《点集拓扑学》§4.4 局部连通空间.doc

4.4局部连通空间本节重点:掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；掌握连通与局部连通的关系.引进新的概念之前，我们先来考察一个例子例4.4.1在欧氏平面中令S=(x,sin(1/x)|x(0,1T=0-1,1,其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1在一个连续映射下的象，因此是连通的此外，也容易验证ST，因此ST也是连通的尽管如此，倘若我们查看 中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来定义4.4.1设X是一个拓扑空间，xX如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间回到例4.4.1中所定义的拓扑空间容易证明，在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的也因此，尽管是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间局部连通的拓扑空间也不必是连通的例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的），特别，欧氏空间本身是局部连通的另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点xX处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，定理4.4.1设X是一个拓扑空间则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的证明（1）蕴涵（2）设C是X的一个连通分支,如果xC，由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U又由于VC包含着点x,所以不是空集，根据定理431可见因此C这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集条件（2）蕴涵（3）若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X的一个基条件（3）蕴涵(1)显然我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集定理4.4.2设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的又设f:XY是一个连续开映射则 f（X）是一个局部连通空间证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的对于每一个BB，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f（B）是Y中的一个开集，因此也是f（X）的一个开集这证明集族B1=f（B）|BB是一个由f（X）的连通开集构成的族我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，则（U）是X中的一个开集，因此是B1中某些元素之并于是根据定理4.4.l可知f（X）是局部连通的根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理4.4.3设是n1个局部连通空间则积空间 也是局部连通空间证明(略)应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它