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专题讲座小学数学课堂教学中的预设与生成 张春莉 北京师范大学 刘劲苓 北京第二实验小学 “预设和生成”是伴随着新课程而出现的一个热门话题，是新课程倡导的一个重要理念。传统的课堂教学，常常只有预设而不见生成。教师过分拘泥于静态教案的预设而忽视动态学情的生成。课前细致的预设使本该动态生成的教学变成了机械执行教案的过程。殊不知预设是生成的基础和前提，生成是在预设基础上的实现和超越。 一、预设与生成的内涵和意义 1 什么是预设与生成 预设是指教师在备课或实施教学活动时，对教学过程的一种“引领”，通过创设有利于学生活动的问题情景，设想在课堂中会引起哪些因素变化，会生成哪些新的资源。 我理解的“预设”就是，作为教师我打算怎样来上这节课。预设指的是教师单方面的教学设想。它不仅包括对教材的解读、对教学目标的确定、教学结构的设计，还包括对课堂上可能产生的走向、学生原有知识结构、学生在交流中可能出现的偏差、课堂上可能产生的影响教学进度与目标达成的其他变数等因素的预先思考与相关的应变策略。 教师的预设并不是死板的，虽然是预先设定的，但也必须做好根据课堂的变化随时调整的准备。 例如：学生说 1 ，我老师怎样引导 ，学生说 2 ，我又该怎样引导 其实，这也是教师依据自己的教学经验，预测可能发生的情况。说白了，还是教师自己的教学设想。（有一定的道理，但是也有“半仙不准”情况） 生成是指在教师与学生、学生与学生合作、交流、碰撞的课堂中，现时生成的超过教师预设方案之外的新问题、新情况或新资源。 我的理解“生成”就是，在教师没有任何准备的前提下，源自于学生突如其来的新情况。 在教学中，这种现象时有发生。如果教师能在课堂上以学生有价值、有创见的问题与想法为契机，及时调整或改变预设好的教学环节，遵循学生的学习问题来开展教学，就会使得“预设”升华，课堂而因此精彩。 2 预设与生成的意义 数学课程标准（实验稿）明确指出：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础之上”。这就要求教师在研究教材、教法同时，加强对学生的研究，在关注内容组织与过程安排同时，关注学生的认知基础，关注学习能力、情感、态度和价值观的培养。由此可见，教学过程的预设是非常重要的，预设不充分，设想不周全，就很难激发学生参与数学活动的积极性和创造性，也就不可能生成更多的新资源。所以，教师要想达到预期的教学效果，必须进行充分的教学预设。 布卢姆曾经说过：“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围。”因为课堂上可能发生的情况，不是教师可以主观决定的，也不是都能预料到的，即使我们教师预设再充分，由于学生的不同，教学环境的变化以及其他因素的影响，也会出现意外的情况。另一方面，教学需要预设，但预设不是教学的全部，若预设“引领”的痕迹多了，随机生成的亮点就会少。 教学的生命力与真正价值在于预设下的生成教学。它不是忠实地传递和接受的过程，而更是课程创新与开发的过程，是师生交往、积极互动、共同发展的过程，是预设与生成的有机融合。 二、实现预设与生成的条件 1.精心预设的基本保障 （1）整体把握教材 这首先包括对所教内容与以前学习的内容和将要学习的内容的实质性联系，从而体会出其在整个单元、小学数学课程甚至是中小学数学课程中的地位和作用。同时，教师还需要能对教学内容所承载的教育价值进行分析，考虑内容背后蕴涵的“大”想法，以及对于人发展所具有的价值：所学知识和方法的应用价值，知识探索、形成或应用过程中的思维价值，学习过程中对于人的情感、态度、价值观形成的价值。只有这样，才能将知识组织成为有条理的思想，才能“保持思想的连续性”。 例如我们在准备六年级总复习课数之前，着重研究了小学阶段所有“数”的学习。又结合数学史了解了数的发展史。 有了对知识的整体把握，我们再来设计教学环节时，就有了多角度的预设。 （2）潜心研究学生 研究学生首先要对学生的心理特点、知识基础、思想状态、性格特征、思维方式、学习方法、学习态度等方面做到心中有数，其次要把学生置于教学的核心地位。教师应该以学生的心理发展为主线，以学生的眼界去设计教学思想，预测学生可能的思维活动并设计相应对策；要研究学生的需要，了解学生现有的水平和情感状态，准确把握学生的现有水平，根据学生的认知水平，确定教学目标。 “课前调研”就是了解学生的一个有效途径。 （3）反思以往设计 作为教师，和学生一样，随着年龄的增长，教艺也会不断的提高。结合自身的条件，创造性地实施教育教学。特别是要反思以往教学设计中的问题，深挖原因，不断超越，形成更加精彩的预设。 说到这，想起前一段我上过的一节课倒数。七年前我在北京市展示课上上过这节课，用对联导入，“客上天然居，居然天上客”引出“倒数”概念。然后让学生模仿举例，并找特点。 告诉学生 “乘积是 1 的两个数互为倒数”。至于为什么要学习倒数、为什么这样规定，学生并不理解。进而再讲找倒数的方法，整节课似乎各项目标落实的非常到位。这节课得到高度赞扬，实录还发表在权威杂志上。今年三月份，我又有机会展示这节课，这次我思考了这样几个问题： 1 为什么要创造“倒数”这一概念？仅仅是“分数除法运算”的需要吗？ 2 为什么不研究“和、差、商”？ 3 既然是运算需要，为什么不研究乘积是 1/2 、1/3 等的？ 