（江苏专用）2020高考数学二轮复习专题七随机变量、空间向量教学案理.docx

专题七 随机变量、空间向量这两部分内容的教学课时较多，是高考的重点，近几年通常交替式考查，对于空间向量的考查，以容易建立空间直角坐标系，计算空间角为主(2015年、2017年、2018年)，难度一般；概率题重点考查离散型随机变量及其分布列、均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布等，难度中等偏难(2017年T23、2019年T23)既考查数学运算、逻辑推理，又考查数学建模、数据分析等数学核心素养第一讲 | 随机变量与分布列题型(一)离散型随机变量的分布列及其期望 典例感悟例1 (2019南通等七市一模)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等显然两位“回文数”共9个：11，22，33，99，现从9个不同两位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同两位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1)求X为“回文数”的概率；(2)设随机变量表示X，Y两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望E()解(1)记“X是回文数”为事件A，9个不同两位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A的概率为.(2)由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A).设“Y是回文数”为事件B，则事件A，B相互独立根据已知条件得，P(B).P(0)P(A)P(B)；P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)；P(2)P(A)P(B).所以随机变量的分布列为012P所以E()012.方法技巧求离散型随机变量分布列及期望的关键和步骤由于离散型随机变量的数学期望是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率具体步骤如下：演练冲关(2018扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场若A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；(2)若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听生活趣味数学的人数，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析”为事件M，则P(M)，故选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率为.(2)X可能的取值为0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列为：X0123P所以X的数学期望E(X)0123.题型(二) n次独立重复试验的模型及二项分布主要考查对n次独立重复试验的模型的识别以及二项分布模型公式的应用.典例感悟例2(2019南京盐城二模)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择任何一条道路行进是等可能的现有甲、乙、丙、丁4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集合，设点C是其中的一个岔路口(1)求甲经过点C的概率；(2)设这4名游客中恰有X名游客经过点C，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设“甲经过点C”为事件M，从进口A出发时，甲选中间的路的概率为，再从岔路到达点C的概率为，所以选择从中间一条路走到点C的概率P1.同理，选择从最右边的路走到点C的概率P2所以P(M)P1P2.故甲经过点C的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C.所以X的分布列为X01234P数学期望E(X)01234.方法技巧二项分布的分布列及期望问题求解三步骤第一步判断二项分布先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：对立性：即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布第二步求概率若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少第三步求期望根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可演练冲关(2018苏北四市三调)将4本不同的书随机放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2)设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1)将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有44256种不同放法记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A，则事件A共包含A24个基本事件，所以P(A)，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.(2)法一：X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X01234P所以X的数学期望为E(X)012341.法二：每本书放入2号抽屉的概率为P(B)，P()1.根据题意XB，所以P(Xk)C，k0，1，2，3，4，所以X的分布列为X01234P所以X的数学期望为E(X)41.题型(三)概率与其他知识的综合主要考查与概率或期望有关的综合问题或在复杂背景下的概率与期望的综合问题.典例感悟例3(2018南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(nN*)局根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为P(n)(1)求P(2)与P(3)的值；(2)试比较P(n)与P(n1)的大小，并证明你的结论解(1)若甲、乙比赛4局甲赢，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以P(2)CC，同理P(3)CCC.(2)在2n局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为n1局，故P(n)CCC，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)方法技巧二项分布与二项式定理的交汇问题，其求解的一般思路是先利用二项分布求其P(n)和P(n1)，然后利用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法、立体几何等知识交汇命题演练冲关1(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，设点集An(0，0)，(1，0)，(2，0)，(n，0)，Bn(0，1)，(n，1)，Cn(0，2)，(1，2)，(2，2)，(n，2)，nN*.