高考试题选-数列3.docVIP

总题数：22 题第45题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷)题目 21已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1 （1）求证：数列是等比数列；（2）若，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值答案 解：（1），则，两式相减，得，（又）数列是首项为、公比为的等比数列。（2），（1，2，2）。（3）由（2）知，数列是首项为、公差为的等差数列。又，时，；时，。| 。第46题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)辽宁卷(新课程)题目 21已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a0, d0.设1-上，在处取得最大值，在，将点依次记为A， B， C. (I)求(II)若ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值答案 本小题考查函数的导数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数列等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.()解：2b=a+c.f(x)=ax2+2bx+c=ax2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).令f(x)=0,得x=-1,或x= -a0,d0,0abc,当x-1时，f(x)0,当x-1时，f(x)0,所以f(x)在x= -1处取得极小值，即x0= -1.()解法一：f(x)=ax2+2bx+c,a0.f(x)的图象开口向上，对称轴方程是x= -由1,知f(x)在1-上的最大值为f(0)=c,即x1=0.又由1，知-1-，当x= -时，f(x)取得最小值f(-)=-即x2=-.f(x0)=f(-1)= -A(-1,-),B(0,c),C(-,-).由ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以即a2=3d2. 又由ABC的面积为2+，得利用b=a+d，c=a+2d，得 联立，可得d=3,a=3.解法二：f(x)=ax2+2bx+c,a0，f(1-)=0,f(0)=c.由c0知f(x)在1-上的最大值为f(0)=c.即x1=0.由知-1-.当x= -时f(x)取得最小值f（-）= -即f(x0)=f(-1)=-A(-1,-),B(0,c),C(-,-).由ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以-= -,即a2=3d2. 又由ABC的面积为2+ ，得利用b=a+d，c=a+2d，得 联立，可得d=3，a=3. 第47题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)题目 （22）已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II） 若数列bn满足 ，证明：是等差数列 （）证明：答案 本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 （I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列。 即 （II）证法一： ，得 即 ，得 即 是等差数列。 证法二：同证法一，得 令得 设下面用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立。 （2）假设当时，那么 这就是说，当时，等式也成立。 根据（1）和（2），可知对任何都成立。 是等差数列。 （III）证明： 第48题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程)题目 （21）数列的前n项和为Sn，已知，sn=n2an-n(n-1),n=1，2（）写出sn与的递推关系式（n2）,并求sn关于n的表达式：（）设求数列bn的前n项和Tn。答案 本小题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查分析问题和归纳推理能力。（）解法1：当时，即 已知，由递推关系式可得由此，可猜想：下面用数学归纳法证明式：证明：（i）当时，由条件，又式的右边等于，所以式成立.（ii）假设时，式成立，即则当时，故当n=k+1时，式也成立。由（i），（ii）知，对一切正整数n, 式成立.解法2：当n2时，即 于是 .是首项为1、公差为1的等差数列。因而=1+（n-1）=n，故.（）解： 当p=0时，=0；当p=1时， 当时，在式两边同乘以p，得到 得综上所述： 第49题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程)题目 22.已知数列an满足：a1=,且an=(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对一切正整数n，不等式a1a2an2n!恒成立.答案 解：(1)将条件变为：1-因此，1-为一个等比数列，其首项为1-,公比为，从而1-，据此得an=(n1) （2）证：据得，a1,a2an=.为证a1a2an2n!，只要证nN*时有. 显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个nN*,1-. 用数学归纳法证明式：1n=1时，显然式成立，2设n=k时，式成立,即1-,则当n=k+1时,1-=-1-.即当n=k+1时，式也成立.故对一切nN*,式都成立.利用得，1-=1-=1-.故式成立，从而结论得证. 第50题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程)题目 22. 已知a12，点(an，an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，()证明数列lg(1+an)是等比数列；()设Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)，求Tn及数列an的通项；()记bn=，求数列bn的前n项和Sn,并证明Sn+=1.