数值分析试卷及其答案8

数值分析期末考试 一 设 若要确保其近似数的相对误差限为 0 1 则它的80 x 近似数 至少取几位有效数字 4 分 x 解 设 有 位有效数字 xn 因为 所以可得 的第一位有效数字为 8 1 分 98180648 x 又因为 令 可知 至少 21 10 10 1 1000 1 10 82 1 n 321 nnx 具有 3 位有效数字 3 分 二 求矩阵的条件数 4 分 A 1 ACond 其中 42 31 A 解 1 分 5 05 1 12 1 A 7 1 分 1 A 1 分 2 7 1 1 A 1 分 2 49 1 ACond 三 用列主元 Gauss 消元法法求解以下方程组 6 分 942 82 2032 321 321 321 xxx xxx xxx 解 5 245 240 5 35 230 9142 20321 8211 9142 9142 8211 20321 4 分 8 175 8 35 00 5 245 240 9142 5 33 230 5 245 240 9142 等价三角方程组为 1 分 8 175 8 35 5 245 24 942 3 32 321 x xx xxx 回代得 1 分 1 3 5 123 xxx 四 设 0 2 3 1 103 3210 234 xxxxxxxxf 1 求以为节点的 3 次 Lagrange 多项式 6 分 3210 xxxx 2 求以为节点的 3 次 Newton 多项式 6 分 3210 xxxx 3 给出以上插值多项式的插值余项的表达式 3 分 解 由可得0 2 3 1 3210 xxxx 10 34 1 11 3210 xfxfxfxf 即得 312101 320 1 302010 321 03 xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xfxL 231303 210 3 321202 310 2 xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xf 03 23 13 0 2 1 1 01 21 31 0 2 3 11 xxxxxx 32 6610 20 30 10 2 3 1 10 02 32 12 0 3 1 34xxx xxxxxx 2 计算差商表如下 一阶差商 二阶差商 三阶差商 i x i xf 1 11 3 15 234 74 0 10 225 1 则 2 3 1 3 1 4 1 511 3 xxxxxxxN 32 6610 xxx 3 2 3 1 4 3210 4 3 xxxxxxxxxxxx f xR 五 给定方程组 其中 bAx 10 013 1 w w ww A 试确定的取值范围 使求解该方程组的 Jacobi 迭代法与 Gauss Rw Seidel 迭代法均收敛 10 分 解 1 Jacobi 迭代格式的特征方程为 04 0 0 03 23 w w w ww 即 求得ww2 2 0 321 于是当且仅当时 Jacobi 迭代法收敛 5 分 2 1 12 ww 2 Gauss Seidel 迭代格式的特征方程为 0 0 330 22 22 ww ww ww 求得 于是得 2 321 400w 2 1 w 故当时 求解该方程组的 Jacobi 迭代法与 Gauss Seidel 迭代法 2 1 w 均收敛 六 设 4 baCxf b a bfaf ab bfaf ab dxxf 12 2 2 求上述求积公式的代数精度 并利用求积公式给出计算的一 b a dxxf 个复化求积公式 12 分 解 1 当时 左边 右边1 xfab 当时 左边 右边xxf 2 1 22 ab 当时 左边 右边 2 xxf 3 1 33 ab 当时 左边 右边 3 xxf 4 1 44 ab 当时 左边 右边 4 xxf 5 1 55 ab 因此 所给求积公式具有 3 次代数精度 6 分 2 将作 等分 记 ban 0 niihax n ab h i 2 分 1 0 1 n i x x b a i i dxxfdxxf 而 12 2 1 1 2 1 i i x x iiii xfxf h xfxf h dxxf 由此可得复化公式 12 2 1 2 1 0 1 ii n ii b a xfxf h xfxf h dxxf 4 分 12 2 1 0 2 1 bfaf h xxf h i ii 七 求在上的一次最佳平方逼近多项式 8 分 2 3 xxf 1 0 解 令所要求的多项式为 即取 计bxaxp 1 xxx 1 10 算 4 分 1 00 2 1 10 3 1 11 5 2 0 f 7 2 1 f 得法方程组 7 2 3 1 2 1 5 2 2 1 ba ba 解方程组得 于是得一次最佳平方逼近多项式为 35 36 35 4 ba 4 分 xxp 35 36 35 4 1 八 写出方程的 Newton 迭代格式 并迭代一次求近似解 6 分 1 在附近的根 2 0 x 2 在附近的根 1 0 x 解 1 取 则 3 分 2 0 x 9 17 1 x 2 xx exxfexxxf 32 23 2 则 k k x k x kk kk ex exx xx 32 23 2 1 取 则 3 分 1 0 x e x 1 1 1 九 已知三点 Gauss 公式 10 分 用该公式估算的 6 0 9 5 0 9 8 6 0 9 5 1 1 fffdxxf 1 5 0 dxx 值 解 令 于是有 于是baxt 3 4 5 01 1 b a ba ba 34 xt 于是 5 分 dtdx 4 1 dt t dxx 1 1 1 5 0 4 3 4 1 令 就得 4 3 4 1 t tf 4 63 4 1 9 5 4 3 4 1 9 8 4 63 4 1 9 5 6 0 9 5 0 9 8 6 0 9 5 1 1 fffdxxf 5 分 十 龙格库塔 10 分 取步长 写出用经典四阶 Runge Kutta 方法求解初值问4 0 h 题 的计算公式 91 0 1 sin xy yxx dx dy 解 1 分 nnhxxn4 01 0 0 0 y 6 分 2 2 2 2 22 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 取 其经典四阶 Runge Kutta 计算公式为 20 2 1 0 n 3 分 4 04 04 1sin 4 04 1 2 04 02 1sin 4 02 1 2 04 02 1sin 4 02 1 4 01sin 4 01 22 6 4 0 34 23 12 1 43211 kynnk kynnk kynnk ynnk kkkkyy n n n n nn 十一 用乘幂法计算矩阵按模最大特征值和相应的特征向量 取A 迭代两步即可 7 分 T x 1 1 1 0 其中 201 0135 0144 A 解 3 分 1 8 10 1 1 1 201 0135 0144 0 1 Axy10 1 T y y x 1 0 8 0 1 1 1 1 8 0 4 5 2 7 1 0 8 0 1 201 0135 0144 1 2 Axy2 7 2 相应特征向量取 4 分 8 0 4 5 2 7 2 7 1 十二 设为个互异的节点 为这组节点上 n xxx 10 1 n 1 0 nixli 的 次 Lagrange 插值基函数 证明 8 分 n 1 0 0 nkxxlx k i n k i 证明 对于 令 则的次 Lagr