弹性直梁问题的变分原理及有限元素法.doc

第二章 弹性直梁问题的变分原理及有限元素法l 讨论的问题：一变剖面的梁，一端固支，另一端简支。承受轴向拉力N，分布横向载荷以及端点弯矩的作用。l 控制微分方程及边界条件（以梁的挠度w表示）l 称谓：把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度，精确解；把满足基本边界条件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫（变形）可能挠度。i) 最小势能原理（变分原理）l 把载荷看作是不变的已知函数，把挠度看作是可变的自变函数。l 整个系统的势能包括三部分：（1） 梁的应变能：dsw+dww(2) 轴向应变能：dx(3) 横向载荷势能：后项取加号，是为着能够得到自然边界条件的结果 (4) 系统总势能：* 除w为可变外，其余变量假定为已知的不变量。l 最小势能原理：在所有变形可能的挠度中，精确解使系统的总势能取最小值。l 由于是w的二次函数，不用变分法而用较初等的方法也能作出数学证明。证明过程：设是精确解，它满足微分方程及所有边界条件。设是某一变形可能的挠度，仅知道它满足：令： 当时，才是w的变分。由上式关系知满足： 在处， 在处，与相应的总势能：其中：Note：满足基本边界条件，可得 (功的互等定理) 功的互等定理：第一组力在第二组位移上所做的功等于第二组力在第一组位移上所做 的功。（真实力状态关于虚拟位移作功；虚拟位移产生的虚拟力关于真实位移作功）此式表明： 由的算式，当时， 或 当（轴受压）未达到临界压力时，。所以： 式中的等号只有在为刚体位移时才能成立（即弹性能仅为零的情况）。以上即是证明的最小势能原理。 上述的证明可普遍适用于其他类型的边界条件；也适用于其他复杂弹性力学体系。 精确解既然是使总势能取最小值，那么必有：即： （正好补足了可能挠度尚未满足的边界平衡条件）所以，最小势能原理与平衡条件（边界及内部）完全等价。 说明：尽管变分法与原问题的微分方程系统等价，但具体求解时，变分法涉及的导数阶次要低（这是能量法的优点，求得的解可能满足微分方程的连续性要求，也可能不满足）。 能量逼近解（不是真解）不能满足力的自然边界条件（选取可能位移时一般很难取得满足力的边界条件，故一般情况有限元不能获得满足力边界条件的解）。从这点上看，只能是近似解。当然，如果在满足力的边界条件的那些函数集合中选，则解的精度要大大提高（即更为逼近）。强调三点： 上述证明的是真实挠度使 系统 势能取最小值。 又通过变分法证明了系统能量的极值曲线满足梁的微分控制方程（平衡方程）。需要深入认识的是：系统能量泛函中要求的挠度为可能挠度（即满足连续性与位移边界条件的曲线，但不满足微分方程）；变分的结果恰使极值曲线应满足微分方程及自然边界条件，补足了真实解的所需条件（理论上的等价性）。 微分方程解与能量泛函解对函数连续性的要求是不同的，故能量方法对函数的连续性要求较放松。以后在广义变分原理中会看到对解函数的连续性要求更低。ii) 用Ritz法求解梁的弯曲问题考虑：端固支，端简支，变剖面梁在轴向拉力和横向载荷联合作用下的平衡问题，求挠度函数（当EJ为变数时很难求解精确解）。求解：设挠度表达式为：式中，是变形可能的某一特解，即和是x的连续函数，且满足下列非齐次的位移边界条件：在处，在处，为n个适当选定的变形可能的齐次解，即和都是x的连续函数，并且满足齐次的位移边界条件，即：在处，在处，是n个待定常数。改成用矩阵表示（便于计算机运算及与有限元方法对比）记： 未定系数矢量由最小势能原理确定。（1） 代入能量泛函： （2） 代入w的计算举例：）Note： 代入积分式后成为常数，对变分无意义，故可在变分意义下忽略掉。 ） 同理得其他项的计算结果。最终有：（3） 计算 注意求导运算的规则：在行乘列的数中，对行变量求导，列向量不变；对列向量求导得行向量的转置。同时注意到上式中的矩阵对称性，即： 于是得：上面的计算推导显粗，细做：令： Ritz法中的关键取决于可能挠度的选取是否恰当。若问题中的位移边界条件是齐次的，则；若问题中的位移边界条件是非齐次的，不可少。若级数的前n项已颇接近精确解，级数的后几项只起“修正”作用，那么少取几项也能解决问题。反之，级数的前n项与精确解相差颇远，则加重了后面各项的“修正”负担，那么级数项只好取得多一些。lleeiii).有限元素法求解梁的弯曲问题基本步骤： 先将梁分割成若干个（如n个）有限单元。 构造单元的无量纲局部坐标系（用于几何构造）取第e个元素分析（如右图）j取无量纲局部坐标系: 线性构造几何坐标： (后者为规范式)局部坐标实际上为坐标基函数（也称形状函数，或参数坐标）。从坐标的观点来理解，参数坐标并不是独立的，也不具有描述一个任一向量的最小数目。 