同在内构成集合为2弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1（弧度）的角.角度与弧度的互化公式：； 3扇形的弧长公式： （扇形的圆心角为弧度，半径为）；扇形的面积公式： 4 任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取点，设则 ；5 三角函数在各象限的符号：上正下负横轴零，左负右正纵轴零，交叉正负横轴零6三角函数的定义域三角函数定义域RR重 难 点 突 破 1.重点：掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简，求值等问题。2.难点：确定三角函数值的符号，理解弧度的概念及其与角度的关系3.重难点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 掌握终边相同的角的表示方法和扇形弧长和面积的计算. (1)角的范围的确定应用不等式的性质和结合终边相同的角的表达式。问题1：若是第三象限角，试求、的范围.点拨：依据象限角的表示法将表示出来后，再确定、的范围，再进一步判断、所在的象限.：是第三象限角k360+180k360+270(kZ)(1)k180+90k180+135(kZ)当k2n(nZ)时，n360+90n360+135当k2n+1(nZ)时，n360+270n360+315为第二或第四象限角.(2)k120+60k120+90(kZ)当k3n(nZ)时，n360+60n360+90(nZ)当k3n+1(nZ)时，n360+180n360+210（nZ)当k3n+2(nZ)时，n360+300n360+330(nZ)为第一或第三或第四象限角.（2）扇形弧长和面积的计算严格按公式进行转化。问题2. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求AOB和弦AB的长.分析：欲求AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在AOB中求弦AB的长.作OMAB交AB于M，则AMBMAB，在RtAMO中求AM.解：设扇形的半径为R cm.AOB= rad.据题意 解之得过O作OMAB交AB于M.则AMBMAB.在RtAMO中，AMsin1，AB2sin1故AOB2 rad.该AB的长为2sin1厘米.热 点 考 点 题 型 探 析考点1 角的概念问题题型1: 终边相同的角的表示方法例1 写出所夹区域内的角的集合。【解题思路】任一与角终边相同的角，都可以表示成与整数个周角的和.解：当终边落在上时，角的集合为； 当终边落在上时，角的集合为；所以，按逆时针方向旋转有集合：【名师指引】把一条直线分成两部分，分别写出它们对应角的集合，最后求并集即可题型2:象限角的表示.例2已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。【解题思路】依据已知条件先得出角的范围,再讨论值确定象限角.解析，；当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限；即：为第一或第三象限角。，的终边在下半平面。【名师指引】已知所在象限，求所在象限问题,一般都要分n种情况进行讨论【新题导练】1设M小于的角，N第一象限的角，则（ ）A、锐角 B、小于的角 C、第一象限的角 D、以上都不对解析：D 小于的角是由锐角、零角及负角组成，第一象限的角包括锐角及其它终边在第一象限的角，所以是由锐角和终边在第一象限的负角组成的角2写出-720到720之间与-1068终边相同的角的集合_解析: 3已知，判断所在的象限解析：在第一象限或第二象限，可设，若，则，若，则故在第一象限或第二象限考点2 弧度制与弧长公式题型1:角度制与弧度制的互化例3.（1）设，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限（2）设，用角度制表示它们，并在范围内找出与它们有相同终边的所有角【解题思路】用互化公式.解析（1），在第二象限，在第一象限（2），与它终边相同的角可表示为，由得，即在范围内与有相同终边的角是 同理且在范围内与有相同终边的角是【名师指引】角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在象限，关键是在内找到与该角终边相同的角例4设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 【解题思路】用扇形面积和弧长公式.解析: 【名师指引】在扇形的弧长公式与弓形的面积公式中，所用到的角的单位是弧度，不是角度【新题导练】4化为弧度为（ ） A、 B、 C、 D、解析B 5三角形三内角的比是7815，各内角的弧度数分别是_解析：设三角形的三内角分别是，则故所以各内角的弧度数分别是考点3三角函数的定义与三角函数的符号题型1:判断三角函数值的符号例5. 确定下列三角函数值的符号(1)cos250 （2）sin（） （3）tan（672） （4）tan【解题思路】 直接根据三角函数的符号法则确定。解：(1)250是第三象限角，cos2500(2)是第四象限角，sin（）0(3)tan（672）tan（482360）tan48而48是第一象限角，tan（672）0(4)tantan（2）tan而是第四象限角，tan0.【名师指引】三角函数值的符号由角所在的象限确定题型2:由三角函数的定义求值例6已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为34（且均不为零），求2sin+cos的值【解题思路】直接根据三角函数的定义求值.