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第五讲 风险规避平新乔微观经济学十八讲答案EatingNoodles第五讲 风险规避、风险投资和跨期决策1 一个农民认为在下一个播种的季节里，雨水不正常的可能性是一半对一半他的预期效用函数的形式为 预期效用这里，与分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入谷物小麦28000元10000元谷子19000元15000元1.1 假定农民一定要在两种如下表所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？解：种小麦和谷子的期望效用分别记为和，有，同理可得；有，因此他会选择种谷子1.2 假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释你的结论解：农民这样播种的效用记为，有；因为，因此他会选择这样做1.3 怎样组合小麦和谷子才可以给这个农民带来最大的效用？解：最大化问题是，其中是小麦在组合中所占的比例解得即，使小麦占，谷子占的组合能给他带来最大效用1.4 如果对于只种小麦的农民，有一种要花费4000元的保险，在种植季节多雨的情况下会赔付8000元，那么这种有关小麦种植的保险会如何改变农民的种植情况？解：考虑选择只种小麦并投保的农民的效用， 在1.3中，最佳比例的效用值约为9.7494，小于因此，这个保险会使农民都种小麦2 证明：如果一个人拥有初始财产，他面临一场赌博，赌博的奖金或罚金都为赌博的赢输概率都为0.5（公平赌博）若这个人是风险厌恶型的，则他便不会参加该赌博证明：风险厌恶型意味着，若是题目中的赌局，即 也就说，他不会参加该赌博3 当决定在一个非法的地点停车时，任何人都知道，会收到罚款通知单的可能性是，并且罚金额为假定所有的个人都是风险厌恶型的，并且，其中是个人的财富被抓到的可能性按比例增加和罚金按比例增加在防止非法停车上谁更有效？（提示：运用泰勒级数展开式）解：记为初始财富，显然效用函数二阶可微，被罚款的效用可以写成，记被抓到的可能性按比例增加为，罚金按比例增加为；记分别为被抓到的可能性增加的倍数和罚金增加的倍数有，其中；根据条件，我们得到结果罚金按比例增加在防止非法停车上更有效4 在固定收益率为的资产上投资美元，可以在两种状态时获得；而在风险资产上的投资在好日子收益为，在坏日子为，其中通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究4.1 请画出两种投资的结果4.2 请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”这样可以在你的图中得到显示你怎样说明投资在风险资产中的财富比例？4.3 请说明个人对于风险的态度会怎样的决定它们所持有的无风险资产与风险资产的组合一个人会在什么情况下不持有风险资产？5 设题4中的资产收益要上交税收请说明（用文字）：5.1 为什么对财富按比例征税不会影响配置只在风险资产上的财富比例5.2 假定只有从安全资产中获得的收益才按比例交税这会怎样影响风险资产在财富中的比例？哪些投资者可能受这样一个税收的影响最大？5.3 如果所有的资产收益都要按比例交收入税，你对5.2的回答会怎样变化？4题和5题的答案在文件“第五讲 第四、五题”6 某消费者的效用函数为这里表示其在时期0的消费开支，表示其在时期1的消费开支银行存贷利率相等且为，该消费者在期的收入为，在的收入问6.1 如果，他该储蓄还是借贷？解：他的财富现值为，最大化问题是 得，因为，因此，他该借贷注 当第零期消费的价格是1的时候，第一期的价格是，于是可以用前面的最大化框架来方便理解和处理类似跨期问题6.2 如果，他该储蓄还是借贷？解：最大化问题是 得，因为，因此，他还是该借贷7 一个人拥有固定财富，并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由给出，预算约束为，这里是单期利率7.1 证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则它应当选择时与的组合证明：他的最大化问题是 一阶条件为其中，为拉格朗日乘子由此得到结论得证7.2 证明，但是的符号不确定证明：借用斯勒茨基恒等式来分析的上升等价于第二期消费价格下降，其收入效应和替代效应均倾向增加第二期消费；但对第一期，收入效应倾向增加消费，替代效应倾向减少第一期消费，所以对第一期消费的影响不确定具体来说其中是第二期消费的希克斯需求，为第二期的消费价格在上式中，所以同样可以分析题目应有一个关键假设使得结论成立，任何一期消费的收入效应为正也许是因为在实际生活中，消费的收入效应很少为负，所以题目省略了这一点在后面的解答中我仍认定消费的收入效应为正注 我原来的解答有问题8 一个人寿保险推销员说：“在你这个年纪购买一张100000美元终身寿险保单比一张定期保单要好得多持有终身寿险保单，你只在前4年里每年支付2000美元，但在你生命的以后的日子里就无须支付了一张定期保单每年需要你支付400美元，而且永远是这样如果你再活35年，你只须对终身保单支付8000美元，但对定期保单则要支付14000美元，所以终身保单无疑是笔更好的交易假定推销员的寿命预期是正确的，你将如果评价他的论断？