二轮复习案例导数及其应用(理科)练习 武穴中学 郑齐爱.doc

导数及其应用（理科） 武穴中学 郑齐爱 专题指导导数是用来研究函数的一些重要性质（如单调性、凸凹性、极值与最值、函数图象的切线等）的有力工具。由导数的几何意义，可以求函数图象上某点处切线的斜率；通过研究导数的符号，可以判断函数在定义域内某个子区间上的单调性、凸凹性、进而求极值与最值。在考试方面，主要考查：（1）导数和定积分的运算.（2）利用导数几何意义求切线.（3）求函数单调区间.（4）证明不等式.（5）已知不等式恒成立，求参数的取值范围.（6）实际应用中的最值问题。主要涉及到的几种数学思想方法：数形结合、分类讨论、等价转化、函数方程思想。 命题解读 统计2011年全国各省市高考数学17套试题中考察导数部分的内容，一般是一大题一小题，分值19分（18分，或17分），有的仅一大题分值13分（12分，或14分）。小题一般属中低档题，大题一般设在压轴题位置，有一定难度。从涉及的内容来看，一是考查常见函数的导数计算，特别是指数型、对数型、分式型及他们的复合型函数求导运算；二是考查导数的几何意义，利用导数的几何意义求曲线的切线；三是重点考查导数的工具性，利用导数研究函数的单调性、极值、解证不等式。导数是高中数学中与大学数学（高等数学）联系最密切的知识之一，与不等式、函数、方程、数列、定积分、三角、解析几何等知识有着密切的联系，所以倍受高考命题老师的青睐。另外，理科增加了“导数与定积分混合型”题，那么2012年高考备考应重视导数的复习，注重导数与不等式、三角、数列、函数方程等的结合。全国新课标卷近三年的考题：2009年9题考查对数型曲线的切线 ，22题考查三次函数的求导运算.2010年3题考查分式函数曲线的切线，20题主要考查函数、导数、不等式证明等知识.2011年21题考查曲线切线，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立求参数范围.一、选择题1. （2010全国新课标卷理3） 曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 （ ）来源:学.科（）.网A. B. C. D. 2. （2009全国新课标理科9）已知直线与曲线相切，则的值为（ ）来源: A. 1 B. 2 C. D. 3. 函数的单调增区间是（ ）来源: A B C D 4. 函数在定义域内可导，若，且，若，则的大小关系是（ ）来源:A B C D5.设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则 （ ）Aa3 Ba Da0，0,00及a0，ln0，01，a3.故答案选B.6. 【答案】C . 【命题意图】本小题考查构造新函数，考查用导数研究函数的单调性，由单调性比较大小，考查分析问题、解决问题的能力.【解析】构造函数，则=，由，所以，所以函数在上单调增，又a为正实数，所以，即，故答案选C.7. 【答案】C .【命题意图】本小题考查导数的运算，用导数求切线，与函数的奇偶性结合考查基本运算能力.【解析】由为奇函数，则，所以，检验当时，为奇函数，故符合题意，设切点横坐标为，则解得（舍），所以，故答案选C.8. 【答案】D.【命题意图】本小题考查用导数求切线，导数与解析几何、和数列综合考查对基本概念的理解，对基本方法的灵活运用.【解析】f (x)2ax，f(x)在点A处的切线斜率为f (1)2a，由条件知2a8，a4，f(x)4x21，数列的前n项和Sn，S2012.故答案选D9. 【答案】A.【命题意图】本小题考查三角函数的求导数运算，结合三角函数，综合考查图形识别能力，考查由图像求解析式，考查分析问题、解决问题的能力.【解析】f (x)Acos(x)，由f (x)的图象知，A2，设周期为T，则2，T4，A4，f (x)的图象过点，2cos0，k，kZ，即k，kZ，0，.故选A.10. 【答案】B .【命题意图】本小题考查导数的求解运算，结合基本不等式考查综合应用和运算能力.【解析】由，所以，又图像与轴恰有一个交点，所以判别式，得，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案选B.二、填空题11. 【答案】.【命题意图】本小题考查由导数求三角函数的单调区间，考查导数与三角函数的综合应用.【解析】由，令，因为，所以，从而，故函数的单调递增区间是.12. 【答案】【命题意图】本小题考查导数的基本的运算，结合函数，定积分，方程综合考查分析问题、解决问题的能力.【解析】，所以，即，又，所以.13. 【答案】4 .【命题意图】本小题考查导数的求解，利用导数求函数的最大最小值，综合考查理解能力运算能力.【解析】先由，得，易知当时，当时，所以在上单调减，在上单调增，所以当时，取得最小值，所以也在处取得最小值，且，联立解得，所以，当时取得最大值4.14. 【答案】 .【命题意图】本小题考查用导数研究函数的单调性，已知函数的单调性，反过来求参数的取值范围，解题时注意函数的定义域问题，函数的单调区间应是函数定义域的子区间.【解析】由的定义域为，所以，得，又由，得，易知在单调减，在上单调增，再由在子区间内不是单调函数，所以，得，从而的取值范围为 .15. 【答案】 .【命题意图】本小题考查用导数求曲线的切线，与数列综合考查分析问题、解决问题的能力.【解析】yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)xn.f (2)n2n12n(n2)2n1，在点x2处的纵坐标为y2n， 切线方程为y2n(n2)2n1(x2)，令x0得，y(n1)2n，an(n1)2n，数列的前n项和为2n12，从而前2011项和是.三、解答题16. 【命题意图】本题考查函数的导数运算，考查不等式恒成立时，求参数的取值范围，考查由函数零点个数，反推参数的取值范围，考查数形结合、化归转化的思想方法.【解析】 ()要使得不等式能成立，只需，求导得：， 函数的定义域为，当时，函数在区间上是减函数； 当时，函数在区间(0，+)上是增函数，故实数的最小值为；()由得：，由题设可得：方程在区间上恰有两个相异实根。 设，则，列表如下：0减函数增函数，从而有， ，画出函数在区间上的草图（见右下），易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，只需：，即：. 17. 【命题意图】本小题考查用导数求曲线的切线，用导数求函数的单调区间，由单调性解决不等式恒成立时，求参数的取值范围.【解析】. （），解得.（）. 当时， 在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时， 故的单调递增区间是.当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.（）由已知，在上有.由已知，由（）可知， 当时，在上单调递增，故，所以，解得，故. 当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，所以，故也符合. 综上所述，. 18. 【命题意图】本小题考查查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.【解析】（I）由，设直线的斜率为，则.直线的方程为.令，得， ， .直线的方程为.令，得，一般地，直线的方程为，由于点在直线上，.数列是首项为，公差为的等差数列，.（II）解：，.（II）证明：因为. ，. 要证明，只要证明，即只要证明. 证法1：（数学归纳法）（i）当时，显然成立；（ii）假设时，成立，则当时，而.这说明，时，不等式也成立.由（i）（ii）知不等式对一切N都成立.证法2: ， 不等式对一切N都成立.证法3:令,则,当时, ,函数在上单调递增.当时, . N, 即.不等式对一切N都成立.19. 【命题意图】本小题考查用导数求函数的单调区间，不等式恒成立时，求参数的取值范围，构造函数再用单调性证明不等式，考查分类讨论、等价转化的思想方法.考查综合分析问题的能力.【解析】（I），当时，在上是增函数；当时，令得，若则，从而在区间上是增函数，若则