解析:若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则；若角终边过点，则【名师指引】若点是角终边上异于原点的一点，求角的三角函数值只需用定义即可.【新题导练】yPQox6.(佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)如图，角的顶点原点O，始边在y轴的正半轴、终边经过点.角的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且，则的值为A B C D 解析：D7.(2008深圳市高三年级第一次调研考试)若，则点位于（ ）A.第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析直接根据正弦函数、余弦函数在第四象限的符号判定.选 D抢 分 频 道 基础巩固训练1已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角是（ ）A、 B、 C、 D、解析D 角在第四象限且2若是第二象限的角，且，则是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角解析C 当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；3已知角的终边与函数决定的函数图象重合，求= 解析:在角的终边上取点故=4.（湛江市实验中学2009届高三第四次月考）已知，且角在第一象限，那么2在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：B，故2在第二象限.5.(2008广东省佛山市普通高中高三教学质量检测)OxyBAC如图A、B是单位圆O上的点，且在第二象限. C是圆与轴正半轴的交点，A点的坐标为，AOB为正三角形.（1）求； （2）求. 解析（1）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知（2）因为三角形AOB为正三角形，所以， 所以= =. 点评该考题主要考查三角函数定义与和差公式.综合拔高训练6.在扇形中，弧的长为，求此扇形内切圆的面积解：设扇形所在圆半径为，此扇形内切圆的半径为，如图所示，则有，由此可得则内切圆的面积7圆弧长度等于其内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数.解析： 如右图所示，设正三角形的边长为,半径为,取的中点连接则,在中,圆心角弧度数为8 xyOAB如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求的值； （2）求的值。【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。由条件得为锐角，（1）（2）为锐角，第2讲同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式的记忆法则（1）对角线上对应的函数互为倒数；（2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积；（3）阴影三角形中，上面二个顶点对应的函数的平方和等 于下面一个顶点的平方。例如：1 2用同角三角函数的基本关系式求值时应注意：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。3. 关于诱导公式（1）诱导公式()角 函数正弦余弦记忆口诀函数名不变符号看象限函数名不变符号看象限（2）求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(3)诱导公式解决常见题型（A）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（B）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.重 难 点 突 破 1.重点：掌握利用同角三角函数的关系式和诱导公式三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：正确的使用同角三角函数的关系式和诱导公式。3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的关系，确定好符号，使问题获解。（1）. 对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.问题1:化简：错解：原式正解：原式（1）当，时原式+=0（2）当，时原式+=0（2）要注意角的范围,防止符号取错.问题2:已知_错解：两边同时平方，由得解得： 或解得：所以的值为正而导致错误.正解： 两边同时平方，有 求出热 点 考 点 题 型 探 析考点1求值问题题型：利用公式求三角式的值例1（广东省执信中学2009届高三上学期期中考试）tan600的值是（ ）ABCD 【解题思路】由于6900超出了锐角的范围，故需先利用诱导公式进行化简解析由tan6900tan（30023600）tan（300）tan300知应选A【名师指引】应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断例2.