构造位移（挠度）函数（有限元不要对整个梁的挠度作假设，而仅在每一个元素上进行假设构造，显然简单易行）对梁类单元如果构造成线性挠度，即： 过分简化，无法满足梁变形的连续性。因为：a. 由线性假设，梁的曲率为零，计算不出梁的应变能，故需要梁的挠度函数构造满足二阶导存在，即b. 两个相邻元在公共节点上给出不相等斜率（一阶导在单元内为常数），这与位移连续性的要求矛盾，同样要求 ，且不能在单元内为常数。由此，对梁元素的挠度函数必须是三次的函数。如用三次函数，可取：H的上标代表节点号（相当于i, j）下标0对应于节点挠度；1对应节点斜率（转角）；还应注意到上述插值表达式中的系数为单元节点的位移及一阶导（未知量）。可看成由对应于节点的要素所引起的单元内部挠度关系。在两节点上一阶导都为零。b在两节点上函数值都为零。在两节点上一阶导都为零。在两节点上函数值都为零。注意：l 上式插值的奥妙之处在于保障了在单元间节点上函数值及其一阶导的连续性，二阶导并不连续（仅是存在）。这从能量泛函的积分式中可以看出已满足了积分条件；如果二阶导也连续，则过于连续了（过协调单元，这样的解反倒由于计算误差而导致精度下降）。l 上述插值函数的构成在单元内场函数连续性要高（单元内二阶导连续），而在单元间的节点上，要低一阶（一阶导连续，二阶导存在）。这是分段（片）插值函数的共同特征（可比较样条函数的特性）。l 上述的坐标基函数具有内嵌性（规范性），即直接在节点上满足函数本身及一阶导连续的特性。样条函数需要外加节点导数连续性的要求。 计算势能泛函有限元中已对按元素分段进行插值，故能量泛函也应分段计算，即： NNN举例：当每个单元都很短时，通常认为各单元中的EJ是一个常数，这使得有限元法考虑变弹性刚度的梁问题更易处理。作法相同于Ritz法，代的插值表达式，细致计算得：细致计算中应用到一个定积分结果：积分结果元素刚度矩阵元素的几何刚度矩阵（元素的广义载荷列阵，转换成节点的等效载荷） 总势能的和在求和计算时要注意，相邻单元有公共的节点（号），可采用对号求和的办法来计算。举例：（注意对称性）23451 （可把节点看成是自由的，元素对节点起约束作用）对号求和规则：a. 做一个总矩阵，行（列）数节点数节点自由度数 b. 取各单元的矩阵：1单元对号求和放入总矩阵相应位置；2单元对号求和放入总矩阵相应位置；。c. 相合矩阵（布尔矩阵（Boolean）初等变换矩阵。单元： （这里的矩阵元素代表一个22的块）单元： 求系统势能的最小值remark: 求解刚度方程的作用是确定近似的位移形态。 说明: i刚度方程是一个节点力的平衡方程。是在假设的位移形态下，连续体平衡方程经能量变分原理转换成的节点力平衡方程。ii这个平衡方程是虚拟的（只有在桁架或刚架结构中真实；连续体结构实际不存在），只是在能量意义下的“笼统”的平衡关系（连续体的能量离散节点体系的能量）。节点力为能量意义上的等效节点力。iii.（如果仅取一个单元）若在梁各固支节点上加一集中反力（广义力）F，那么这个F正好与原有载荷产生的等效节点载荷F相抵消，从而U0，这说明F就是结构力学中常见的固定端反力，即能使节点无挠度无转角所需的集中反力和反力矩。上面介绍的方法实质上就是求固定端反力的近似方法。对于等剖面的梁且无轴向载荷作用，上面计算的F公式是精确的。（说明虚拟的节点载荷应是固支端的支反力）。iv. 若梁为等剖面的且在均布载荷作用下，由材料力学知，其挠度是三次曲线。因此，位移形状函数的假设是精确的，所以最后求得的解是精确解。v. 在构造位移形状函数时，并没有注意到边界条件的满足，要使边界处单元在支持端位移条件恰好与支持端节点位移一致，必须在解总刚度方程前，置入这些支持端节点上的边界条件，再进行线性代数方程组的求解。vi. 从另一角度看，在未置入边界条件的总刚方程中，总刚方程代表了一个平衡关系，当节点位移有刚体运动时，这个平衡关系仍然成立，因此未置边界条件的总刚方程是不定的或说有无穷个解，即（总刚方程是奇异的）。当置入了边界条件后，（不可能有刚体位移发生）才能获得唯一位移解，这说明置入边界条件后的总刚方程是适定的，而且对于获得的位移解，总能使系统势能（二次型）大于零。故说此时的总刚矩阵是正定的。（无置入边界时是称为半正定的）。置边界条件的两种方法： 划行划列法边界条件的置入，应使代数方程组的求解与给定的节点位移（一般是支持端）上一致。这是最终的目的，但方法上可以多样化。划行划列法实际上是在总刚度方程中取消这些与已知节点位移相关的量。即： 若代入上述方程，并移项后得（此时应为未知量，否则三个方程解两个未知量本身就是矛盾的，应多消掉一个方程）求解时，仅解这相当于在方程中，划掉第2行或第2列（但应注意对右端项的处理）。 置1法：大家可能担心，所求解不满足原第二