积分号外求极限.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文积分号外求极限问题探讨摘 要 对于含有积分式的函数, 特别是积分麻烦或原函数求不出来的函数, 用通常的方法不易求出其极限,文章介绍了求含有积分式函数极限的方法, 即利用积分中值定理、Riemam引理和含参积分的连续性定理以及上下极限、夹逼准则和洛必达法则来求解,还运用到了拟合法、隔离法等等.掌握相关的定义及性质,并能运用适当的方法就能很轻松的解决积分的极限问题.关键词 积分与极限交换次序 极限 一致收敛1 引言在数学分析中, 极限的概念占有突出的地位, 计算函数的极限也成为教学的一个重点.通常人们利用极限的分析定义、“两边夹” 定理、无穷小量替换、初等函数的连续性、极限的四则运算性质等方法求函数的极限, 但这些方法都是针对一般函数的, 对于含有积分式的函数, 特别是对积分麻烦或原函数求不出来的函数, 这些方法就不适用了,还可以探讨积分号与极限号交换的条件及其运用.2 一些相关概念定义1 设为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有 则称数列收敛于,定数称为数列的极限,并记作,或,读作“当趋于无限大时,的极限等于或趋于”.若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.定义2 （定积分）设闭区间上有个点,依次为它们把分成个小区间,.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割,记为或.小区间的长度为,并记,称为分割的模.设函数在上有定义,为某一实数.若,对的任意分割,只要有,则称在上的定积分或黎曼积分.记为.定义3（含参量积分）(1)定义：为定义在矩形区域上的二元函数,对于上每一个固定的值,作为的函数在上可积,则其积分值上取值的函数,称为定义在上参含量的（正常）积分,简称含参量积分.它的更一般的情形是上、下限也是的函数：,其中为定义在上的函数.性质（i）连续性（也称连续守恒定理）：若在上连续,则在上连续；若在上连续,且上连续,则在上连续.(ii)可微性：若与在上连续,则在上可微,且;若及在上连续,且为定义在上其值含于 内的可微函数,则在上可微,且(iii)可积性：若在上连续,则在上可积,且.(iv)积分号下取极限：若每个在上连续,且时,则 在上连续,且.(v)若在上连续,则.定义4（反常积分）积分区间无限或被积函数无界的积分称为反常积分.反常积分也成为广义积分或奇异积分.积分区间无限的反常积分无穷积分在上有定义,且对,均有若极限存在,则称在上的反常积分收敛（或存在）,且记其极限值为 此时也称在上是可积的.若原式中的极限不存在（包括极限为无穷的情形）,则称在上的（反常）积分发散,也即发散.类似的可定义的发散.设是定义在上的函数,对有,若存在极限,其中为某个实数,则称在上的（反常）积分存在或收敛,且记极限值为,若式中的极限有一个不存在（包括极限为无穷的情形）,则称在上的（反常）积分发散.注 敛散性极其数值与式中所取的点无关.无界函数的积分瑕积分约定 在点,若对有定义且是无界的,则称为的瑕点,也称在处无穷间断.设在上有定义,且对在点为的瑕点,若极限存在,则称在上（关于）的瑕积分收敛或存在,其极限值为此瑕积分的值,并记为；否则称反常积分发散或不存在.类似地可定义瑕点为时的瑕积分.设,且积分均为瑕积分,其中为的瑕点；或为的瑕点.若式中两个积分均收敛,则称在上的瑕积分收敛或存在,且记 ；若式中的积分至少有一个是发散的,则称在上的瑕积分发散.注 当为瑕点时,判定的敛散性,需要计算的是两个极限式的和,而不是3 求积分极限的方法3.1 利用引理求含积分式函数的极限分式的下极限是,如果积分式下极限形式（或变化后的形式）为,我们可以考虑利用引理来求解.定理1 设在上可积,则.例1 求解 由于所以3.2 由含参量积分的连续性定理求含积分式函数的极限在求积分式下的极限时,若被积函数是二元函数,我们可以考虑利用含参量积分的连续性定理来求解.定理2 设在区域上连续,则函数在区间上连续.设,有例2 求.解 令则定理2中,如果把中的连续变量改为正整数变量,即考虑对每个在上连续.当(一致收敛)时.例3 求.解 由于,那么对任意且一致收敛,则.3.3 利用积分中值定理求含积分式函数的极限 在求积分式下极限时,如果积分麻烦或原函数求不出来,可以考虑利用积分中值定理来求解.定理3 （积分中值定理）如果在上连续,上可积且不变号,则存在,使得.例4 求,其中为自然数.解 此问题中的,由积分中值定理知,在之间存在,使得 ,所以.3.4 利用改进的中值定理 例5 求极限，引入如下“改进的定积分中值定理”.若则，使得改进之处在于可不考虑取端点的情形.利用这一定理,给出如下解法：其中与有关,且上述解法犯了一个典型错误.