(2007韶关市高三摸底题)已知，则（ ）A、2B、2C、0D、【解题思路】联想到诱导公式及对同角三角函数公式解题解析:B【名师指引】处理的齐次式的问题，通常采用化切法，即将分子分母或等式两边同除以的最高次幂化为的关系式即可，这种题型高考中经常考。【新题导练】1. （ ）ABCD解析sin2100 =，选D。2(中山市高三级20082009学年度第一学期期末统一考试)若，则= .解析: 原式=考点2化简与证明问题题型1：三角式的化简例3化简：【解题思路】利用诱导公式及三角变换公式化简三角函数式解析 原式 【名师指引】化简三角函数式化简是一种不指明答案的恒等变形，三角函数化为最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式题型2：三角恒等式的证明例4.求证：【解题思路】将右边展开进行因式分解.证明：右边 【名师指引】证明简单的三角恒等式一般方法有三种：即由繁的一边证到简单的一边；证明左、右两边等于同一式子；证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立在化简或证明三角函数式时常用的技巧有： （1）“1”的代换为了解题的需要有时可以将1用“”代替 （2）切化弦利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数（3）整体代替将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系题型3：条件三角等式的证明例5.已知【解题思路】已知条件中含角,待求结论只含,故考虑消元法证：由题设： /： +： 【名师指引】 等式中出现正弦、余弦和正切函数，一般采用“切化弦”的方法进行证明若已知条件中的角多于待求结论中的角可考虑消元法.【新题导练】3化简：解析:0，故原式4已知：求证：解： 5求证：解析：左边 右边抢 分 频 道 基础巩固训练 1 ( )A. 2 B. C. 4 D. 解析：原式=，选D2是第一象限角，则（ ）A B C D解析：B 3. （东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知，则的值为（ ）A B C D解析：选B4(2008广东省惠州市高三第二次调研考试)已知，则= 解析：由题意点评本题考查同角三角函数公式的理解与运用5若且_ 解析：由知又故=6求证：证明：左边 右边综合拔高训练7已知，求（1）；（2）的值解析（1）； （2）点评 利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化8已知关于x的方程4x22(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.解析：设直角三角形的两个锐角分别为、，则可得+=，cos=sin方程4x22(m+1)x+m=0中，=4（m+1)244m=4(m1)20当mR，方程恒有两实根.又cos+cos=sin+cos=，coscos=sincos=由以上两式及sin2+cos2=1，得1+2=()2解得m=当m=时，cos+cos=0，coscos=0，满足题意，当m=时，cos+cos=0，这与、是锐角矛盾，应舍去.综上，m=10已知，且（1）求、的值；（2）求、的值解析（1）由可得： ；于是：，；且，于是：（2）；第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数知 识 梳理 1两角和与差的三角函数公式 2.二倍角公式 = =3.半角公式 ， ， 重 难 点 突 破 1.重点：运用三角公式对式子进行等价变形，处理化简、求值和恒等式证明等问题2.难点：利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，准确合理的使问题获解。3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间差异，灵活应用所学公式进行求值证明。（1）两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律问题1。不查表求值：=_解法一 原式 解法二 (2)准确估算角的范围问题2. 已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若a，b(-)，则a+b=（ ）AB或-C-或D-错解：B. 正解：D.热 点 考 点 题 型 探 析考点1 两角和与差的正弦.余弦.正切题型1: 顺用公式 例1:已知则等于（ ）ABCD【解题思路】直接用两角和的正切公式解：B， ， ， 【名师指引】熟练掌握两角和与差的三角函数公式的结构特点是解决此类题的关键.题型2: 逆用公式例2.（广东省实验中学2009届高三第二次阶段测试）155cos35 cos25cos235=_.【解题思路】注意到解析:原式=【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式” 变角：它决定变换的方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解；【新题导练】1. 的值为 解析诱导公式变角，再逆用三角公式切入，=2. (华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)若，且，则 解析：考点2 二倍角的正弦.余弦.正切题型1：顺用公式例3(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)已知,求的值.