答案 解：()由已知 an+1a2n+2an， an+1+1(an+1)2 a1=2 an+11，两边取对数得： lg(1+an+1)=2 lg(1+an)， 即 lg(1+an)是公比为2的等比数列. ()由()知 lg(1+an)=2n-1lg(1+a1) =2n-1lg3=lg3 1+an3. (*) Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an) =3333 = =3 由(*)式得an3-1 ()an+1=a2n+2an an+1=an(an+2) 又 bn= bn=2() Sn=b1+b2+bn =2 =2() an=3-1， a12， an+1=3-1 Sn1- 又Tn Sn+第51题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)陕西卷(新课程)题目 （）已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项答案 解：10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a2+6, 解之得a1=2或a1=3. 又 10Sn1=an12+5an2+6,(n2)， 由得 10an=(an2an12)+5(anan1), 即（an+an1）(anan15)=0.an+an10, anan1=5 (n2).当a1=3时,a2=13，an=73,a1,a2,an不成比数列，a13.当a1=2时,a2=12，an=72，有a32=a1a2, a1=2, an=5n3. 第52题(2006年普通高等学校春季招生考试数学(文理合卷)上海卷)题目 22. 已知数列al，a2，a30，其中al，a2，a10是首项为1公差为1的等差数列；al0，a11，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，a30是公差为d2的等差数列(d0).(1)若a20=40，求 d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围;(3)续写己知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列提出同(2)类似的问题,(2)应当作为特例,并进行研究，你能得到什么样的结论？答案 22.解(1) al0=10, a20=10+10d=40, d=3 (2) a30= a20+10d=10(1+d+d2) (d0) a30=10(d+)2+,当d(-, 0)(0, +)时, a30,+). (3) 所给数列可推广为无穷数列 an,其中al，a2，a10是首项为1公差为1的等差数列,当n1时, 数列a10n，a10n+1,，a10(n+1)是公差为dn的等差数列. 研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求a10(n+1)的取值范围 研究的结论可以是: 由a40= a30+10d3=10(1+d+d2+ d3),依次类推可得 当d0时, a10(n+1)的取值范围为(10, +) 第53题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程)题目 （19）设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较和的大小。答案 (19)解：（）因为an是等比数列，Sn0,可得a1=S10,q0. =Sn(q+)(q2).第54题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程)题目 （18）已知an是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn=,n=1,2,3.()证明bn为等比数列；（）如果无穷等比数列bn各项的和S=,求数列an的首项a1和公差d.(注：无穷数列各项的和即当n时数列前n项和的极限)答案 （18）（）证明：lga1、lga2、lga4成等差数列， 2lga2=lga1+lga4，即a2=a1a4.等差数列an的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d.从而d(da1)=0. (i)若d=0，则an为常数列，相应bn也是常数列.此时bn是首项为正数，公式为1的等比数列. (ii)若d=a10，则=a1+(2n1)d=2nd，bn=.这时bn是首项b1=，公比为的等比数列.综上知，bn为等比数列. （）解：如果无穷等比数列bn的公比q=1，则当n时其前n项和的极限不存在.因而d=a10，这时公比q=，b1=.这样，bn的前n项和Sn=，则S=Sn=. 由S=得公差d=3，首项a1=d=3. 第55题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程)题目 19、中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（）求的值（）设，求的值。答案 19解：（）由得 由及正弦定理得于是 = （）由得，由可得，即由余弦定理 得 第56题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程)题目 20、在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列的通项答案 20解：依题设得，整理得， 得所以，由已知得是等比数列由，所以数列也是等比数列，首项为1，公比为，由此得等比数列kn的首项，公比，所以即得到数列 kn 的通项为 第57题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程)题目 答案 （19）解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a0, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列 证明如下：因为bn+1a2n+1=a2n=（a2n1+）=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列（III）. 第58题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)题目 18已知.（）当时，求数列的前n项和；（）求.答案 18. （）解：当a=b时，un=(n1)an，这时数列un的前n项和 Sn=2a+3a2+4a3+nan+1+(n+1)an 式两边同乘以a，得 aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1 式减去式，得 （1a）Sn=2a+a2+a3+an(n+1)an+1.若a1, （1a）Sn=(n+1)an+1+aSn=若a=1, Sn=2+3+n+(n+1) =.（）解：由（），当a=b时，un=(n+1)an,则=a当ab时，un=an+an1b+abn1+bn = an 1+()2+()n =an =（an+1bn+1）.此时，若ab0,=若ba0,第59题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷)题目 20、假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？答案 20.解（1）设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列. 其中a1=250, d=50.