利用导数探究函数的图象及其应用.doc

利用导数探究函数的图象及其应用 侯传岳【摘要】本文阐述了利用导数探究的图象，证明了图象是一条双曲线，并举例说明该函数的一些应用，在解题中起到化繁为简的作用。【关键词】导数 函数 图象 应用【正文】是教材中不经常见到的一类函数，在其自然定义域内求该函数的值域及最值是非常方便的，但求它在指定的区间内的函数的值域及最值却会时常陷入困境。如果能明确该函数的图象和性质，就能为解决相关问题带来方便。本文利用导数的知识探究该函数的图象，明确图象的本质，并利用该函数的图象和性质解决相关问题。一、 利用导数的知识探究函数的图象可以看出，是奇函数，图象关于原点对称，其定义域为，不妨先考察函数在的图象。当时，；当时，预见在第一象限内图象介于之间。当时，的导数，故在是减函数，当时， 故在上是增函数；当时， 的二阶导数0，函数图象向上凹，且，即，此时根据上述分析，函数的图象如上图所示。 二、 应用极坐标证明是一条双曲线以原点为极点，以，建立极坐标系。对于函数的图象，我们可以把极轴旋转到直线的夹角平分线的位置，对于函数的图象的极坐标方程，由旋转公式得方程：化简得，于是有方程，所以的图象是双曲线，它的渐近线是。以下证明直线是函数图象的渐近线：设是函数图象上的任一点，因为函数是奇函数，所以不妨设0，点到直线的距离为。当逐渐增大时，逐渐减小，无限增大时，接近于零，这就是说，函数的图象在第一象限内无限接近于直线，故直线是函数图象的渐近线。三、的应用涉及函数的应用的试题主要有解不等式，函数观点下方程的解的讨论、函数在区间上的最值及与此相关的不等式问题。首先应用最为广泛的应属该函数的单调性，它协调应用和积不等式求该类函数的最值“失灵”时具有独特的功能。例1 试求：在上的值域。解：由已知得令其分母为，它在上是减函数，且 在上是减函数，而则，因此，则，则，综合得：。其次，诸多函数应用题建模后常转化为研究的性质。例2 （97年高考试题）甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c（千米/小时），已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为b, 固定部分为a元。1 把全程运输成本y（元）表示为v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域。2 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：1 2 高考平分标准无疑过于繁杂，画出的图象，足以说明结果，如图（2）所示，当时，即时，y最小，当时，则当时y最小。第三，在理解该函数图象、性质的基础上，应创造函数概念的有利条件，让函数性质得到充分运用，如处理表面看来与函数无关的某些问题时，有意识地让学生用函数观点，从函数角度去审题和思考，力使学生掌握函数的思想和方法，培养灵活运用知识解决问题的能力。例3 设a、b为正数，求证：的充要条件是：对任意，有。 这是一道保加利亚国家竞赛题，原文证明较繁年，若引导学生进行转化，用函数取最值来处理，其简洁明了的求证过程，将极大的强化学生运用函数的自觉性。 证明：令，则对任意