4 能不能增加反比例图像？能增，怎样增？ 思考过后，我们又有了新的教学设计，学生真的是明白了倒数的价值，教学效果很好。 2.精彩生成的必要条件 1 ）开放的教学设计 生成是师生的“即席创造”，是“无法预约的美丽”，它犹如天马行空，不期而至。为此，预设要有弹性和开放性，给生成腾出时间和空间。在传统教学中，教师习惯于把课堂上的一切都算计在内，把“意外情况”、“节外生枝”都视为课堂异端而加以排除，生成自然也就无了立锥之地。教师要确立生成的意识，要深入思考课堂教学的大方向、大环节和关键性内容，把握课堂教学的整体思路和目标指向，为学生的自主活动提供必要的时间。 这样的例子有很多，尤其是在算法多样化的探索上。比如，一年级的“十几减 9”，教师不急于教学生方法，而是提供小棒、盒装小球等学具，让学生自行解决 12-9 。从而在孩子们的算法中提炼、总结并最终确认一、两种方法。有老师对实施这种教学的班做过后测，学生能从不同角度解决退位减法，而老师带着学习的班级，学生解决问题的方法相对单一。 2 ）宽松的学习氛围 宽松的学习氛围体现在民主、平等、合作、协商等方面，每位学生在课堂上都能作为平等的一员参与课堂教学。敢于有个性化理解、敢质疑，并自由表达自己的观点和见解。 心理学研究表明，人在轻松的时候，大脑皮层的神经单元才会形成兴奋中心，也只有在宽松的环境下，学生才能加快思维进程，才能激发课堂动态生成。 张老师刚才所说的我们都有同感。课堂上有宽松学习氛围的一种良好体现就是学生之间的互动，简称“生生互动”。以往的教学都是师生之间的互动，问答式的，老师是课堂的主体，学生配合老师进行教学。而在宽松的学习氛围中，学生之间也会产生思维的碰撞，也应该有交流的平台，老师是在聆听学生之间的交流后给予适时的指导，进一步引领学生解决问题。 3 ）精心的平日培养 学生的生成往往源于生活，教育源于生活，生活本身蕴涵着教育。 任何课上的精彩都离不开教师平日对学生的培养，只有点滴的累加，才有不断生成的可能。所以，平日培养是精彩生成的必要条件。 三、实践预设与生成的策略 1.精心预设的实践策略 1 ）灵活使用教材 找规律（刘劲苓），依据学生情况，有效进行整合。 2 ）分层制定目标 学生的差异和教学的开放使预设呈现出多变性和复杂性。 一年级学生对乘法的认识是有不同层次的，有的接触过，甚至会计算；有的乘法口诀都背得非常熟练了；但也有不知道乘法的。所以在设计乘法的初步认识一课时，教师依据学生情况，创设了“创造简洁符号”的环节，让“了解乘法的学生”教“不明白乘法”的学生，小孩教小孩效果很明显！ 3 ）搭建体验平台 北京第二实验小学的 刘洋 老师在教学师大版扇形统计图（五年级）时，设计了这样一个环节，“创设一种统计图，让人能一眼看出部分与整体的关系”，学生通过小组研究，创造了很多方法，有用纵坐标表示百分数的，有用长方形表示整体的，还有用线段表示的，等等。当然也有用圆形表示整体的。其实，这样的设计就是给学生搭建了体验的平台。也许我们将扇形统计图直接呈现给学生更快捷，但却失去了体验、感悟结论形成的过程，失去了进一步认识事物的机会。 4 ）设计多样练习 连加连减练习课（一年级）幻方的引用 5 ）注重课后延伸 和前面提到的“平日培养”是一致的。 找规律一课的课尾，引入斐波纳契序列 2.精彩生成的实践策略 随着学生生活经验的丰富和宽松、民主课堂氛围的创设，学生将会越来越多的生成有价值的问题和活动。作为教师，我们也越来越关注学生的生成。课堂上，我们可以想办法给“生成”创造条件，并运用策略将有利于实现教学目标的生成放大并转化成亮点。下面提供几种方法。 1 ）欲擒故纵法 学生的经验和能力存在一定的差别，对不同的问题的敏感程度也不一样。所以在课堂上，经常会有这样的现象，教师刚提出话题，就有学生生成一些简单但又急需解决的问题。面对这种情况，教师可以不直接把答案告诉大家，而是充当能力较弱的学生，把已生成的有意义的问题再次提出来，引起大家的注意，并让他们共同讨论，寻找答案。 北京第二实验小学 刘弋戈 老师在教学众数（五年级）时，创设了这样一个情境：（幻灯片出示题目） 师：学校体育节要选十位女生做花束队成员，由于时间紧，量体裁衣来不及了，你觉得用谁的身高做衣服比较合适？说说理由。 生 1 ：我觉得应该先求一下平均身高。 生 2 ：我觉得先找一下中位数，中位数是 1.43 ，用这个数做衣服比较合适。 生 3 ：那 1.53 的同学穿着就太小了！ 师 ：你的意见呢？ 生 3 ：我觉得选身高 1.52 米的同学去，因为这样身高的同学有八名，比较多。 生 4 ：这叫众数！ （多数学生茫然，教师含笑无语。） 生 5 ：可是它不是平均数也不是中位数呀？ 生 3 ：那它出现的次数最多呀，只有一个人穿着有点小，不过差不多，大多数人会满意的！ 生 6 ：对呀！谁说就非得选平均数和中位数啊？ 师：其实，真正选择的时候要考虑的因素很多，最好是量体裁衣。刚才你说这是什么数？（指生 4 ，生 4 ：众数） 师：为什么叫它众数？ 生 4 ：它出现的次数最多。 师：看来，有些时候，仅仅参考平均数和中位数还不能解决问题，还得引进新的参考数据众数（教师板书）。 其实，这位老师就是希望在学生的交流中引出众数，并体会众数产生的必要性。欲擒故纵！ 2 ）顺水推舟法 顾名思义，就是依据学生的想法，调整预设。在解决问题的同时，逐步将学生思维引导到教学主线上，更好的实现教学目标。 