高等代数教案第3章向量与线性方程组.doc

第三章 向量与线性方程组.授课题目:3.1 线性方程组的解3.2 维向量空间3.3 向量组的线性相关性3.4 线性方程组解的结构.教学目的与要求:1. 掌握数域、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念2. 掌握矩阵的运算性质、逆矩阵的求法、分块矩阵的初等变换.重点与难点:重点:矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等行变换难点: 伴随矩阵，逆矩阵，初等矩阵、矩阵秩的概念.教学内容3.1 线性方程组的解例3.1 用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）；（2）；（3）.提示或答案：（1），原方程组有唯一解；（2）增广矩阵行等价于，原方程组无解；（3）增广矩阵行等价于，原方程组的通解为. 定理3.1 元线性方程组（1）无解的充分必要条件是；（2）有唯一解的充分必要条件是；（3）有无穷多解的充分必要条件是.练习：用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）； （2）；（3）答案：（1）无解；（2）有无穷多解；（3）有无穷多解.定理3.2 元齐次线性方程组，（1）只有零解的充要条件是；（2）有非零解的充要条件是. 例3.2 求齐次线性方程组的通解.答：例3.3 设有线性方程组问取何值时，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.解法1 对增广矩阵作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，有.（1）当且时，方程组有唯一解；（2）当时，方程组无解；（3）当时，方程组有无穷多个解.这时，于是，原方程组等价于.此时，原方程的通解为.解法2 因系数矩阵为方阵，故方程有唯一解的充要条件是系数行列式. 而，因此，当且时，方程组有唯一解. 当时，知，方程组无解. 当时，知，方程组有无穷多个解. 且通解为.练习：1. 求解齐次线性方程组.2.当为何值时，线性方程组（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.答案或提示：1. 2. .（1）当时，此时，方程组无解；（2）当为任意实数时，此时，方程组有唯一解；（3）当时，方程组有无穷多解. 此时，原方程组可化为.通解为.小结：课外作业：3.2 维向量空间1. 维向量空间定义3.1 所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组,其中称为第个分量. 通常地，维向量可以写成一列，也可以写成一行，前者称之为维列向量，用，或表示，后者称之为维行向量，用，或表示.今后，如无特别声明，我们提到的维向量都是指的维列向量.如果两个维向量 对应分向量相等，即,则称为这两个向量相等，记作 定义零向量，负向量.设是一个数域，用表示数域上全体维向量组成的集合，在中如下定义向量加法和数量乘法（统称为向量的线性运算）：对，.这样定义的向量的线性运算满足如下八条运算律：以下，加法的交换律：；加法的结合律： ；右零元律：；右负元律：；1乘向量律：；数乘向量的结合律：；数对向量加法的分配律：；向量对数加法的分配律：.定义3.2 设是以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，在中定义如上的向量加法和数量乘法（并满足以上八条运算律），我们称是数域P上的n维向量空间.2. 子空间定义3.3 设是向量空间的非空子集，如果对于向量的加法和数量乘法两种运算都封闭，那么就称集合对于向量空间的向量加法和数乘向量构成一个向量空间，称之为向量空间的子空间.例3.1 集合是向量空间的子空间. 事实上，若，则，.例3.2 集合不是的子空间. 事实上，若，则.所以V不是向量空间. 例3.3 设是两个已知的维向量，则集合是一个向量空间. 称为由向量所生成的向量空间. 一般地，由所生成的向量空间为.小结：课外作业：3.3 向量组的线性相关性 1. 向量的线性表示以下我们总是讨论在某固定数域P上的n维向量空间，不再每次声明. 定义3.4 如果存在一组数，使得则称向量是向量组的一个线性组合，或称向量可由向量组线性表示（或线性表出）称为组合系数.例如，对向量组，容易看到， 因此，是的一个线性组合. 又如，任一个n维向量都是向量组的一个线性组合，因为我们称向量组为n维单位向量组. 由定义可以看出，零向量是任一向量组的线性组合(只要取系数全为0就行了)；其次，向量是向量组的线性组合的充要条件是方程组有解.例3.4 证明向量可由向量组线性表示，并求出相应的组合系数.定义3.5 如果向量组中每一个向量都可以由向量组线性表示，那么称向量组可以由向量组线性表示，如果两个向量组互相可以线性表示，就称这两个向量组等价. 向量组之间的等价有以下的性质：1) 反身性：每一个向量都与它自身等价；2) 对称性：如果向量组与向量组等价，那么向量组与向量组也等价;3) 传递性：如果向量组与向量组等价，与等价，那么向量组与等价.如果向量组可以由向量组线性表示，则即.因此，.所以，如果，分别表示以和为列向量的矩阵，向量组可以由向量组线性表示，则存在矩阵，使得.例3.5 证明向量组与向量组等价. 证 对向量组施行初等行变换可以看出来，即，显然，所以，即.故向量组与向量组等价.本题后面部分也可以这样做，进一步作初等行变换可以得到.2. 向量组的线性相关性定义3.6对向量组，如果存在一组不全为零的数使得，则称向量组线性相关.否则称向量组线性无关. 注（1）任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的；（2）如果一个向量组线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（3）两个向量线性相关，即它们的分量对应成比例. 