令MnAnBnCn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离(1)当n1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n3)，求概率P(Xn)(用n表示)解：(1)当n1时，X的所有可能取值是1, ，2, .X的概率分布为P(X1)，P(X)，P(X2)，P(X ).(2)设A(a，b)和B(c，d)是从Mn中取出的两个点因为P(Xn)1P(Xn)，所以仅需考虑Xn的情况若bd，则ABn，不存在Xn的取法；若b0，d1，则AB ，所以Xn当且仅当AB ，此时a0，cn或an，c0，有2种取法；若b0，d2，则AB.因为当n3时，n，所以Xn当且仅当AB，此时a0，cn或an，c0，有2种取法；若b1，d2，则AB，所以Xn当且仅当AB ，此时a0，cn或an，c0，有2种取法综上，当Xn时，X的所有可能取值是和，且P(X)，P(X).因此，P(Xn)1P(X)P(X)1.2(2017江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，mn的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k1，2，3，mn).123mn(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X).解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p.(2)证明：随机变量X的概率分布为：XP随机变量X的期望为：E(X)mn,kn mn,kn .所以E(X)mn,kn mn,kn (1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)0的解集为R的概率解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0，1，2，3，4，对应的未发芽的种子数为4，3，2，1，0，所以的所有可能取值为0，2，4，P(0)C，P(2)CC，P(4)CC.所以随机变量的概率分布为024P数学期望E()024.(2)由(1)知的所有可能取值为0，2，4，当0时，代入x2x10，得10，对xR恒成立，即解集为R；当2时，代入x2x10，得2x22x10，即20，对xR恒成立，即解集为R；当4时，代入x2x10，得4x24x10，其解集为x，不满足题意所以不等式x2x10的解集为R的概率PP(0)P(2).B组大题增分练1(2018镇江期末)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分记X1表示该生的加分数，X2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值(1)求X1的数学期望；(2)求X2的分布列解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i0，1，2，3，4.X1的可能取值为0，1，2，3，5.则P(Ai)C，即P(A0)，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，则X1的分布列为X101235P所以E(X1)01235.(2)X2的可能取值为0，2，4，则P(X20)P(A2)；P(X22)P(A1)P(A3)；P(X24)P(A0)P(A4).所以X2的分布列为X2024P2.(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验3.如图，设P1，P2，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1)求S的概率；(2)求S的分布列及数学期望E(S)解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，其中S的为有一个角是30的直角三角形(如P1P4P5)，共6212种，所以P.(2)S的所有可能取值为，.S的为顶角是120的等腰三角形(如P1P2P3)，共6种，所以P.S的为等边三角形(如P1P3P5)，共2种，所以P.又由(1)知P，故S的分布列为SP所以E(S).4(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0，1，2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解：(1)X的所有可能取值为1，0，1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0，1，2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理第二讲 | 运用空间向量求角题型(一) 运用空间向量求两直线所成的角主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角.典例感悟例1(2019南京盐城一模)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD1，PAAB，点E是棱PB的中点(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2)求二面角BECD的余弦值解(1)因为PA底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，又PAAB，AD1，所以B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，因为E是棱PB的中点，所以E，所以，(0，1，)，所以cos，所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为.(2)由(1)得，(0，1，0)，(，0，0)设平面BEC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以得y10，令x11，则z11，所以平面BEC的一个法向量为n1(1，0，1)设平面DEC的法向量为n2(x2，y2，z2)则所以得x20，令z2，则y21，所以平面DEC的一个法向量为n2(0，1，)所以cosn1，n2.由图可知二面角BECD为钝二面角，所以二面角BECD的余弦值为.方法技巧1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos |cos |.2用向量法求异面直线所成角的四步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值演练冲关(2019苏北三市一模)如图，在三棱锥DABC中，DA平面ABC，CAB90，且ACAD1，AB2，E为BD的中点(1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2)求二面角ACEB的余弦值解：因为DA平面ABC，CAB90，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为ACAD1，AB2，所以A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1)因为点E为线段BD的中点，所以E.