认识分数 老师请学生用自己喜欢的方法表示出 1/3 ，一名学生呈现的线段图如下： 其实，孩子的想法是正确的，但是由于第一次认识分数，绝大多数学生还没有明白这幅图的意思。怎么办？我们看看老师的处理。 师：这样表示 1/3 对吗？ 多数学生：不对！ 师：错在哪？ 生 1 ：把线段平均分成 6 份，有 2 份，应该是 2/6 。 （多数学生点头，同时一名学生犹犹豫豫的举手） 生 2 ：我觉得好像也对，要是这样看就是三分之一了。 （学生走到前面指线段图，他把两份看成一份） 师顺势：对呀！要是把两份看成一份，不就是把线段平均分成了三份吗？那这两份看成一份不就是三分之一吗？ （多数学生开始认同） 生 1 ：那到底是三分之一还是六分之二呀？ 生 2 ：我觉得都对。 师：是这样。如果看成六份中的两份就用 2/3 来表示，如果看成三大份中的一大份，就用 1/3 来表示。都可以。 （学生认同） 3 ）问题放大法 当发现学生在教学过程中某个关键知识点不是很清楚、或者学生生成了更高一层次的知识点时，教师可以采用问题放大法。 一年级找规律 学生对于规律的认识还不是很清楚的时候，往往忽略急于判断，而“找规律至少看三组”又是本节课的重点，怎样突破？教师采用了问题放大法。 师：（出示一虎一羊）猜猜看，后面是什么？（指名回答） 师：你为什么猜是？ 师：在规律没有完全展示出来时，一切猜测皆有可能！（继续出示） 师：你猜想会是什么规律呢？（指名回答） 师：再给你提供一个条件，（继续出示）又会是什么？与你的猜想一样吗？ （学生摇头） 师：不一样要及时调整！还有人猜别的答案吗？是什么在重复出现？（学生回答） 师小结：我们在观察的时候，不能只看一组就说规律，一定要多看几组，一般最少是三组，这样才能准确地说出规律。 4 ）将错就错法 当学生出现错误的时候，教师应该以敏锐的思维分析错误，快速判断错误的可利用价值， 在尊重学生的同时，巧妙的利用错误，智慧地将错误化为资源。因此 教师不仅要学会宽容学生，更应学会欣赏学生，挖掘和捕捉学生的智慧，向学生学习。 曾经上“倒数”一课，学生出现了“0.87 的倒数是 0.78 ”的错误，我作为教师及时抓住了课堂上出现的宝贵错误资源，将错就错，就“倒数”的本质进行了深入地研究，使学生真正理解为什么说“乘积是 1 的两个数互为倒数”是“倒数”的本质，而“分子、分母互相颠倒”是“倒数”的表面现象。 看来生成的错误，不仅为教师教学提供了宝贵的资源，而且为教师教学技能的提升创造了契机。错误，一朵美丽的花！ 5 ）延迟判断法 许多有价值的生成不一定都要当场应对，可以延迟判断。延迟判断不是回避，而是等时机成熟时，再加以利用。 鸡兔同笼问题 教师出示问题之后，就有学生急不可耐的说出了答案，教师询问计算方法时，发现多数学生是套用在奥校学习的公式得到的答案。于是教师就学生的这种意外生成，没有急于评价这种方法的优劣，而是机智的说：“方法很简洁！但是如果请你们用其他方法解决你们能行吗？我想出了五种方法，你们也试试看！” 学生的兴趣高涨，开始讨论，研究出了很多方法，其中就有列表法。教师在学生汇报完列表法后，问：你看出什么规律了吗？ 生：每调整一只鸡，腿数就增加两只。 教师继而引导学生观察表格，发现了腿数和只数的关系，并与开始的公式进行对比，学生恍然大悟：“原来公式就是这样总结出来的呀！这回我明白了！”在课后的采访中，学生还提到：“原来只是套公式做，不明白其中的道理，今天通过列表法终于明白了，看来列表法也不简单呀，很有价值！” 教师的延迟判断引发了学生的深层思考，也许真是应验了“懒妈妈养勤快孩子”的老话，延迟不是反应慢，而是给予学生更多的机会，细想这本身就是一种尊重！ 3.预设生成互动的策略 预设和生成是辩证的对立统一体，两者是相互依存的。课堂是动态的课堂，课堂教学中需要预设，预设应力行简约，要有较大的包容性和自由度，做到预设而不死板，要随时审时度势，预设根据课堂的变化而变化。一方面，决不能仅仅依靠预设，过分强调预设缺乏必要的开放和不断的生成，就会使课堂教学变得机械、沉闷和程式化，缺乏生机和活力，使师生生命力得不到充分发挥；另一方面，没有预设的生成是盲目的，如果没有高质量的预设，就不可能有美丽的生成；单纯依靠开放和生成，缺乏精心的准备和必要的预设，课堂教学则会变得无序、失控和自由化，缺乏目标和计划，使师生生命力得不到高效发挥。 同时，没有生成的预设又是低效的。如果不重视生成，那么预设必然僵化的，缺乏生命活力。生成应机智把握，即兴创造，让学生独特的感悟、体验与理解在课堂上绽放。把预设与生成有机的结合起来是一种教学艺术，前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙的在学生不知不觉中做出相应的变动。” 因此，预设与生成是精彩的课堂教学不可或缺的两个方面，预设精彩且能按期实施的课，算是成功的；预设精彩且能不断生成的课，才算是精彩的。教师应处理好预设与生成的关系，在精心预设的基础上，针对教学实际进行灵活调适，追求动态生长，从而让课堂在预设与生成的融合中精彩。 1 ）调整预设，灵活生成 调整包括：选择、整合、放弃 选择：课前的多维预设为教学活动的展开设计了多种“通道”，这为教学实施方案的动态生成提供了广阔的空间。但是在课堂上未必都能实现，要依据现场情况做合理选择。 整合：为了使教学尽可能完美，课前教师需要从多维度预设教学过程。例如：教学目标如何具体化？各维度和各层次目标如何随着教学进程逐一达成？