向量中的中点转化与极化恒等式.doc

极化恒等式【一.式子结构分析】1. ，同理可以有：.两个式子相加可得：,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：（必修五课本20页）.2. ，同理可以有：.两个式子相减可得：,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.3. 很多时候我们也会遇到这样的式子，一般，类似于平方差公式，实质上同2差不多 【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本.回忆必修四105页例2，同理可以有：.两个式子相加可得：,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：（必修五课本20页）.两个式子相减可得：,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了. 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即.在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即，他揭示了三角形的中线与边长的关系.下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.4. 在中，M是BC的中点，则_.解析： 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在中，D是BC的中点，则_.解析： .5. 在RtABC中，CACB3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为_.解析：设MN的中点为D，则类题：ABC中，ACBC，AB3，AC1，D为BC的中点，F为线段AD上任意一点，求的最大值.解析：，因，故当时，取最大值.6. （2017年高考全国卷理12）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是A. B. C. D.解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法1：如图1，建立平面直角坐标系，设，则，所以，当且仅当，即为的中点时取等号，则所求最小值为，选B.图1思路二：取BC中点M，将转化为，则，怎么求的最小值呢？如图2，设AM的中点为N，则，当且仅当，即P与N重合（P为AM的中点）时取等号，故的最小值为，所求最小值为，选B.注：（1）转化时用到了极化恒等式，其一般形式为；（2）也可这样转化： .图2类题：已知动点是腰长为2的等腰直角三角形（为直角）的三边上的动点，则的取值范围是（ ） ABCD答案：C解析：取AB中点D，CD中点E，则7. *如图，在凸四边形中，是的中点，且，则等于（ ）ABCD解析：.8. *（2013年浙江高考理）中是边上一定点，满足，且对于边上任取的一点，恒有，则()ABCD【答案】D 解析： CBAH法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当时，函数式子取最大值】设，作，则.则由题意，当且仅当时，上式 有最小值.此时，也为的中点，故.CBAxPy法2：由题意，设|=4，则|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=|=( (a+1)|，=|=a，于是恒成立，相当于(a+1)|a恒成立，整理得|2(a+1)|+a0恒成立，只需=(a+1)24a=(a1)20即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故ABC是等腰三角形，所以AC=BC法3：如图建系，设，当且仅当时，上式取最小值，此时，故.法4：以AB中点为坐标原点建系也可，同法2.法5: 极化恒等式 如图，取线段BC的中点M，则，要使得的值最小，只需取最小值.因为P是线段AB上动点，所以只有当时，取得最小值，且点P与点必须重合，M是线段BC的中点，只有AC=BC时才能成立. 9. *（2012年安徽卷）若平面向量满足，则的最小值是_.解析：.所以.10. 设是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦，则的取值范围是_.答案： 变式（经典好题）：已知圆半径为1，圆上的弦长为1，P为圆上的动点，的最大值是（）A. B. C. D. 解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义设中点为D，的范围为.法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式以O点为原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则，（也可设点）设，则，故的范围为.法3：建立坐标系，设点，法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式，根据余弦定理和基本不等式，法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式求的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点P到AB距离的最大值法6：与三角形中点联系起来设中点为D， 则易知，的范围是，故的范围为.11. *（2011年浙江卷）已知直线AB与抛物线交于点，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（ ）A. B.，其中是抛物线过的切线 C. D.答案D解析如图所示，极化恒等式()()2()22，当直线AB一定时，当且仅当|取得最小值时，使得取最小值，只有当CMl时，|取得最小值，故选D.【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值下面用两种方法来证明，法1：几何分析法，只需证明CM不与l垂直时，有比CM还要短的.这一招太聪明了，如果直接证明CM最短很不好证.设过点的切线为,此时不与垂直，作，交抛物线于点.则.法2：求导运算时，上式有最小值？【注】此处如何整理出CMCA时，整理得，两条件相同.12. 已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点C满足，则的最小值是（ ）A B C D解析：由得，点在上，易得当且仅当为中点时，有最小值.变式：已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点C满足，则的最小值是（ ）A B C D解析：设，所以，点在上，易得当且仅当为中点时，有最小值.【三. 三角形向量中线公式和中点转化】13. *点O是的三边中垂线的交点，a，b，c是角A，B，C的对边，已知，则的范围是_解析：O是的外心，设中点为，则.因为，所以，所以，又，所以.所以的范围是（0，2）.14. 已知圆，点是直线上的动点，若在圆上总存在两个不同的点，使，则的取值范围是（ ）A B C D答案：A【解析】法1：如图，；与互相垂直平分，圆心到直线的距离；又；，代入得：；解得；的取值范围是故选：A法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.15. *在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 解析：类似于平方差公式，表示成向量的平方，可以转化运算,，故是等腰，选C.16. （1）已知圆直径，点为圆心，为半径上不同于A、B的任意一点，若P为半径上的动点，的最小值是_.解：.（2）已知圆半径为1，圆上的弦长为1，P为圆上的动点，的最大值是（）A. B. C. D. 解： 设中点为D， 则易知，的范围是，故的范围为.17. （1）已知直角梯形ABCD，ADBC，AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为_.法1：建系，设法2：取中点，易得P是AB的中点时取最小.（2）已知点，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.法2：因，所以为直径，为中点，当时，最大，为7.18. *如图，在梯形中，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D答案：D【解析】法1：以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则，当P在CD边上时，设，则，对应值都有两个；当P在AB边上时，设，则，对应值都有两个；当P在BC边上时，设，则，当时，每一个都有两个与之对应；根据对称性，当P在AD边上时，同P在BC边上时.综上，若有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是，选D.法2：（巧取中点转化，极化恒等式）取EF中点H，取AB中点M，取CD中点N，则，当P在AB边上时，根据对称性，对应值都有两个；当P在CD边上时，根据对称性，对应值都有两个；当P在AD边上时，PH的最小值即H到AD的距离，由等积法，又，当时，对应值都有两个；根据对称性，当P在AD边上时，同P在BC边上时.综上，若有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是，选D.19. 如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1，l2同侧，且P到l1，l2的距离分别为1,3.点M，N分别在l1，l2上，|8，则的最大值为()A15 B12 C10 D9答案A解析：取MN中点O，则，20. *已知的面积为2，E,F是AB，AC的中点，P为直线EF上任意一点，则的最小值为（ ）A2 B3 C D4解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式取中点，设底边BC的高为，则，.法2