2005年北京市高考数学试卷(理科).doc

2005年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）设全集U=R，集合M=x|xl，P=x|x2l，则下列关系中正确的是（）AM=PBPMCMPDCUMP=2（5分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件3（5分）若，且，则向量与的夹角为（）A30B60C120D1504（5分）从原点向圆x2+y212y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）AB2C4D65（5分）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（）Asin（+）sin+sinBsin（+）cos+cosCcos（+）sin+sinDcos（+）cos+cos6（5分）在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC7（5分）北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）AC1214C412C48BC1412A124A84CDC1412A124C84A338（5分）函数f（x）=（）A在0，），（，上递增，在，），（，2上递减B在0，），）上递增，在（，（，2上递减C在（，（，2上递增，在0，），）上递减D在，），（，2上递增，在0，），（，上递减二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）若zl=a+2i，z2=34i，且为纯虚数，则实数a的值为10（5分）已知tan=2，则tan的值为，tan（+）的值为11（5分）展开式中的常数项是12（5分）过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 13（5分）设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1x2），有下列命题f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；其中正确的命题序号是 14（5分）已知n次多项式Pn（x）=a0xn+a1xn1+an1x+an如果在一种算法中，计算x0k（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn（x0）的值共需要次运算下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x0）=a0Pn+1（x）=xPn（x）+ak+1（k=0，l，2，n1）利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要次运算三、解答题（共6小题，15、17题每题13分，16、18、20题每题14分，19题12分，满分80分）15（13分）已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（）求f（x）的单调递减区间；（）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值16（14分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD垂足为E（）求证BDA1C；（）求二面角A1BDC1的大小；（）求异面直线AD与BC1所成角的大小17（13分）甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为（）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E；（）求乙至多击中目标2次的概率；（）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率18（14分）如图，直线l1：y=kx（k0）与直线l2：y=kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2（）分别用不等式组表示W1和W2（）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（）设不过原点O的直线l与（）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点求证OM1M2的重心与OM3M4的重心重合19（12分）设数列an的首项a1，且an+1=，记bn=a2n1，n=1，2，3（）求a2，a3；（）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）求（b1+b2+bn）20（14分）设f（x）是定义在0，1上的函数，若存在x*（0，1），使得f（x）在0，x上单调递增，在x，1单调递减，则称f（x）为0，1上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的0，1上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法（）证明：对任意的x1，x2（0，1），x1x2，若f（x1）f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）f（x2），则（x1，1）为含峰区间；（）对给定的r（0r0.5），证明：存在x1，x2（0，1），满足x2x12r，使得由（）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；（）选取x1，x2（0，1），x1x2由（）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2005北京）设全集U=R，集合M=x|xl，P=x|x2l，则下列关系中正确的是（）AM=PBPMCMPDCUMP=【解答】解：P=x|x2l=x|x1或xl，故MP故选C2（5分）（2005北京）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m2）x+（m+2）y3=0的斜率是，满足k1k2=1，“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m2）+3m（m+2）=0得：m=或m=2“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”充分而不必要条件故选：B3（5分）（2005北京）若，且，则向量与的夹角为（）A30B60C120D150【解答】解：若，设向量与的夹角为，则故选C4（5分）（2005北京）从原点向圆x2+y212y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）AB2C4D6【解答】解：圆x2+y212y+27=0 即 x2+（y6）2=9，设两切线的夹角为2，则有 