教学内容如何呈现？教学流程如何设计？运用哪些方法等等。课前教师的思维主要表现在分析性。但是在实施教学过程中，教师应直面真实的教学，根据师生交往互动的具体进程来整合课前的各种预设。这时，教师的思维更多地表现为整合性。 放弃：教学设计是教师组织教学的主要依据，它为教学活动的有序展开提供了保障。但如果教师视教案为法，不敢越雷池半步，就有违“教学过程是师生交往、动态生成的过程”的教学理念，更难实现“以学生的发展为本”的课程目标。 课堂的不可测因素很多，预设在实施中常会遇到意外，或是预设超越学生认识能力，学生力不从心；或是预设未曾顾及学生认识特点，学生不感兴趣；或是预设滞后于学生实际水平，课堂教学缺乏张力。不管遇到上述的任何情况，都需对预设进行适时调整，以使预设贴近实际，贴近课堂，贴近学生。 2 ）捕捉点化，促进生成 要促成课堂教学资源的生成，教师须发挥“信息重组者”和“学习指导者”的作用，充当活动信息向教学资源转化的“催化剂”。课堂信息大多稍纵即逝，教师须眼观六路，耳听八方，精心选择，合理运用，以促进预设目标的达成，促进新目标的生成。 这就要求教师有极好的内功，极强的应变能力，也就是“课感好！” 教学过程是师生交往、互动的过程，学生不是配合教师上课的配角，而是具有主观能动性的人。课堂教学不应当是一个封闭系统，也不应拘泥于预先设定的固定不变的程式，要鼓励学生互动中的大胆超越和即兴创造。 大胆超越和即兴创造同样也适用于教师。 在课堂教学中，只要学生的学习积极性和主动性被充分调动起来，只要他们的思维处于积极的紧张的运转状态，他们的智能火花就会时时迸发，教师的责任就在于对此要及时发现，着意运用，以寻求意外的教学成果。 3 ）质疑问难，激发生成 质疑问难，是了解学情、发现学生落差的有效手段，是激疑引思、实施教学调控的重要前提。在教学中，对学生质疑的众多信息可整体把握，细心梳理，选择与教学目标紧密相关的问题，着意引发，这对强化预设，促进生成很有必要。 案例：百分数的认识的导入。 总之, 教师多一份精心的预设，课堂就会多一份动态生成，学生就会多一份发展；通过“预设”促进“生成”，通过“生成”完成“预设”目标。在“预设”中体现教师的匠心，在“生成”中展现师生智慧互动的火花，追求课堂教学的动态生成，这样的教学才是一门名副其实的艺术，这样的课堂才能出现不曾预料的精彩。 也正因如此，作为教师才能在平日工作中体会“职业价值与生命价值的完美统一”！ 专题讲座小学数与形结合及符号化思想的教学策略 范存丽 北京教育科学研究院基础教育教学研究中心孙佳威 北京市朝阳区教育研究中心 课堂教学的改革要求教师要以新的视角去审视“数学”的现实内涵，这就要求我们不断地追问自己：数学到底是怎么来的？什么是我们留给学生最宝贵的数学财富？毫无疑问，这就要求我们应该把握住数学最核心的东西：数学思想。 日本数学家和教育家米山国藏说过这样一段话：学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一、两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活和工作中发挥着作用。 法国大数学家笛卡尔对此也有过一段非常精辟的论述：没有正确的思想方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目探索。 大师们的话无不在告诉我们：数学思想是学生数学学习活动的灵魂之所在，它是今后生活、工作的方向标。 她可以帮助学生将散乱的珍珠变成美丽的项链。 她可以使学生真知灼见，幼竹拔节。 她可以让学生拥有一颗数学的大脑，学会数学地思考，学会理性、审慎地看待生活中的问题、理解世界。 在小学数学知识中，蕴涵的很多的数学思想，最基本的数学思想有：数与形结合、函数、符号化、方程、分类、转化等。 因此，教师在课堂教学中应注重数学思想的渗透，不仅传递给学生丰厚的数学知识，纯熟的技能，更应有思考方法的领悟、思想精神的启迪，更应该留给学生多元而立体的影响，这就是数学的精髓数学思想，课堂的本质。 下面重点介绍符号化和数与形结合思想的策略。 一、小学数学中渗透符号化思想的教学策略 关于符号：在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。符号的使用，极大地简化和加速了思维的进程。 符号记号 数学符号是文字化的图形 几何图形是图像化的数字 （一）小学数学中的符号化思想 问题1 ：什么是符号化思想？ 符号化思想主要表现在以下两方面： 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。 符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。 课程标准指出：发展学生的符号感，并指出符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律；理解符号所表示的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决有符号表示的问题。在小学阶段，主要表现在前半部分。 问题2 ：符号化思想的重要作用是什么？ 符号的重要性符号无处不在，且便于交流。 数学发展到今天, 已成为一个符号化的世界。英国著名数学家罗素说过:“什么是数学 ? 数学就是符号加逻辑。”