定积分典型例题20例答案

精品文档 1欢迎下载 定积分典型例题定积分典型例题 2020 例答案例答案 例例 1 1 求 333223 2 1 lim 2 n nnn n 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限 若对题目中被积 函数难以想到 可采取如下方法 先对区间等分写出积分和 再与所求极限相比较 0 1 n 来找出被积函数与积分上下限 解 将区间等分 则每个小区间长为 然后把的一个因子 0 1 n 1 i x n 2 11 1 nn n 乘入和式中各项 于是将所求极限转化为求定积分 即 1 n 333223 2 1 lim 2 n nnn n 333 112 lim n n nnnn 1 3 0 3 4 xdx 例例 2 2 2 2 0 2xx dx 解法 1 由定积分的几何意义知 等于上半圆周 2 2 0 2xx dx 22 1 1xy 0y 与轴所围成的图形的面积 故 x 2 2 0 2xx dx 2 解法 2 本题也可直接用换元法求解 令 则1x sint 22 t 2 2 0 2xx dx 2 2 2 1sincosttdt 2 2 0 21sincosttdt 2 2 0 2cos tdt 2 例例 3 3 1 若 则 2 若 求 2 2 x t x f xedt fx 0 x f xxf t dt fx 分析 这是求变限函数导数的问题 利用下面的公式即可 v x u x d f t dtf v x v xf u x u x dx 解 1 fx 42 2 xx xee 2 由于在被积函数中不是积分变量 故可提到积分号外即 则x 0 x f xxf t dt 可得 fx 0 x f t dtxf x 例例 4 4 设连续 且 则 f x 3 1 0 x f t dtx 26 f 解 对等式两边关于求导得 3 1 0 x f t dtx x 32 1 31f xx 精品文档 2欢迎下载 故 令得 所以 3 2 1 1 3 f x x 3 126x 3x 1 26 27 f 例例 5 5 函数的单调递减开区间为 1 1 3 0 x F xdt x t 解 令得 解之得 即为所求 1 3F x x 0F x 1 3 x 1 0 9 x 1 0 9 例例 6 6 求的极值点 0 1 arctan x f xttdt 解 由题意先求驻点 于是 令 得 列表 fx 1 arctanxx fx 01x 0 x 如下 故为的极大值点 1x f x 为极小值点 0 x 例例 7 7 已知两曲线与在点处的切线相同 其中 yf x yg x 0 0 2arcsin 0 x t g xedt 1 1 x 试求该切线的方程并求极限 3 lim n nf n 分析 两曲线与在点处的切线相同 隐含条件 yf x yg x 0 0 0 0 fg 0 0 fg 解 由已知条件得 20 0 0 0 0 t fgedt 且由两曲线在处切线斜率相同知 0 0 2 arcsin 2 0 0 0 1 1 x x e fg x 故所求切线方程为 而yx 3 0 3 lim lim33 0 3 3 0 nn ff n nff n n 例例 8 8 求 2 2 0 0 0 sin lim sin x x x tdt t tt dt 分析 该极限属于型未定式 可用洛必达法则 0 0 x 0 0 0 1 1 1 fx 0 0 精品文档 3欢迎下载 解 2 2 0 0 0 sin lim sin x x x tdt t tt dt 22 0 2 sin lim 1 sin x xx xxx 22 0 2 lim sin x x xx 3 0 4 2 lim1 cos x x x 2 0 12 2 lim sin x x x 0 注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则 例例 9 9 试求正数与 使等式成立 ab 2 020 1 lim1 sin x x t dt xbx at 分析 易见该极限属于型的未定式 可用洛必达法则 0 0 解 2 020 1 lim sin x x t dt xbx at 2 2 0 lim1 cos x x ax bx 2 200 1 limlim1 cos xx x bx ax 2 0 1 lim1 1cos x x bxa 由此可知必有 得 又由 0 lim 1cos 0 x bx 1b 2 0 12 lim1 1cos x x xaa 得 即 为所求 4a 4a 1b 例例 1010 设 则当时 是的 sin 2 0 sin x f xt dt 34 g xxx 0 x f x g x A 等价无穷小 B 同阶但非等价的无穷小 C 高阶无穷小 D 低阶无穷小 解法 1 由于 2 23 00 sin sin cos limlim 34 xx f xxx g xxx 2 2 00 cossin sin limlim 34 xx xx xx 2 2 0 11 lim 33 x x x 故是同阶但非等价的无穷小 选 B f x g x 解法 2 将展成 的幂级数 再逐项积分 得到 2 sintt sin 22337 0 111 sinsin 3 342 x f xttdtxx 则 344 34 000 1111 sin sin sin 1 342342 limlimlim 13 xxx xxx f x g xxxx 例例 1111 计算 2 1 x dx 分析 被积函数含有绝对值符号 应先去掉绝对值符号然后再积分 精品文档 