变化率与导数及导数的计算.doc

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、导数的运算法则1f(x)g(x)f(x)g(x)；2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)1(教材习题改编)若f(x)xex，则f(1)()A0BeC2e De2解析：选Cf(x)exxex，f(1)2e.2曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为()A2 B2C. D解析：选A依题意得y1ln x，yxe1ln e2，所以21，a2.3(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是()A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2解析：选A由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2时，a(2)v(2)1221014(m/s2)4(2012广东高考)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：y3x21，yx131212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy105函数yxcos xsin x的导数为_解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条典题导入例1用定义法求下列函数的导数(1)yx2；(2)y.自主解答(1)因为2xx，所以y (2xx)2x.(2)因为y，4，所以 .由题悟法根据导数的定义，求函数yf(x)在xx0处导数的步骤(1)求函数值的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)计算导数f(x0)li .以题试法1一质点运动的方程为s83t2.(1)求质点在1,1t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)解：(1)s83t2，s83(1t)2(8312)6t3(t)2，63t.(2)法一(定义法)：质点在t1时的瞬时速度vli li (63t)6.法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度vs(t)(83t2)6t.当t1时，v616.典题导入例2求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y； 自主解答(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.则y(ln u)u2，即y.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误以题试法2求下列函数的导数(1)yexln x；(2)yx；解：(1)y(exln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.典题导入例3(1)(2011山东高考)曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3C9 D15(2)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A B2C4 D自主解答(1)y3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y123(x1)，令x0得y9.(2)曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，g(1)k2.又f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，故切线的斜率为4.答案(1)C(2)C若例3(1)变为：曲线yx311，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0，y0)，由yx311，得y3x2，ky|xx03x.又k，3x.x1，即x01.k3，y010.所求切线方程为y103(x1)，即3xy130.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知切线过某点M(x1，f(x1)(不是切点)求切点，设出切点A(x0，f(x0)，利用kf(x0)求解以题试法3(1)(2012新课标全国卷)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)(2013乌鲁木齐诊断性测验)直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为()A2 B1C D1解析：(1)y3ln x13，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y14(x1)，即y4x3.(2)设切点的坐标为，依题意，对于曲线yxln x，有y，所以，得a1.又切点 在直线yxb上，故b，得b1.答案：(1)y4x3(2)B1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选Cf(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)2已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B.C. D.解析：选Ds2t，s|t24.3 (2012哈尔滨模拟)已知a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导函数f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3x By2xCy3x Dy2x解析：选Bf(x)x3ax2(a2)x，f(x)3x22axa2.f(x)为偶函数，a0.f(x)3x22.f(0)2.曲线yf(x)在原点处的切线方程为y2x.4设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B.C2 D2解析：选Ay，y|x1.由条件知1，a1.5若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B.C. D.解析：选B设P(x0，y0)到直线yx2的距离最小，则y|xx02x01.得x01或x0(舍)P点坐标(1,1)P到直线yx2距离为d.6f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数解析：选C由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)C(C为常数)7(2013郑州模拟)已知函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：88(2012辽宁高考)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：易知抛物线yx2上的点P(4,8)，Q(2,2)，且yx，则过点P的切线方程为y4x8，过点Q的切线方程为y2x2，联立两个方程解得交点A(1，4)，所以点A的纵坐标是4.答案：49(2012黑龙江哈尔滨二模)已知函数f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tan x0_.解析：由f(x)xsin xcos x得f(x)cos xsin x，则kf(x0)cos x0sin x01，即sin x0cos x01，即sin1.所以x02k，kZ，解得x02k，kZ.故tan x0tantan.答案：10求下列函数的导数(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)；解：(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x.(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.11已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解：根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得：y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线12设函数f(x)x3ax29x1，当曲线yf(x)斜率最小的切线与直线12xy6平行时，求a的值解：f(x)3x22ax9329，即当x时，函数f(x)取得最小值9，因斜率最小的切线与12xy6平行，即该切线的斜率为12，所以912，即a29，即a3.1(2012商丘二模)等比数列an中，a12，a84，f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)为函数f(x)的导函数，则f(0)()A0 B26C29 D212解析：选Df(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)x(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)，f(0)(a1)(a2)(a8)0a1a2a8(a1a8)4(24)4(23)4212.2已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 012_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 012503f1f2f3f40.答案：03已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程(1)直线l和yf(x)相切且以P为切点；(2)直线l和yf(x)相切且切点异于P.解：(1)由f(x)x33x得f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，故所求的直线方程为y2.(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3x3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，所以3x3，即x3x023(x1)(x01)解得x01(舍去)或x0，故所求直线的斜率为k3.所以l的方程为y(2)(x1)，即9x4y10.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，则解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1. （2013全国高考）已知曲线在点处的切线的斜率为8，则=（ ）A.9 B.6 C.-9 D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线上的点处的切线平行于直线，那么点的左标为 （ ）A.（1,0） B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设为曲线：上的点，且曲线在点处的切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 （ ）A. B. C. D.4.（2013宁夏联考）已知二次函数的导数为，且，对于任意实数都有，则的最小值为 （ ）A.3 B. C.2 D.在安全生产高压态势下，他由测量施工岗位转战到分公司安全管理工作and due diligence evaluations article 22nd head office, branch (jurisdiction), risk management, marketing management branch within the Departments credit business person assumed responsibility for the supervision and inspection and due diligence evaluations. Article 23rd, Head Office, branches (jurisdiction), risk management, Marketing Management Department through on-site and off-site inspection, investigation report, interviews with investigators for pre-loan investigation work by way of conducting supervision and inspection, quality evaluation pre-loan investigation work, and based on the evaluation results, the implementation of diversity management. 24th the control and inspection (a) the implementation of the credit system: there is no breach of credit policy relating to the granting of credit and the head office; (B) dual credit rating: timeliness of ratings, whether the provisions of the rating, rating results are accurate; (C) the survey contents: data collection is complete, report writing is com