高中数学第一章1.4.2正弦函数余弦函数的性质第1课时导学案.docx

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期函数1了解周期函数的定义，知道周期函数的周期和最小正周期的含义2知道正弦函数和余弦函数都是周期函数3会求函数yAsin(x)与yAcos(x)的周期1周期函数(1)定义：一般地，对于函数yf(x)，如果存在一个_常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)_，那么函数yf(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的_(2)规定：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个_的正数，就称它为最小正周期在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的_若函数yf(x)是周期函数，T是一个周期，则有：定义域中含有无限个实数；对定义域内任意x，均有f(xkT)f(x)，其中kZ；f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一次【做一做1】 函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)，则f(22)_.2两种特殊的周期函数(1)正弦函数ysin x是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是_(2)余弦函数ycos x是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是_(3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的函数yAsin(x)b，yAcos(x)b(0)的周期T.【做一做2】 函数ysin x，ycos x的周期分别是T1，T2，则tan_.答案：1(1)非零f(x)周期(2)最小最小正周期【做一做1】 f(22)f(1210)f(12)f(102)f(2).2(1)2(2)2【做一做2】 1T1T22，则tantantan1.对周期函数的概念的理解剖析：可以从以下几点来理解周期函数：(1)周期函数定义中的“f(xT)f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(xT)f(x)不能说T是yf(x)的周期例如：sinsin，但是sinsin，这就是说，对定义域内的每一个值x，sinsin x不恒成立，因此不是ysin x的周期(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)C(C为常数)，xR，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(xT)C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期(3)“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次题型一 证明周期函数【例1】 已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x2)f(x2)，求证：函数yf(x)是周期函数分析：只需找到一个非零实数T，满足f(xT)f(x)即可反思：通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题，即只需找到一个非零实数T，对定义域内任意x总有f(xT)f(x)成立题型二 求三角函数的周期【例2】 求下列函数的周期：(1)f(x)sin(xR)；(2)y|sin x|(xR)分析：解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期反思：求三角函数的周期，通常有三种方法(1)定义法根据函数周期的定义求函数的周期如本例(1)(2)公式法一般地，对于yAsin(x)或yAcos(x)(其中A，是常数且A0，0)形式的函数，其周期为T，则T.本例(1)可用公式求解如下：T8.(3)图象法，即大致画出函数的图象观察如本例(2)其中公式法是最常用而且简单的方法题型三 函数的周期的应用【例3】 设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1,0)时，f(x)2x1，求f的值分析：可利用fff求解反思：(1)解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质 题型四 易错辨析易错点不清楚f(xT)表达的意义【例4】 利用定义求f(x)sin的最小正周期错解：f(x2)sinsinsinf(x)，T2是f(x)的最小正周期错因分析：错解中求的不是最小正周期对于yAsin(x)(A0，0)，其周期为.答案：【例1】 证明：令x2t，则xt2，于是由f(x2)f(x2)，得f(t)f(t2)2f(t4)f(t)f(t4)f(x4)f(x)函数yf(x)是周期函数，4是一个周期【例2】 解：(1)f(x)sin，f(x8)sin sinsinf(x)f(x)sin的周期为8.(2)函数y|sin x|的图象如图所示由图象知T.【例3】 解：f(x)是以1为一个周期的函数，ff，从而ff.又当x(1,0)时，f(x)2x1，ff210.【例4】 正解：令z2x，xR，zR.又ysin z的周期是2，z222(x)，f(x)sin sinsinf(x)T.1函数y|cos x|的最小正周期是()A. B. C D22函数y的最小正周期为()A. B. C2 D53若函数f(x)sin x(0)的周期为，则_.4已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)1，则f(5)_.5已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)1，求证：f(x)是周期函数答案：1C2.