(1) ，(1，2，0)所以cos，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.(2)设平面ACE的法向量为n1(x1，y1，z1)，因为(1，0，0)，所以n10，n10，即x10且y1z10，取y11，得z12，所以n1(0，1，2)是平面ACE的一个法向量设平面BCE的法向量为n2(x2，y2，z2)，因为(1，2，0)，所以n20，n20，即x22y20且y2z20，取y21，得x22，z22，所以n2(2，1，2)是平面BCE的一个法向量所以cosn1，n2.由图易知二面角ACEB为钝二面角，所以二面角ACEB的余弦值为.题型(二)运用空间向量求直线和平面所成的角考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角.典例感悟例2(2019常州期末)如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB，点M是棱PC的中点(1)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；(2)求二面角APBC的余弦值解(1)设直线AM与平面PAB所成的角为，易知A(0，1，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，M，则(1，1，0)，(0，1，2)，.设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，所以即 令x2，得y2，z1，所以n(2，2，1)是平面PAB的一个法向量，所以sin |cosn，|.故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为.(2)设平面PBC的法向量为n1(x1，y1，z1)，易知C(0，1，0)，则(1，1，0)，(1，0，2)，所以得令x12，得y12，z11，所以n1(2，2，1)是平面PBC的一个法向量，所以cosn，n1.易知二面角APBC为钝二面角，所以二面角APBC的余弦值为.方法技巧直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |，.演练冲关如图，在三棱锥PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，平面PAB平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的正弦值；(2)求二面角BAPC的平面角的余弦值解：(1)如图，设AB的中点为D，作POAB于点O，由APB90，PAB60得O为AD的中点，连接CD.因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAD，所以PO平面ABC.所以POCD.由ABBCCA，知CDAB.设E为AC的中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB.如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设PA2，由已知可得，AB4，OAOD1，OP，CD2.所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，)，所以(1，2，)而(0，0，)为平面ABC的一个法向量，设为直线PC与平面ABC所成的角，则sin .(2)由(1)有(1，0，)，(2，2，0)设平面APC的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则从而取x1，则y11，z11，所以n(，1，1)设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而平面ABP的一个法向量为m(0，1，0)，则cos .题型(三)运用空间向量求二面角 典例感悟例3(2019南京四校联考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA14，E，F分别为棱AD和CC1的中点(1)求异面直线BE和AF所成角的余弦值；(2)求平面B1D1F与平面BB1E所成角的余弦值解在长方体ABCDA1B1C1D1中，以点D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示因为ABBC2，AA14，E，F分别为棱AD和CC1的中点，所以B(2，2，4)，E(1，0，4)，A(2，0，4)，F(0，2，2)，B1(2，2，0)，D1(0，0，0)(1)(1，2，0)，(2，2，2)，设异面直线BE和AF所成的角为，则cos .故异面直线BE和AF所成角的余弦值为.(2)设平面B1D1F和平面BB1E的法向量分别是n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(0，2，2)，(2，2，0)，则取x11，则y11，z11，得n1(1，1，1)为平面B1D1F的一个法向量(1，2，0)，(0，0，4)，则z20，取y21，则x22，得n2(2，1，0)为平面BB1E的一个法向量设平面B1D1F与平面BB1E所成的角为，则cos .故平面B1D1F与平面BB1E所成角的余弦值为.方法技巧二面角的求法建立恰当空间直角坐标系，求出两个平面的法向量n1，n2，利用cosn1，n2求出(结合图形取“”号)二面角，也可根据线面垂直，直接求出法向量来求解演练冲关1(2019苏州期末)如图，四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD平面ABCD，PAPD，PA与平面PBC所成角的正弦值为.(1)求侧棱PA的长；(2)设E为AB中点，若PAAB，求二面角BPCE的余弦值解：(1)取AD的中点O，BC的中点M，连接OP，OM，因为PAPD，所以OPAD，又平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，所以OP平面ABCD，又OA平面ABCD，OM平面ABCD，所以OPOA，OPOM.因为ABCD是正方形，所以OAOM.以O为原点，OA，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则A，B，C.设P(0，0，c)(c0)，则，(1，0，0)设平面PBC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以取z11，则y1c，从而n1(0，c，1)是平面PBC的一个法向量设PA与平面PBC所成的角为，因为，所以sin |cos，n1|，得c2或c2，所以PA1或PA.(2)由(1)知，PAAB1，所以PA1，c.由(1)知，平面PBC的一个法向量为n1(0，c，1).设平面PCE的法向量为n2(x，y，z)，而，所以则取x1，则y2，z，即n2(1，2，)是平面PCE的一个法向量设二面角BPCE的平面角为，所以|cos |cos n1，n2|.