【解题思路】先由诱导公式求出，再由二倍角公式求解。解析.又,且【名师指引】在三角函数的过程中,观察条件中的角和结论中的角之间的内在联系是解决此类题的关键.题型2: 逆用公式例4的值为（）【解题思路】联想二倍角的正弦公式解析： 【名师指引】见就联想到是三角变换中常用的手段。题型3: 变形用公式例5(2008惠州市高三第三次调研考试第一问)在ABC中，已知角A为锐角，且.求f (A)的最大值；【解题思路】联想到降幂公式：，解析角A为锐角，取值最大值，其最大值为【名师指引】在研究三角函数性质时经常使用“见平方就降次，见切割就化弦”这一手段。【新题导练】3A是锐角,求的值；解：（由条件，得 A在锐角，4已知，则的值为（ ）A B C D 解析:选B 抢 分 频 道 基础巩固训练1( 2009届广东五校高三第二联考试卷)已知则的值为（ ）A B C D 解析:选D： 2(华南师大附中2009届高三综合测试（二）)设，则A BC D解析: 选C3的值为 。解析：原式=4已知，则 解析： 5(2008-2009年汕头金山中学摸底考试)已知函数.若，求的值.解:由得:综合拔高训练6(广东省2009届高三第一次六校联考试卷数学)已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值解：（）若ab，则sincos0， 2分由此得 tan1（），所以 ； 6分（）由a(sin，1)，b(1，cos)，得ab， 10分当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为1 12分7(惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知（1）求的值；（2）求的值解：（1）由, ， （2） 原式 8已知向量，求的值.解：设则，.第4讲 简单的三角恒等变换知 识 梳理 1 升降幂公式:;2 同角正余弦化积公式，其中 ；=重 难 点 突 破 1.重点：掌握利用三角恒等变换处理三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：确定三角变换的方向及三角公式的合理运用.3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的差异，建立联系，使问题获解。（1）三角变换的基本思路是“变角、变名、变式”问题1: （07江苏）若，则_点拨：已知条件中的角是，待求式中的角是，故只需将条件展开，再由同角关系式来处理。由 求出 (2) 处理三角式的化简、求值和证明问题的基本原则是“见平方就降次，见切割就化弦，充分利用同角关系式，关注符号定象限，象限定符号的特征”。问题2：已知，求和的值点拨：本题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。先将切化弦，再寻找角之间的关系。由得则因为所以热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 三角求值题的处理题型1.给角求值问题例1 （山东省聊城一中20082009学年度上学期高三年级期末综合测试）不查表求值= 【解题思路】要注意到,然后用公式展开. 【解析】原式 = 【名师指引】给角求值问题一般考虑通过变角凑出特殊解且设法将非特殊角抵消或约去,注意公式的顺用、逆用和变形用.【新题导练】1. (tan5cot5)解：原式=2(08海南省)=（）A. B. C. 2 D. 【解析】，选C。答案：C题型2给式求值例2 (惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知（1）求的值；（2）求的值【解题思路】第(1)问注意到,第(2)问对三角式化为的表达式.解析：（1）由, ， （2） 原式 【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)设向量，若，求的值。【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析:【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换【新题导练】1. 已知函数f(x)2sinxcosxcos2x. ()求f ()的值； ()设(0，)，f ()，求cos2的值.解析：（）f(x)=sin2x+cos2x,f()=sin+cos=1（）f()=sin+cos=,1+sin2=, sin2=,cos2=（0，）2（，） cos20.故cos2=2. 已知向量a（3sin，cos），b(2sin, 5sin4cos)，（），且ab 求tan的值；解：（1）ab，ab0而a（3sin，cos），b(2sin, 5sin4cos)，故ab6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan4 0解之，得tan，或tan（），tan0，故tan（舍去）tan题型3.给式求角例4(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量，函数，若且，求的值；【解题思路】先由向量运算得出三角函数间的关系，再进一步处理。解析：-由得即 或或 -【名师指引】给式求角问题可考虑先求出一种三角函数值，再精确估计角的范围再定角。例5(2007四川 )已知0）或向右（0）平移个单位得的图象；函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中