浙江专版2018年高考数学二轮专题复习重难增分训练四立体几何的创新问题.docx

重难增分训练（四） 立体几何的创新问题1(2017江西模拟)如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BCDC平面ABC平面BCD D平面ADC平面ABC解析：选D在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC.故选D.2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为()A1 B.C. D.解析：选A由PQ平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PMAA11.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并总是保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1C线段BB1的中点与CC1的中点连成的线段D线段BC的中点与B1C1的中点连成的线段解析：选A设点P是侧面BCC1B1或其边界上的任意一点，连接AP，AB1，因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1AB1，又APBD1，所以，BD1平面AB1P，同理，BD1平面ACP.所以，平面AB1P与平面ACP重合，所以P点的轨迹是B1C，故选A.4(2018届高三温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将ADE沿AE翻折成SAE，使得平面SAE平面ABCE，则下列说法中正确的个数是()存在点E，使得直线SA平面SBC; 平面SBC内存在直线与SA平行；平面ABCE内存在直线与平面SAE平行A0 B1 C2 D3解析：选B由题意，得SASE，若存在点E，使得直线SA平面SBC，则SASB，SASC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故正确故选B.5.如图，PAD是正三角形，四边形ABCD为正方形，且平面PAD平面ABCD，点M为平面ABCD内的一个动点，MPMC，则点M在正方形内的轨迹是()解析：选A以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，设M(x，y)，作PGAD于G，MQAD于Q，连接GM，设AB1，则PM，MC.所以，由MPMC得 ，化简得y2x1，故选A.6.(2018届高三浙江名校联考)棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则PEQ周长的最小值为()A2 B.C. D2解析：选B在CC1的延长线上取一点M，使MC1C1E，记BC的中点为N，连接PM，MN，QN(如图所示)，则PEPM，QEQN，所以PEQ的周长LPQPEQEPQPMQNMN，故选B.7(2017湖北荆州中学月考)如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，记折起后的D为D1，且D1在平面ABC内的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A2 B3 C4 D5解析：选B如图，设D1在平面ABC内的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，D1E平面ABD1，平面ABD1平面ABC.D1E平面ABC，BC平面ABC，D1EBC，又ABBC，D1EABE，BC平面ABD1，又BC平面BCD1，平面BCD1平面ABD1.BC平面ABD1，AD1平面ABD1，BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，平面ACD1平面BCD1.共有3对平面互相垂直故选B.8如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后各元素相对位置的变化，AB，CD，EF和GH在原正方体中如图，有AB与CD，EF与GH，AB和GH三对异面直线答案：39(2017河北质检)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN平面AEFD.设M在平面ABB1A1中的射影为O，连接MO，过MO与平面AEFD平行的平面为，所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等又矩形AEFD的周长为2，所以所求轨迹的周长为2.答案：210如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AKt，则t的取值范围是_解析：极端位置法当F位于DC的中点时(如图1)，ADFAFK，这时t1；图1图2当F点与C点重合时(如图2)，CBAB，CBDK，CB平面ADB，即有CBBD，对于CD2，BC1，BD，又AD1，AB2，因此有ADBD，则有t，因此t的取值范围是.答案：11正四面体OABC，其棱长为1，若xyz (0x，y，z1)，且满足xyz1，则正四面体的体积为_，动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为_解析：先确定动点P的轨迹，再求解对应的空间区域体积当x1时，点P对应的轨迹是过点A且与平面OBC平行的平面；当y1时，点P对应的轨迹是过点B且与平面OAC平行的平面；当z1时，点P对应的轨迹是过点C且与平面OAB平行的平面又xyz1，则点P对应的轨迹在平面ABC的外面，所以满足0x，y，z1，xyz1的点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC的部分易求得棱长为1的正四面体的高为，体积为，故所求的体积为.答案：12如图所示的一块长方体木料中，已知ABBC4，AA11，设E为底面ABCD的中心，且，则该长方体中经过点A1，E，F的截面面积的最小值为_解析：如图所示，延长FE交BC于点R，过点A1作A1HEF，则由面面平行的性质知四边形A1HRF为平行四边形，过点A作AG垂直EF的延长线于点G，连接A1G，则FGA1G.因为AF4，所以DF44，则FR，sinDFRsinAFG，所以AG，A1G21，所以SA1G2FR2 42(48)242(48)2256232(10221)，当时，(S)min，(S四边形A1HRF) min.答案：13(2017嘉兴模拟)如图，在等腰梯形PDCB中，PB3，DC1，PDBC.ADPB，将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD.(1)若M是侧棱PB的中点，求证：CM平面PAD；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值解：(1)证明：取PA的中点N，连接MN，DN.M，N为PB，PA的中点，MN綊AB.在等腰梯形PDCB中，PB3，DC1，ADPB，CD綊AB，MN綊DC，四边形MNDC为平行四边形，故CMDN.CM平面PAD，DN平面PAD，CM平面PAD.(2)作BEAD交DC的延长线于E点ADAB且平面PAD平面ABCD，AB平面PAD.如图将几何体补成直三棱柱PAD KBE.过点B作BHKE，PK平面BEK，PKBH，BH平面PCD，则PB在平面PCD上的射影为PH，故BPH就是直线PB与平面PCD所成角在RtPBH中，BHKE，且PB，sinBPH，故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.14已知四边形ABCD是矩形，BCkAB(kR)，将ABC沿着对角线AC翻折，得到AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的射影为O.(1)若点O恰好落在边AD上，求证：AB1平面B1CD；若B1O1，AB1，当BC取到最小值时，求k的值；(2)当k时，若点O恰好落在ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1ACD的余弦值的取值范围解：(1)证明：因为点B1在平面ABCD上的射影为点O.所以平面AB1D平面ACD，又CDAD，所以CD平面AB1D，所以AB1CD，又因为AB1CB1，CB1CDC，所以AB1平面B1CD.点O在AD边上且B1O1，设ABx，