这充分表明了数学与符号的关系。同时符号也为世界交流提供了便利，如，面对一个普通的数学公式: C=2r , 任何具有小学文化程度的人 , 无论他来自地球的哪一方都知道它表示的意思。 符号的重要性符号简明，且易于推理。 符号化思想对数学的发展起着重要的推动作用。系统地运用符号，可以简明地表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。比如，在九章算术里，古代数学家对数学题是一题一题地处理，思维停留在算术水平上。符号化思想形成后，算术思维上升为代数思维，就可以将很多问题转化为方程的研究，按照未知量的个数或次数的不同进行分类处理。又如，对于简单的代数式“（ 10 x ）2 100 20x x2 ”，若用古代文字表达则叙述得冗长繁杂。简洁、准确的符号化思想避免了日常语言的含糊性与歧义性，使数学思维能清晰、准确地进行。 正像前面所说，数学发展到今天，已成为一个符号化的世界，符号就是数学存在的具体化身。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”不难看出数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。 问题3 ：小学数学教材中符号化思想体现在哪些方面？ 现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透，这种思想的渗透是根据不同教学阶段的具体情况进行的。主要从以下几个方面作了有计划、有步骤的安排。 1. 引入了一些数学符号 小学数学教学中大致出现的如下几类符号： （ 1 ）个体符号 如数字：1 、 2 、 3 、 4 , 0 ； 字母：a 、 b 、 c ， 已知量：a 、 b 、 c ， 常量： 变量：x 习惯表示：梯形的上底 a 、下底 b 、高 h （ 2 ）表示一类数的符号 表示小数、分数、负数、百分数 （“ . ”、“”、“”、“” ） （ 3 ）数的运算符号： , , , ( / 、 ) （ 4 ）关系符号 : =, , , , 等。 （ 5 ）结合符号（体现运算等级） ( ) 、 、 （ 6 ）表示角度的计量单位和等符号。 这些符号的引入是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、符合一定的逻辑、有步骤的引入的。 例如，初入学儿童在学习 15 的认识时, 教材并没有直接呈现 1 到 5 这些数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们，而是通过实物、画片，在具体情境中数“出 1 ”头象，“2”头犀牛, “3”只长颈鹿，“4”朵云，然后呈现数, 这样能使学生把物和数字符号对应起来，让学生充分认识到数学符号所表示的意义，为学生以后的数学学习奠定了基础。这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。 2. 用符号代表数 引进用字母表示数，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。用符号表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。在数学语言中，像数字以及表示数字的字母，表示点的字母，运算符号，关系符号等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。 从第二学段学生开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数， 是实现认识上的一个飞跃。 用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，而用字母表示，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。比如，四年级下册第三部分运算定律与简便运算，教材的第 28 页陈述加法交换律时，除运用日常语言外, 还用了数学符号语言，即字母等式“a+b=b+a ”。在陈述加法结合律时也用了字母表达式“(a+b) + c= a +( b + c ) ”，另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。显然，它比用具体的数表示更加概括、明确，比用日常语言表示更加简明、易记。 乘法分配律亦如此，(a+b)c = ac+bc ，这里的 a 、b 、c 不仅可以表示 1 、2 、3 ，也可以表示 4 、5 、6 、7 又如长方形的面积计算公式 s=ab ，平行四边形的面积公式 s = ah 。通过以上各阶段的逐步过渡, 学生将逐步领会用字母表示数的优越性, 符号化思想也逐渐地初步形成。 3. 用符号代表图形 如，在三年级 ( 上 ) 数学广角中安排比赛场次的问题, 学生既可以按照书上的方法把 4 个国家的旗子画出来，也可以用简单的符号代替各个国家，示意性的安排比赛场次 . 4. 变元 变元（代数） 在早期的主要特征是以文字为主的演算，到了 16 、17 世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。 