从几何的角度看，就是这两个向量共线；（4）如果三个向量线性相关，则其中一个向量是另外两个向量的线性组合，譬如，因此，这三个向量共面,反之也成立；（5）设，则向量组线性相关齐次方程组有非零解（即是列降秩矩阵）；（6）向量组线性无关齐次方程组只有零解（即是列满秩矩阵）. 或者说，向量组线性无关若，则；（7）个维向量一定线性相关（这是因为，以这个维向量为列向量构成的矩阵的秩必定小于）；（8）如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关；反之，如果一向量组线性无关，那么它们的任何一个非空的部分组也线性无关.（即“部分相关整体相关”；“整体无关部分无关”）（向量个数增加）（9）如果向量组线性无关，则各向量加多一个分量得到的向量组线性无关；反之，若向量组线性相关，则向量组线性相关（即“截断组无关加长组无关”；“加长组相关截断组相关”）（向量维数增加）；（10）如果向量组线性无关，添加一个向量后，线性相关，则一定可以由线性表示，而且表示法是唯一的.例3.6 维单位向量组成的向量组线性无关.事实上，由也就是由 可以推出故线性无关. 例3.7 讨论向量组的线性相关性.例3.8 已知向量组线性无关，.证明向量组线性无关.例3.9 已知向量，（1）讨论向量组及向量组的线性相关性；（2）向量能否由向量组线性表示？如果能，求其组合系数.练习：1.判断向量组线性相关还是线性无关.2.设向量组：.（1）问为何值时，向量组线性相关？线性无关？（2）问为何值时，向量组线性相关？线性无关？3.证明：如果向量组线性无关，则向量组也线性无关.4.设向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否由线性表示？说明理由；（2）能否由线性表示？说明理由.3. 向量组的极大无关组与向量组的秩定义3.7向量组的一个部分组称之为是这个向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）. 如果这个部分组本身线性无关，但是从这个向量组中任意加一个向量（如果还有的话）后都线性相关.例如，在向量组中，由一个极大线性无关组. 维单位向量组就是的一个极大无关组.注（1）向量组的极大无关组可能不是唯一的；（2）一个线性无关的向量组，其极大无关组就是它本身；（3）任一向量组与它的极大无关组等价；（4）向量组的任意两个极大无关组一定等价.定理3.3如果向量组可以由向量组线性表示，且，那么向量组必线性相关. 证 记，.由于向量组可以由向量组线性表示，故存在矩阵，使得.注意到，齐次方程组的解都是齐次方程组的解. 而（是未知量的个数），所以，前者一定有非零解，故后者也有非零解. 所以向量组必线性相关.注 （1）定理3.3可以叙述成：如果一个较多的向量组可以由一个较少的向量组线性表示，则较多的向量组一定线性相关.（2）定理3.3的逆否命题是：如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么推论1 两个等价的线性无关的向量组，必有相同个数的向量.推论2 向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.定义3.8向量组的极大无关组所包含的向量个数称为这个向量组的秩. 注 （1）向量组线性无关的充分必要条件为它的秩等于它所含有向量的个数； （2）等价的向量组必有相同的秩； （3）含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组. 全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组. 规定这样的向量组的秩为零；（4）矩阵的秩等于矩阵的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩. 练习：设，证明向量组与向量组等价.例3.10 设向量组：.求的一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示.（P101102）练习：设矩阵,求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.例3.11 设，那么（教材P103）例3.12 设，证明存在非零列向量及非零行向量，使得.证 ：（必要性）设矩阵 ，由于，所以，列向量组的极大无关组只含一个向量，不妨假定是它的一个极大无关组.设，则.令，则.：（充分性）由知，.其次，由于和都是非零向量，因此，因此，故. 证毕.例3.13设是矩阵，是矩阵，则.证 设，矩阵的列向量的极大无关组分别是和. 于是的全体列向量，一定可以由向量组线性表示，即.另一方面，的列向量个数小于的列向量个数，因而；同时. 因而，.故.例3.14已知3阶矩阵与3维列向量满足，且向量线性无关. （1）记，求3阶矩阵，使；（2）求.例3.15 设都是3维列向量，且线性无关，线性无关，证明：存在非零向量，使得既可以由线性表示，也可以由线性表示.当时，求出所有的向量.提示 4个3维向量必线性相关，故有不会为0的数，使得，显然不全为零，取.解方程组，求其通解可知4. 向量空间的基、维数与向量的坐标3.4 线性方程组解的结构在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有解的判别条件. 设线性方程组为 （1）引入向量 （2）于是线性方程组（1）可以改写成向量方程 （3）显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量可以表成向量组的线性组合. 