根据图形知为锐角，所以二面角BPCE的余弦值为.2(2018苏锡常镇一模)如图，已知正四棱锥PABCD中，PAAB2，点M，N分别在PA，BD上，且.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值解：(1)连结AC，BD，设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP平面ABCD.又PAAB2，所以OP.以O为坐标原点，方向分别是x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz，如图则A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)故 ， 所以，(1，1，)，cos，所以MN与PC所成角的大小为30.(2)(1，1，)，(2，0，0)，NC.设m(x，y，z)是平面PCB的一个法向量，则即令y，得z1，所以m(0，1)，设n(x1，y1，z1)是平面PCN的一个法向量，则即令x12，得y14，z1，所以n(2，4，), 故cosm，n，所以二面角NPCB的余弦值为. A组大题保分练1(2019南通等七市二模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，AB1，APAD2.(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(2)若点M，N分别在AB，PC上，且MN平面PCD，试确定点M，N的位置解：(1)由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)从而(1，0，2)，(1，2，2)，(0，2，2)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即不妨取y1，则x0，z1.所以平面PCD的一个法向量为n(0，1，1)设直线PB与平面PCD所成角为，则sin |cos，n|，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设M(a，0，0)，则(a，0，0)，设，则(，2，2)，而(0，0，2)，所以(a，2，22)由(1)知，平面PCD的一个法向量为n(0，1，1)，因为MN平面PCD，所以n.所以解得所以M为AB的中点，N为PC的中点2(2018苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，AA12，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1C的余弦值解：(1)因为AB1，AA12，则F(0，0，0)，A，C，B，E，A1，C1，所以(1，0，0)，.记异面直线AC和BE所成角为，则cos |cos，|，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m(x1，y1，z1)因为，则即取x14，得平面BFC1的一个法向量为m(4，0，1)设平面BCC1的法向量为n(x2，y2，z2)因为，(0，0，2)，则即取x2，得平面BCC1的一个法向量为n(，1，0)，所以cosm，n.根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.3(2019扬州期末)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD平面CBD，AE平面ABD.(1)若AE，求直线DE与直线BC所成角；(2)若二面角ABED的大小为，求AE的长度解：由题意知ABAD，又AE平面ABD，以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系过点C作CFBD，垂足为F，又平面ABD平面CBD，CF平面CBD，平面ABD平面CBDBD，CF平面ABD.CBCD2，F为BD的中点，CF.(1)易知E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(1，1，)，(0，2，)，(1，1，)，0，直线DE与直线BC所成角为.(2)设AE的长度为a(a0)，则E(0，0，a)，易知AD平面ABE，平面ABE的一个法向量为n1(0，1，0)由(1)知(2，0，a)，(2，2，0)，设平面BDE的法向量为n2(x1，y1，z1)，则n2，n2，得取z12，则x1y1a.平面BDE的一个法向量为n2(a，a，2)cos n1，n2.二面角ABED的大小为，得a，AE的长度为.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC5，AC8，D为线段AC的中点(1)求证：BDA1D；(2)若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长解：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，又BD平面ABC，BDAA1，BABC，D为AC的中点，BDAC，又ACAA1A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，BD平面ACC1A1，又A1D平面ACC1A1，BDA1D.(2)由(1)知BDAC，AA1平面ABC，以D为坐标原点，DB，DC所在直线分别为x轴，y轴，过点D且平行于AA1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设AA1(0)，则A1(0，4，)，B(3，0，0)，C1(0，4，)，D(0，0，0)，1(0，4，)，1(0，4，)，(3，0，0)，设平面BC1D的法向量为n(x，y，z)，则即则x0，令z4，可得y，故n(0，4)为平面BC1D的一个法向量设直线A1D与平面BC1D所成角为，则sin |cos n，1|，解得2或8，即AA12或AA18.B组大题增分练1(2019盐城三模)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABACAD3，PABC4.(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值解：设BC的中点为E，连接AE，由ABAC，可知AEBC，故以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，2，0)，C(，2，0)(1)设为异面直线PB与CD所成的角，由(，2，4)，(，1，0)，得cos ，即异面直线PB与CD所成角的余弦值为.(2)设n1(x，y，z)为平面PBC的法向量，由(1)得(，2，4)，(，2，4)，由n10，n10，得故取n1(4，0，)为平面PBC的一个法向量，易知平面PAD的一个法向量为n2(1，0，0)设为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，则cos ，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.2(2018江苏高考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系O