小学数学教科书在不同阶段, 对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透 , 以便让学生逐步了解变元思想。 如，在不等式中用或 ( ) 代表变元符号 x ，让学生填数。虽然这样的题目只要求学生在“空格” 中填一个数，但若将或（ ）换成 x ，则上述题目就是一元一次方程，这即是变元思想。可以说变元思想是列方程解应用题的基础。学生一旦理解掌握了变元思想，那么对以后学习列方程解应用题将有很大的帮助。 5. 用符号列方程，解决问题（以符号来表示未知数，以顺应的思路解决问题，符号的作用是使思考问题更简单）。 用方程来解应用题，解法本身蕴含着符号化思想，它主要体现在如下几个方面: （ 1 ）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算； （ 2 ）代数翻译，把题中的自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。 （ 3 ）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则运算，进而达到求解的目的。 例如，解上面的应用题“每分钟浪费多少水 ?”解决这道题时，首先就应该进行代数假设，用字母 x 代替每分钟浪费多少水，这就是用字母代替未知数，与已知数平等的参与运算；其次，是进行代数翻译，把题中的自然语言表达的已知条件，译成用符号化语言表述的方程 30X=1800；最后，把字母看成已知数进行四则运算，达到求解的目的。整个分析，解题过程, 都涉及到了用字母代表数 , 变元思想等等 , 可以说是符号化思想在数学中的集中体现 , 对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。新课标下的小学数学教材 , 把应用题的学习放在第三学段 , 一方面考虑到小学生的年龄思维特点, 另一方面也根据符号化思想在数学教材中的渗透, 把符号化思想提升到了一个新的高度。 综观小学数学教材, 在符号化思想的渗透上, 从最初的数学符号的引入, 接着渗透了变元思想, 然后到用字母符号代表数, 最后过渡到列方程解应用题, 有步骤, 有层次的把符号化思想从朦胧状态转化到与小学数学的完美融合, 可以说新教材设计的思路相当清晰, 编制的也相当的完美。 二、小学数学中渗透数与形结合思想的教学策略 （一）小学数学教学中的数与形结合思想 问题 1 ：什么是数与形结合思想？ 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，这就是数与形结合思想。 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休 ”。 美国数学家斯蒂恩也曾说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法” 要看到图形，借助数看图形！ 要看到数，借助图形看数！ 把数学画出来！ 把事物量出来！ 由此可见，数与形结合思想在数学学习过程中的作用： 促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展 沟通了数学知识之间的联系, 从复杂的数量关系中凸显最本质的特征 它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 问题 2 ：小学数学教材中数与形结合思想体现在哪些方面？ 对于数与形结合思想，小学阶段主要是引导学生利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。主要在以下几个方面有所体现。 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）； （ 2 ）计算中的形 运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算（摆小棒、画图形等）。 （ 3 ）解决问题中的形 画线段图表示数量关系。 解决问题的直观策略 （ 3 ）统计中的图形 条形统计图直观地反映出数量的多少，折线统计图形象地表示数量发展的趋势，扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。 （ 4 ）函数的多重表示及坐标系 在小学数学教材中对于坐标系的认识是分阶段分步骤进行的：由确定位置开始把学生的视角由一维引领到二维，为后边的认识坐标系，感受正、反比例的特性奠定基础。 结语：对于我们的课堂不是没有思想的火花，而是缺少错落有致的思想之花；对于我们的课堂不是没有思想的枝叶，而是缺少绚丽多枝的思想之树。引领学生生发一种对数学思想的钟爱、对思维的渴望和对完善自我的追求，这才是我们追求思想引领课堂的价值所在。让我们一起追寻数学思想引领下的数学课堂，追求一种数学教育理想至真、至善、至纯的数学新境界，让思想的灵魂永驻我们的课堂。 专题讲座小学函数思想和模型思想的教学策略孙家芳朝阳区教育研究中心曹艳北京教育学院朝阳分院 中科院院士、数学家张景中在一文中指出:“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴涵着一些深刻的数学思想。最重要的，首推函数思想。