则Sn=250n+50=25n2+225n,令25n2+225n4750,即n2+9n1900,而n是正整数， n10.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列。其中b1=400, q=1.08,则bn=400(1.08)n1,由题意可知an0.85bn,有250+（n1）50400(1.08)n10.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底，当年建造的中低价房的面积点该年建造住房面积的比例首次大于85%。第60题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程)题目 20设点(，0)，和抛物线：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到： x11，点P2(x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在抛物线：yx2an xbn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离 ()求x2及C1的方程 ()证明是等差数列答案 20.解：（）由题意，得 A1(1,0)， C1：y=x27x+b1,设点P（x,y）是C1上任意一点，则|A1P|= =令f(x)=（x1）2+(x27x+b1)2,则 f(x)=2(x1)+2(x27x+b1)(2x7)由题意，得 f(x2)=0,即 2(x21)+2(x227x2+b1)(2x27)=0.又P2(x2,2)在C1上2x227x2+b1,解得 x2=3, b1=14,故C1方程为y=x27x+14（）设点P（x,y）是Cn上任意一点，则|AnP|= =令g(x)=(xxn)2+(x2+anx+bn)2,则 g(x)=2(xxn)+2(x2+anx+bn)(2x+an).由题意，得g(xn+1)=0即 2(xn+1xn)+2(xn+12+anxn+1+bn)(2xn+1+an)=0又2n=xn+12+anxn+1+bn(xn+1xn)+2n(2xn+1+an)=0(n1).即(1+2n+1)xn+1xn+2 nan=0 （*）下面用数学归纳法证明xn=2n1当n=1时，x1=1，等式成立。假设当n=k时，等式成立，即xk=2k1.则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）xk+1xk+2kak=0又ak=24k,xk+1=即当n=k+1时，等式成立，由知，等式对nN*成立。xn是等差数列。第61题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)题目 22已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn-满足b1=1, bn+1=，求证a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an；（）若，求a的取值范围.答案 22.（I）解法一： 故a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an解法二：b1=1,bn+1=,bn=+1当a=b1时，a2=1+=0.当a=b2时，a2=1+=b1, a3=0.当a=b3时a2=1+=b2, a1=1+=1+=b1,a4=0.一般地，当a=bn时，an+1=0,可得一个含有n+1项的有穷数列a1,a2,a3,an+1.下面用数学归纳法证明：当n=1时，a=b1，显然a2=0.得到一个含有2项的有穷数列a1,a2.假设当n=k时，a=bk,得到一个含k+1项的有穷数列a1,a2,a3,ak+1.其中ak+1=0.则n=k+1时，a=bk+1,a2=1+=bk.由假设可知，可得到一个含有k+1项的有穷数列a2,a3,ak+2,其中ak+2=0.当n=k+1时，可得到一个含有k+2项的有穷数列a1,a2,a3,ak+2,其中ak+2=0.由知，对一切nN,命题都成立。（III）要使an2,即1+2,1Aan-12.要使an2，当且仅当它的前一项an-1满足1a0.第62题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)题目 22已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足. （）证明;（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有答案 22（）证法1：当即 于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则 即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取N=1024，可使当nN时，都有 第63题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程)题目 20、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN，且x10。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。 （）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a2，c1，为保证对任意x1（0,2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。答案 20解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x10，所以ab. 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （）若b的值使得xn0，nN* 由xn+1=xn (3bxn), nN*, 知 0xn3b, nN*, 特别地，有0x10.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.第64题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程)题目 21已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.答案 21解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，；2假设n=k时有成立，令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切 （2）下面来求数列的通项：所以又b0=1，所以第65题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程)题目 （21）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小. 答案 21解：（）由已知两式相减，得，即，从而，当时又