这是因为,即使 并不能保证 .例如取,但是而若取,又有.上述错误解法的根源在于忽略了极限运算（若极限存在）虽能保序,但不能严格保序.为了克服这一问题,常将某些点（隔离）,以排除极限取等号的情形,我们不妨称之为（隔离法）.在上述例题中,由于不收敛于0,所以要隔离的点是,于是例题有如下解法.解 任给记对使用积分中值定理,其中另外显然 ,根据的任意性,使用推广的夹逼准则,即得 注 在的证明中使用函数的单调性会更简单,但方法上不如使用积分中值定理更具一般性.又如证明 .由于,故需隔离的点是此点是积分区间的内点,可分段处理.然后分别仿例题用将隔离.3.5 拟合法 一个数或函数表示为有限和、级数、定积分、反常积分的形式或者其极限,使之与所讨论的问题在形式上一致,便于在同一和号或积分下对问题进行变形或计算.例6 设在上连续,试证：.证明 因,故极限值可改写为 .问题归结为证明：.但因在处连续.当充分小时,在上,.从而再将固定,这时第二个积分于是当时.3.6 夹逼准则设,且在某内有,则.例7 设严格递减,在上连续,试证明：有(1) ; (2)证明 (1)(利用夹逼准则) 因严格递减, （当时）.故对任意固定的有 (2)（利用夹逼准则的推广形式：当使用夹逼准则时,若放大与缩小所得之量的极限值不相等,但二者只相差一个任意小量,则夹逼准则仍有效.）因严格递减,知,当时.据连续性,使得 于是 当时，由的任意性知.3.7 洛必达法则 函数和满足：（1） ；（2） 在点的某空心邻域内两者都可导,且；（3） （可为实数,也可为或）,则.例8 求极限其中为闭区间上的连续函数.证明 因时,使用洛必达法则,上式. 3.8 积分第二中值定理 在上可积,单调减小,且,则存在点使得 .例9 设为有界函数,周期为,且, 试证：.证明 注意到,知.故只要证明 .据已知条件有界.即使得.于是利用第二中值定理,从而 .对此式每个固定的都成立,令取极限知极限式成立.3.9 利用上、下极限例10 设对一切在上可积,且证明：. (1)证明 只要证明：,有 (2)及 .因,所以,使当时,. 从而 (因在上有界,即,使得时,有故进而)令,在不等式两边同时取极限,得.这便证明了(2)式,类似可证式（3）,从而可证得.3.10 积分号与极限号交换的问题积分号能与极限交换顺序是一个重要的性质,在黎曼积分中,一般来说一个收敛的可积函数列,它的极限函数未必是可积的,为了保证极限函数是黎曼可积的,而且极限号与积分号能交换顺序、通常要求黎曼可积的函数列一致收敛于极限函数. 例11 ,则因,可知不一致收敛于0,显然 所以.从上面的讨论我们看到勒贝格积分定义扩大可积函数类,减弱了逐项积分的条件,从而改善了性质.这也说明了勒贝格积分理论比黎曼积分理论强得多.结 束 语求积分极限有如上多种方法,其中极限号与积分号交换并不是所有情况都适用,勒贝格(Lebesgue)积分极限号与积分号交换次序的条件要弱一点,在上非负可测.通常一般积分要满足一致收敛的条件才可运用此性质,更多的问题有待完善.参考文献1 华东师范大学数学系,数学分析M, 高等教育出版社,2001.2 张恭庆、林源渠,泛函分析讲义（上）M, 北京大学出版社,1987.3 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法M, 高等教育出版社,2006.4 陈纪修、金路、於崇华,数学分析上册M, 高等教育出版社,1999.5 孙本旺、汪浩,数学分析中的典型例题和解题方法M, 长沙湖南科学技术出版社,1981.6 Tom M,Apostol,Mathematical AnalysisM, 机械工业出版社,2004.Integral signs limit problemsAbstract Contains the integral of the function, in particular, is integral trouble or the original function evaluation function.The usual way is not easy to calculate the limit,The article describes several methods that seek to contain the limit of the integral function,Integral mean value theorem, Riemam lemma and parametric integral continuity theorem to solve,And upper and lower limit, Squeeze Rules Rule to solve the problem.Also applied to the fitting, the isolation m