不用给小学生讲函数概念，但教师要有函数思想，在教学中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生的素质就有好处。”一、小学数学中渗透函数思想的教学策略关于函数思想：在小学阶段虽然没有出现“函数”这一概念，但整个小学阶段的数学学习中无不渗透着函数的思想，可以这样说，凡是有“变化”的地方都蕴涵着函数思想。问题1：什么是函数？初中:在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，都有唯一的一个y值与之对应，我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。高中:A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作:y=f(x),xA。现代数学:两个集合A,B,F是一个从A到B的二元关系，如果对于A中的每一个元素x，都有唯一的Y满足属于F，就称F为从A到B的函数，也称映射。问题2：什么是函数思想？函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说，函数思想体现于:认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想；于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的；根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。于“变化”中把握“规律”，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程，不变的是规律(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。问题3：函数思想在小学数学教学中的渗透函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条基本原则:（1）创设“变化”的过程，才能感受到函数思想。（2）激发学生“探究”的本性，于“变”中把握“不变”，满足人的好奇本性。1探索规律对“模式”的初步认识标准把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要内容，“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”的思想，发现规律就是发现一个“模式”。(1)对数或者图形排列规律的探索探索图形排列中的规律一年级下册：你发现了什么？如果按照这样的规律继续下去，后面一个应该是什么？摆一摆、涂一涂、接着摆等问题。重点突出刻画的是相同的规律，而这个一般化的过程就是对函数的一个最基本的性质周期的渗透。探索数列中的规律也多出现在第一学段的各册教材中。一年级下册：百数表中的规律，在“百数表”中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外，还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律，甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律中蕴含着多种变化的模式。（2）对运算规律的探索如：数的组成：学生把8个物体分成两部分，把其中一部分中一个一个向另一部分“转移”，得出把8分成两部分可以有四种不同分法的结论的同时，还会发现“随着一部分多1个，另一部分必然少1个”的规律。对于“乘法中的运算规律”的探索：乘法口诀的学习是“一串一串”的，使得在学生编口诀、背口诀的过程中就发现了：“一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化”的规律。乘法口诀表中，更是集中体现了这个规律。六年级下册正反比例意义的学习是对变化“模式”的一次集中探索，这一内容的学习中，以表格的形式呈现了多种不同的变化规律。2基本数量关系、图形位置与变换对“关系”的体验函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”。（1）体验“一对一”“多对一”“一一对应”在小学数学教材中是贯穿始终的。数数：名数与常数建立“一一对应”在认数110时，呈现将物体的个数与点子图进行一一对应的图像，在具体实物与抽象的数之间建立起桥梁的作用。比大小：同样多的部分“一一对应”；在教学比大小时又都呈现将两部分物体分别排列起来，一一相对，渗透一一对应的思想乘法口诀：一个因数不变时，积与另一个因数“一一对应”找规律填数:数列中的每一个数与它的项数“一一对应”折线统计图：一组数据与统计图中的一个点“一一对应”通过折线统计图渗透函数思想。如：学生学习了折线统计图，他们就可以从下图中得到丰富的信息：一天中，骆驼的体温最高是多少？最低是多少？一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？第二天8时的体温与以前一天骆驼的体温有什么关系？从图像中可以自然的向学生渗透变化的量等函数思想。教师进而还可出示骆驼随外界温度体温发生变化的折线统计图，引导学生对比分析两幅图的相同点、不同点，及其成因。讨论温度变化的周期。