高中数学第二章2.5.1平面几何中的向量方法课后集训.docx

2.5.1 平面几何中的向量方法课后集训基础达标1.在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是（ ）A. B.（+）(+)C.（-）(-)=0 D.=解析：A正确；B、C正确，因为菱形两对角线互相垂直；D不正确，因为、夹角与、夹角互补.答案：D2.已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则ABC是（ ）A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形解析：=（1，1），=（-3，3）.=0，ABAC.ABC为直角三角形.答案：C3.在四边形ABCD中，若=，且|=|+1，=0，则四边形ABCD是（ ）A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形解析：由=得四边形为平行四边形，又因为=0，所以ABBC，且|,所以选A.答案：A4.已知ABCD的顶点B（1，1），C（4，2），D（5，4）,则顶点A的坐标为（ ）A.（2，3） B.（3，3） C.（3，4） D.（1，3）解析：设A（x,y）,则=,即（1-x,1-y）=(-1,-2),答案：A5.在ABC中，若（+）（-）=0，则ABC为（ ）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定解析：由条件得（+）=0，由平行四边形法则，取AB中点D，则+=2，,ABC为等腰三角形.答案：C6.如右图，在ABC中，若|=4，|=5.|=,则A=_.解析：=-,即|2=|2-2|cosA+|2.cosA=.A=60.答案：60综合运用7.在矩形ABCD中，=，=，设=（a,0）,=(0,b),当时，求得的值为（ ）A. B. C.2 D.3解析：由条件可得=+=+=+=（）,=-=-=（，-b）.,=0,=.答案：A8.O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足（-）（-）=0，则点P一定在过ABC的_的直线上（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析：由条件，P在CB的高线上，故选D.答案：D9.(2005湖南文，9)P是ABC所在平面上一点，若=，则P是ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析：由=得（-）=0，即=0，P在CA的高线上，同理可得P也在AB的高线上，故P为ABC的垂心.答案：D拓展探究10.已知ABC的面积为14 cm2,D、F分别为边AB、BC上的点，且ADDB=BEEC=21，求APC的面积.思路分析：考查灵活利用平面向量基本定理和向量共线的等价条件.可用基本定理和共线条件求出点P的位置后用比例关系计算面积，也可用坐标工具来进行上述运算.解析：如右图，设=a，=b为一组基底，则=a+b，=a+b.点A、P、E和D、P、C分别共线，存在和，使=a+b，=a+b.又=+=(+)a+b,解得于是，PAB的面积=14=8（cm2）,PBC的面积=14（1-）=2（cm2）.故APC的面积=14-8-2=4（cm2）.备选习题11.设I是ABC的内心，当AB=AC=5，且BC=6时，=+，则=_, =_.解析：如右图所示，设AI交BC于D点.AB=AC，ABC为等腰三角形，D为BC的中点，ADBC,以BC为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，4），B（-3，0），C（3，0），设I（0，y）则=（3，4），BI=（3，y），=（3，0），由ABI=IBD得.代入坐标解得y=,=(0,-).由条件(0,)=(-3,-4)+(6,0),=,=.答案： 12.证明正方形的对角线互相垂直平分.证明：如右图，设一组基底=a，=b，则=a+b.=a-b,=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0，,即BDAC.设AC与BD交于O点，与共线，=（a+b）,又与共线，=（a-b）,在BOC中=+.=b+a-b=a+(1-)b由得：解得=.AC与BD互相平分.综上，正方形的对角线垂直且互相平分.13.利用平面向量证明：顺次连结菱形四边中点的四边形是矩形.证明：如右图，设E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则=+=（+）=，= +=（+）=.=,EFHG,故有EFGH.=+=（+）=（-），=（+）（-）=（|2-|2）=0，.由知，EFGH是矩形.14.经过OAB重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q两点，若=m，=n，求证：=3.证明：如右图所示，点G是OAB的重心，=(+)=-=(+)-m=(-m)+,由于P、G、Q三点共线，则存在实数,使=（-m）+又=-=n-m即n-m=（-m）+=（-m）+，消去，得15.已知ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在边BC上，且BFFC=21，AF与EC相交于点P.求四边形APCD的面积.解：建如右图坐标系,则有A（0,0）,B