更确切地说，假定利率为10%，请计算两张保单的保费成本的贴现现值解：记，终身保单保费成本的现值为定期保单的现值，显然定期保单更划算9 一个强行推销hard seller?汽车贷款的女推销员对一个刚刚购车的人说：“假定你用现金购买这辆10000美元的汽车，因为你用那笔钱可在银行获得10%的利率，所以三年内你将至少损失3000美元另一方面，如果你要选择我们的低成本的汽车贷款购买10000美元的汽车，那么只需每月支付350美元持续36个月即可，总体上你只需为汽车支付美元的利息因此，你通过这样融资就可以省钱”你是如何评价这一说法的？汽车贷款果真是低成本之举吗？解：仍通过现值计算现金支付的现值年利率为10%，那么36个月连续支付350美元的现值为因此，这个推销员的建议是没有理由的10 某人计划花1万元去旅游，其旅游的效用函数为，这里为其支出的价值量如果他在旅途中丢失1000元的概率为25%，他如想为丢钱的损失买保险，且保险价是公平价，则他愿为这1000元损失支付的最高保险金为多少？解：保险公司的价格为公平价，即为购买的保险，需要付出保费因此他的期望效用为 他的问题是解得 （这个不等式方程我实在解不出来）说明一下：个人感觉本题的目的是考察风险规避和公平保险条件下的最优保险金额，但是提的问题感觉偏离了这个意图11 消费者的效用函数为，在第一期和第二期的收入分别为100元和180元，利率为求：11.1 第一期和第二期的消费分别是多少？解：最大化问题是解得，注 假定消费者能自由借贷11.2 取什么值时，该消费者在第一期储蓄、贷款或不借贷？解：当期消费小于收入则储蓄令，则该消费者在第一期储蓄解得同理，令，得时，消费者不借贷；令，得时，消费者贷款11.3 当利率变化对和的影响是什么？解：由，得第一期的消费额变动与利率变动方向相反由，得第二期的消费额变动与利率变动方向相同12 一个人买了一打鸡蛋，并一定要把它们带回家尽管回家的旅行是无成本的，但在任何一条路上所带的鸡蛋被打破的概率都是这个人会考虑两个战略第一个战略：走一条路带所有12个鸡蛋第二个战略：走两条路，每次带6个鸡蛋结果（未打碎的鸡蛋）012可能性0.50.5结果（未打碎的鸡蛋）0612可能性0.250.50.2512.1 请列出每种战略的可能结果与每种结果的可能性请说明在每种战略下，回家之后平均都有6个鸡蛋没有被打碎解：战略一：平均打碎的鸡蛋个数为（个）战略二：平均打碎的鸡蛋个数为（个）12.2 画一图表示在每种战略下可获得的效用，人们会倾向于哪一个战略？解，如图未打碎的鸡蛋战略一战略二效用6120注意，战略二的位置是我估计的如果人们是风险规避的偏好，他们的个人效用函数是凹函数如图所示，他们将选择战略二12.3 采用多于两条路的方案，效用是否可以被进一步改善？如果其他的路是由成本的，那么这种可能性会受到什么样的影响解：直观地，如果方案多于两条路，效用可以被进一步的改善（可以参考本章最后一段）如果其他路是有成本的，那么这种可能性将减小13 判断：下列说法对么？为什么？13.1 当利率上升时，原来的贷款者仍将贷款，而且贷款数量一定会增加；当利率下降时，原来的借款者将继续借款，而且借款数量至少不会减少答：这里假定，消费的收入效应为正第一句错误因为利率上升除了带来跨期间的替代效应（倾向增加贷款，至少不会减少贷款），也会带来贷款者财富的增加，而财富的增加将倾向于增加当期的消费，产生减少贷款的因素因此不能确定原来的贷款者将贷款第二句正确因为利率下降无论是跨期间的替代效应（倾向增加借款，至少不会减少借款），还是收入效应（财富增加导致当期的消费量增加，因此倾向于增加借款）对借款的影响都是非负的注 假设收入效应为正见题目7.2的解答最末一部份13.2 跨期消费的第一期和第二期的消费之间的边际替代率为答：正确消费者效用最大化的标准为边际替代率等于价格之比，若令第一期商品价格为1，那么第二期商品的价格为由此可知其正确性13.3 如果名义利率小于通货膨胀率，则一个理性的消费者不会选择存钱答：错误考虑这个理性消费者只在第一期有收入，无论名义利率如何，他不存钱，第二期就会饿死消费者是否存钱取决于他第一期的收入是否大于第一期最优消费额，第一期的收入是先在决定的，利率只能部分地影响最优消费者，利率不能完全左右这个关系14 在一个封闭的村庄里中唯一的产品是玉米，由于土地的原因好收成与坏收成交替出现，今年的收成是1000公斤，明年的收成是150公斤，这个村庄与外界没有贸易玉米可以储存但是老鼠会吃掉25%，村民的效用函数为，是今年的消费，是明年的消费14.1 画出跨时期预算曲线，指出截距位置14.2 村民今年消费量是多少？此题与11题的计算方式完全相同，所不同的是，因为老鼠的参加使利率，再有，今年消费不能超过1000公斤解：（方法类似11题）消费者的问题是 解得 （公斤）即，村民今年消费600公斤玉米14.3 老鼠吃掉多少？解：根据14.2的结果，村民将储存公斤玉米，其中 公斤玉米被老鼠吃掉14.4 村民明年消费多少？解：把14