4欢迎下载 解 2 1 x dx 02 10 x dxxdx 22 02 10 22 xx 5 2 注 在使用牛顿 莱布尼兹公式时 应保证被积函数在积分区间上满足可积条件 如 则是错误的 错误的原因则是由于被积函数在处间断且在 3 3 2 2 2 111 6 dx xx 2 1 x 0 x 被积区间内无界 例例 1212 设是连续函数 且 则 f x 1 0 3 f xxf t dt f x 分析 本题只需要注意到定积分是常数 为常数 b a f x dx a b 解 因连续 必可积 从而是常数 记 则 f x f x 1 0 f t dt 1 0 f t dta 且 3f xxa 11 00 3 xa dxf t dt a 所以 即 21 0 1 3 2 xaxa 1 3 2 aa 从而 所以 1 4 a 3 4 f xx 例例 1313 计算 2 1 12 2 11 xx dx x 分析 由于积分区间关于原点对称 因此首先应考虑被积函数的奇偶性 解 由于是偶函数 而 2 1 12 2 11 xx dx x 2 11 1122 2 1111 xx dxdx xx 2 2 2 11 x x 是奇函数 有 于是 2 11 x x 1 12 0 11 x dx x 2 1 12 2 11 xx dx x 2 1 02 4 11 x dx x 22 1 2 0 11 4 xx dx x 11 2 00 441dxx dx 由定积分的几何意义可知 故 1 2 0 1 4 x dx 2 11 102 2 444 4 11 xx dxdx x 例例 1414 计算 其中连续 22 0 x d tf xt dt dx f x 分析 要求积分上限函数的导数 但被积函数中含有 因此不能直接求导 必须先x 换元使被积函数中不含 然后再求导 x 解 由于 22 0 x tf xt dt 222 0 1 2 x f xtdt 精品文档 5欢迎下载 故令 当时 当时 而 所以 22 xtu 0t 2 ux tx 0u 2 dtdu 22 0 x tf xt dt 2 0 1 2 x f udu 2 0 1 2 x f u du 故 22 0 x d tf xt dt dx 2 0 1 2 x d f u du dx 2 1 2 2 f xx 2 xf x 错误解答 22 0 x d tf xt dt dx 22 0 xf xxxf 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式 公式 x a d xf t dtf x dx 中要求被积函数中不含有变限函数的自变量 而含有 因此不能直接求 f tx 22 f xt x 导 而应先换元 例例 1515 计算 3 0 sinxxdx 分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形 通常采用分部积分法 解 3 0 sinxxdx 3 0 cos xdx 33 0 0 cos cos xxx dx 3 0 cos 6 xdx 3 26 例例 1616 计算 1 2 0 ln 1 3 x dx x 分析 被积函数中出现对数函数的情形 可考虑采用分部积分法 解 1 2 0 ln 1 3 x dx x 1 0 1 ln 1 3 x d x 1 1 0 0 111 ln 1 3 3 1 xdx xxx 1 0 1111 ln2 2413 dx xx 11 ln2ln3 24 例例 1717 计算 2 0 sin x exdx 分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法 解 由于 2 0 sin x exdx 2 0 sin x xde 22 0 0 sin cos xx exexdx 1 22 0 cos x eexdx 而 2 0 cos x exdx 2 0 cos x xde 22 0 0 cos sin xx exex dx 2 2 0 sin1 x exdx 将 2 式代入 1 式可得 精品文档 6欢迎下载 2 0 sin x exdx 22 0 sin1 x eexdx 故 2 0 sin x exdx 2 1 1 2 e 例例 1818 计算 1 0 arcsinxxdx 分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形 通常用分部积分法 解 1 0 arcsinxxdx 2 1 0 arcsin 2 x xd 22 1 1 0 0 arcsin arcsin 22 xx xdx 1 2 1 02 1 42 1 x dx x 令 则sinxt 2 1 02 1 x dx x 2 2 02 sin sin 1sin t dt t 2 2 0 sin cos cos t tdt t 2 2 0 sin tdt 2 2 0 1cos2 2 t dt 2 0 sin2 24 tt 4 将 2 式代入 1 式中得 1 0 arcsinxxdx 8 例例 1919 设上具有二阶连续导数 且 f x 0 3f 0 cos2f xfxxdx 求 0 f 分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式 可考虑用分部积分法求解 解 由于 0 cosf xfxxdx 00 sincos f x dxxdfx 0 0 00 sin sin cos sin f xxfxxdxfxxfxxdx 0 2ff 故 0 f 2 235f 例