sin=，=30，2=60，劣弧对的圆心角是120，劣弧长为 23=2，故选 B5（5分）（2005北京）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（）Asin（+）sin+sinBsin（+）cos+cosCcos（+）sin+sinDcos（+）cos+cos【解答】解：对于AB中的，可以分别令为30，60则知道A，B均不成立对于C中的，可以令他们都等于15，则知道C不成立cos（+）=coscossinsincos1+cos1=cos+cos故选D6（5分）（2005北京）在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC【解答】解：由DFBC可得BC平面PDF，故A正确若PO平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DFPO，又DFAE故DF平面PAE，故B正确由DF平面PAE可得，平面PAE平面ABC，故D正确故选C7（5分）（2005北京）北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）AC1214C412C48BC1412A124A84CDC1412A124C84A33【解答】解：先从14人中选12人，有C1412种选法，早班从12人中选取4人，有C124种选法，中班从剩余的8人中选4人，有C84种选法，剩余的4人是晚班开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84故选A8（5分）（2005北京）函数f（x）=（）A在0，），（，上递增，在，），（，2上递减B在0，），）上递增，在（，（，2上递减C在（，（，2上递增，在0，），）上递减D在，），（，2上递增，在0，），（，上递减【解答】解：f（x）=|sinx|cosx当sinx0时，即x0时f（x）=tanx（x）当sinx0时，即x，2时f（x）=tanx（x）根据正切函数的单调性可知：函数f（x）在0，），（，上递增，在，），（，2上递减故选A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）（2005北京）若zl=a+2i，z2=34i，且为纯虚数，则实数a的值为【解答】解：=它是纯虚数，所以3a8=0，且4a+60，解得a=故答案为：10（5分）（2005北京）已知tan=2，则tan的值为，tan（+）的值为【解答】解：tan=tan（+）=11（5分）（2005北京）展开式中的常数项是210【解答】解：令，得k=6，所以展开式中的常数项是T7=C106（1）6=210故答案为：21012（5分）（2005北京）过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 （1，e），切线的斜率为 e【解答】解：y=ex设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为yex0=ex0（xx0）又切线过原点，ex0=ex0（x0），x0=1，y0=e，k=e故答案为：（1，e）；e13（5分）（2005北京）设函数f（x）=2x，对于任意的x1，x2（x1x2），有下列命题f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；其中正确的命题序号是 【解答】解：=，所以对于成立，+，所以对于不成立，函数f（x）=2x，在R上是单调递增函数，若x1x2则f（x1）f（x2），则，若x1x2则f（x1）f（x2），则，故正确说明函数是凹函数，而函数f（x）=2x是凹函数，故正确故答案为：14（5分）（2005北京）已知n次多项式Pn（x）=a0xn+a1xn1+an1x+an如果在一种算法中，计算x0k（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn（x0）的值共需要n（n+3）次运算下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x0）=a0Pn+1（x）=xPn（x）+ak+1（k=0，l，2，n1）利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要2n次运算【解答】解：在利用常规算法计算多项式Pn（x）=a0xn+a1xn1+an1x+an的值时，算a0xn项需要n乘法，则在计算时共需要乘法：n+（n1）+（n2）+2+1=次需要加法：n次，则计算Pn（x0）的值共需要n（n+3）次运算在使用秦九韶算法计算多项式Pn（x）=a0xn+a1xn1+an1x+an的值时，共需要乘法：n次需要加法：n次，则计算Pn（x0）的值共需要2n算故答案为：n（n+3），2n三、解答题（共6小题，15、17题每题13分，16、18、20题每题14分，19题12分，满分80分）15（13分）（2005北京）已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（）求f（x）的单调递减区间；（）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【解答】解：（I）f（x）=3x2+6x+9令f（x）0，解得x1或x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（II）因为f（2）=8+1218+a=2+a，f（2）=8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（2）因为在（1，3）上f（x）0，所以f（x）在1，2上单调递增，又由于f（x）在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=2故f（x）=x3+3x2+9x2，因此f（1）=1+392=7，即函数f（x）在区间2，2上的最小值为716（14分）（2005北京）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD垂足为E（）求证BDA1C；（）求二面角A1BDC1的大小；（）求异面直线AD与BC1所成角的大小【解答】解：法一：（I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCDAC是A1C在平面ABCD上的射影BDACBDA1C；（II）连接A1E，C1E，A1C1与（I）同理可证BDA1E，BDC1E，A1EC1为二面角A1BDC1的平面角ADDC，A1D1C1=ADC=90，又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2，AA1=且ACBD，A1C1=4，AE=1，EC=3，A1E=2，C1E=2，在A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，A1EC1=90，即二面角A1BDC1的大小为90（III）过