任何一个有序数对与坐标系上的点“一一对应”等等。将对应关系以图解的形式渗透，各册教材中均有类似如下的练习，使学生直观的体验到“像”与“原像”之间的“一一对应”。“多对一”的这种“关系”在小学不是很常见，但是学生也有一些体验。学习“四舍五入”，3.5至4.5(不含4.5)之间的无穷多个数四舍五入保留整数后都对应的是“4”“找次品问题”，次品数在10至27个时，均需要称量3次这些内容丰富了学生对于两个集合“关系”的认识。(2)体验“两个或多个确定一个”“一个确定一个”在小学，学生接触更多的是“两个确定或多个确定一个”，即二元函数和多元函数。一、二年级，学生认识的加、减、乘、除四种运算就是算式左端的两个数与右端的一个数之间的“关系”。比如加法：这是一道看似普通的填空题，这里虽然尚未揭示“函数”概念，可当我们意识到题中对于另一个加数所取的每一个值，都将有唯一的值与之对应，即当一个加数不变时，和是另一个加数的函数时，它就可以作为函数思想的渗透点。周长、面积、体积公式：C=d(圆的周长=圆周率直径)，C是d的函数。S=vt(路程=速度时间)，当速度v固定时，S是t的函数。S=(三角形面积=底高2)，当a固定时，S是h的函数。圆面积公式S=r2，这些公式不仅有一次函数还有二次函数。其它一些三量关系：速度、时间、路程；单价、数量、总价等。这些给了学生很多对多元函数自变量与因变量之间“关系”的感受。需要注意的是，当已知两个量单纯地计算出另一个量是多少时，这仅仅是计算问题，在此解决过程中并没有蕴涵函数的思想，因为没有变化过程，这只是一个简单的算术问题。例如:“体积的问题”源于教材中的一个练习，一块长30cm、宽25cm的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长是5cm的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮，它的容积是多少?”这个问题就只是一道简单的计算题，当然问题解决过程中也发展了学生的空间观念。但是如果将原题中的规定“切掉边长是5cm的正方形”改为猜想并验证“切掉边长是多少厘米的正方形时，铁盒的容积最大”问题就由静止变得动态起来。借助这样运动、变化的过程，对学生进行函数思想的初步渗透。小学教材中以各种素材、各种形式提供给学生大量关于集合之间“关系”直观经验，对“关系”的体验使学生对变量之间的相依关系有了初步的认识，而这种变量间的相依关系恰恰就是函数概念的本质。3.字母表示数、表格、图像等对多种数学语言的感受和初步使用由于函数反映的是变量之间的关系，所以必须借助数字以外的符号来表示。常用的有：语言描述、表格、图像和解析式四种方法。（1）感受和使用字母语言一般的函数解析式都是借助字母来表达的。引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程，需要经历大量的活动，积累丰富的经验。教学加法和乘法运算定律时，出现用字母表示各种运算定律，使学生初步感受字母可以表示一般意义上的数。（2）感受和使用表格语言表格的方法在小学数学教材中的地位是十分突出的。首先，表格作为学生发现规律的重要工具出现在运算规律探索、公式的推导、图形的变化规律的探索等内容中。如五年级长方体体积公式的推导，教材中就是通过用体积单位拼摆长方体后填表格，进而归纳出长方体体积的计算公式的。其次，表格是学生表达数量之间关系的一个重要工具。如，“找次品”问题中，所测物品个数与称量次数之间的关系借助语言和表达式对小学生来说都有一定的困难，借助表格来表达最恰当不过的了。(3)感受和使用图像语言图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图像表示以其直观性有着其它表示方式所不能替代的作用，它是“看见”相应的关系和变化情况的途径之一。学生最初看到的函数图像是四年级学习的折线统计图，统计图使变量变化的过程变得直观形象，学生感受到不用“算”通过“看”便可以比较出不同变化幅度的大小；六年级成正比例的两个量的图像绘制，使学生初步感受到成正比例的两个量的变化是“连续”(当然这还不是真正的连续)的，任意两点之间还有无穷多个点对应的两个数值也是两个变量可以取到的值。小学数学中的函数图像与真正的函数图像有一些差别的，如只有第一象限的图像，横轴与纵轴单位长度的不统一，但这些并不影响学生借助图像“看见”变量间的关系，了解不同的变化情况。总之，小学数学教材中渗透函数的本质变化与对应、不同类型函数、函数的不同表示法的教学内容处处都有，这些内容的学习可以极大的丰富学生对函数概念的早期经历，丰富了学生对变量及变量之间关系的直观体验，对学生的后续学习有着重要的意义。问题4：为学生提供更多运用函数思想解决问题的机会函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。例如，心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。例如，股市行情图也是反映了一种函数关系。函数思想的获得，一方面是教师在课中有意的渗透，但更多的是靠学生在学习过程中不断反思、领悟。只有这样，才能对函数思想有所认识，对数学的理解一定会由量的联系发展到质的飞跃。总之，函数思想是留给学生探索更高一级数学奥秘的窗口，是使学生视野开阔、思想活跃，获得进一步学