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微积分CI期末复习讲义斯介生2011-12-21考虑到篇幅的原因，本讲义只选入部分主题和部分试题。像函数作图和应用题就要靠大家自己总结了。一、 极限算极限最难的是不定式极限问题，处理方法最容易想到的是洛比达法则。但是该法则是一种通用方法，很多时候强行应用会有较为严重的后果。对大家的建议是将正课和习题课上讲过的方法综合起来灵活运用。1. （1）（2001级）已知，求a,b的值。（2）（2002级）已知，求a,b的值。（3）（2004级）已知，求a,b的值。2. （1）（2001级）求（2）（2001级）设，求。（3）（2001级）求（4）（2002级）已知，求。（5）（2002级）已知，求。（6）（2003级）求（7）（2003级）求（8）（2004级）求（9）（2005级）求（10）（2005级）求（11）（2006级）求（12）（2006级）求（13）（2007级）求（14）（2009级）求（15）（2009级）求（16）（2009级）求二、 连续与导数这部分内容首先要求大家对求导公式要能熟练掌握。其次是各种特殊的求导方法的运用，例如隐函数求导法，含参变量函数求导法和对数求导法，在复合函数求导的时候千万注意不要漏。最后需要注意的是什么时候需要用定义，什么时候可以直接用公式。一般而言，分段函数基本要用定义。3. （1）（2001级）已知为可导的偶函数，且，求。（2）（2002级）设，求。（3）（2002级）设，求。（4）（2002级）设可微，求。（5）（2002级）设，求。（6）（2002级）设，求。（7）（2003级）设，求。（8）（2003级）设，求。（9）（2003级）设由确定，求。（10）（2003级）已知，求。（11）（2004级）设求并判断在处是否连续。（12）（2004级）设，求。（13）（2004级）设，求。（14）（2004级）设，其中可微，求。（15）（2005级）设在处连续，且，求和。（16）（2005级）设，其中在处连续且，求。（17）（2005级）设，求。（18）（2005级）设，求。（19）（2005级）设，求。（20）（2006级）设存在，且，求。（21）（2006级）设，求。（22）（2007级）设，当c取什么值时在处连续？进一步，在处是否可导？如果可导，求出。（23）（2007级）已知函数在点可导，且，求。（24）（2007级）设，其中是二阶可导函数，求。（25）（2007级）确定常数A,B的值，使得，其中是当时较更高阶的无穷小量。（26）（2009级）求的导数。（27）（2009级）证明不等式：三、 中值定理中值定理这块的题目主要是证明题，要求大家熟练掌握课本中涉及的几个中值定理以及它们之间的关系。证明题的主要方法是构造法，之所以喜欢考构造法证明是因为这样可以考察大家对原函数的“感觉”，因为没有这样的感觉是构造不出来的。常见构造方法在习题课上给大家列过，希望大家能够灵活应用，而不是生搬硬套。4. （1）（2003级）设在上连续，在内可导，且，证明存在使得。（2）（2004级）设在上连续，在内可导，且，证明：对于任意常数存在一点，使得。（3）（2005级）设和在上连续，在内可导，且，证明存在使得。（4）（2001级）设函数在上连续，在内可导，且，证明：（1）存在使得。（2）对于任意实数，必存在使得。（5）（2006级）设函数在上连续，在内可导，证明至少存在一点，使得。（6）（2009级）设函数在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得对任意，有。四、 不定积分不定积分方法很多，但是大前提是大家对于积分公式的熟记和灵活运用。算不定积分也有一些通用方法，如待定系数法，和万能代换。但是如果强行用的话会带来不必要的计算负担，所以给大家的建议是首先熟记公式，然后尝试用各种技巧，总之不要生搬硬套。5. （1）（2001级）求（2）（2001级）求（3）（2002级）求（4）（2003级）求（5）（2003级）求（6）（2003级）求（7）（2004级）求（8）（2004级）求（9）（2005级）设，求.（10）（2005级）求（11）（2