B作BFAD交AC于F，连接FC1，则C1BF就是AD与BC1所成的角AB=AD=2，BDAC，AE=1，BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，FC1=，BC1=，在BFC1中，cosC1BF=，C1BF=arccos即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos法二：（）同解法一（）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系连接A1E，C1E，A1C1与（1）同理可证，BDA1E，BDC1E，A1EC1为二面角A1EDC1的平面角由A1（2，0，）C1（0，2，）E（，0）得=（，），=（，）=+3=0，即EA1EC1二面角A1EDC1的大小为90（）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，），B（3，0），得=（2，0，0），=（3，），=6，|=6，|=2，|=cos（，）=，异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos法三：（）同解法一（）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E连接A1E，C1E，A1C1与（）同理可证BDA1E，BDC1E，A1EC1为二面角A1BDC1的平面角由E（0，0，0）A1（0，1，），C1（0，3，）得（0，1，），=（0，3，）=3+3=0，即EA1EC1，二面角A1BDC1的大小为9017（13分）（2005北京）甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为（）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E；（）求乙至多击中目标2次的概率；（）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率【解答】解：（I）由题意得甲击中目标的次数为0、1、2、3，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，当变量为0时表示没有击中目标，当变量为1时表示击中目标1次，当变量为2时表示击中目标2次，当变量为3时表示击中目标3次，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，的概率分布如下表：0123PE=O+1+2+3=1.5，（或E=3=1.5）；（II）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，有对立事件的概率公式得到概率为1=；（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件P（A）=P（B1）+P（B2）=+=甲恰好比乙多击中目标2次的概率为18（14分）（2005北京）如图，直线l1：y=kx（k0）与直线l2：y=kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2（）分别用不等式组表示W1和W2（）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（）设不过原点O的直线l与（）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点求证OM1M2的重心与OM3M4的重心重合【解答】解：（I）根据图象可知阴影区域左半部分，在y=kx的下方，在y=kx的上边，故y的范围可知kxykx，且x0，阴影区域右半部分，在y=kx的下边，y=kx的上方，x0W1=（x，y）|kxykx，x0，W2=（x，y）|kxykx，x0，（II）直线l1：kxy=0，直线l2：kx+y=0，由题意得=d2，即=d2，由P（x，y）W，知k2x2y20，所以=d2，即k2x2y2（k2+1）d2=0，所以动点P的轨迹C的方程为k2x2y2（k2+1）d2=0；（）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a0）由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以OM1M2，OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n0）由，得（k2m2）x22mnxn2k2d2d2=0由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2m20且=（2mn）2+4（k2m2）（n2+k2d2+d2）0设M1，M2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，y1+y2=m（x1+x2）+2n，设M3，M4的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），由得x3=，x4=从而x3+x4=x1+x2，所以y3+y4=m（x3+x4）+2n=m（x1+x2）+2n=y1+y2，于是OM1M2的重心与OM3M4的重心也重合19（12分）（2005北京）设数列an的首项a1，且an+1=，记bn=a2n1，n=1，2，3（）求a2，a3；（）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）求（b1+b2+bn）【解答】解：（I）a2=a1+=a+，a3=a2=a+；（II）a4=a3+=a+，所以a5=a4=a+，所以b1=a1=a，b2=a3=（a），b3=a5=（a），猜想：bn是公比为的等比数列证明如下：因为bn+1=a2n+1=a2n=（a2n1）=bn，（nN*）所以bn是首项为a，公比为的等比数列（III）（b1+b2+bn）=2（a）20（14分）（2005北京）设f（x）是定义在0，1上的函数，若存在x*（0，1），使得f（x）在0，x上单调递增，在x，1单调递减，则称f（x）为0，1上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的0，1上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法（）证明：对任意的x1，x2（0，1），x1x2，若f（x1）f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）f（x2），则（x1，1）为含峰区间；（）对给定的r（0r0.5），证明：存在x1，x2（0，1），满足x2x12r，使得由（）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；（）选取x1，x2（0，1），x1x2由（）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x