用秩的概念，方程组（1）有解的条件可以传述如下：定理7（线性方程组有解的判别定理）线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵 与增广矩阵有相同的秩. 证明先证必要性，设线性方程组（1）有解，就是说，可以经向量组线性表出，向量组与向量组等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别是矩阵与的列向量组. 因此，矩阵与有相同的秩. 再证充分性，设矩阵与有相同的秩，就是说，它们的列向量组与有相同的秩，令它们的秩为，中的极大线性无关组的是由个向量组成，无妨设是它的一个极大线性无关组. 显然也是向量组的一个极大线性无关组，因此向量可以经线性表出. 既然可以经线性表出，当然它可以经线性表出. 因此，方程组（1）有解. 应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的，我们知道，用消元法解线性方程组（1）的第一步就是用初等变换把增广矩阵化成阶梯形. 这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：或者 其中在前一种情形，我们说原方程组无解，而在后一种情形方程组有解，实际上，把这个阶梯形矩阵中最后一列去掉，那就是线性方程组（1）的系数矩阵经过初等变换所化成的阶梯形. 这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解. 以上的说明也可以认为是判别定理的另一个证明. 根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法，这个解法有时在理论上是有用的. 设线性方程组（1）有解，矩阵与的秩都等于，而是矩阵的一个不为零的级子式（当然它也是的一个不为零的子式），为了方便起见，无妨设位于的左上角. 显然，在这种情形下，的前行就是一个极大线性无关组，第行都可以经它们线性表出，因此，方程组（1）与 （4）同解. 当时，由克拉默法则，方程组（4）有唯一解，也就是方程且（1）有唯一解. 当时，将方程组（4）改写为 （5）（5）作为的一个方程组，它的系数行列式由克拉默法则，对于的任意一组值，方程组（5），也就是方程组（1），都有唯一的解，就是方程组（1）的一组自由未知量，对（5）用克拉默法则，可以解出： （6）（6）就是方程组（1）的一般解. 6 线性方程组解的结构在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构. 在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题. 在有多个解的情况下中，所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 下面我们将证明，虽然在这时有无穷多个解，但是全部的解都可以用有限多个解表示出来. 这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果. 下面的讨论当然都是对于有解的情况说的，这一点就不再每次都说明了. 上面我们提到，元线性方程组的解是维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些向量之间有什么关系呢？我们先看齐次线性方程组的情形. 设 （1）是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面的两个重要的性质：1：两个解的和还是方程组的解. 设（）与（）是方程组（1）的两个解. 这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式中，即（）（）把两个解的和 （2）代入方程组，得（）这说明（2）确实是方程组的解. 2：一个解的倍数还是方程组的解. 设（）是（1）的一个解，不难看出（）还是方程组的解，因为（）从几何上看，这两个性质是清楚的，在时，每个齐次线性方程组表示一个过原点的平面. 于是方程组的解，也就是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面. 以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质. 对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解. 这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多有解. 基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出来？回答是肯定的. 为此，我们引入下面的定义：定义17齐次线性方程组（1）的一组解称为（1）的一个基础解系，如果1）（1）的任意一个解都能表成的线性组合；2）线性无关. 应该指出，定义中的条件2）是为了保证基础解系中没有多的解. 事实上，如果线性相关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，譬如说可以表成的线性组合，那么显然也具有性质1）. 现在就来证明，齐次线性方程组的确有基础解系. 定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含有的解的个数等于这里表示系数矩阵的秩（以下将看到， 也就是自由未知量的个数）定理的证明实际上就是一个具体找基础解系的方法. 证明设方程组（1）的系数矩阵的秩为，无妨设左上角的级子式不等于零，于是按上一节最后的分析，方程组（1）可以改写成 （3）如果，那么方程组没有自由未知量，方程组（3）的右端全为零，这时方程组只有零解，当然也就不存在基础解系，以下设我们知道，把自由未知量的任意一组值（）代入（3），就唯一地决定了方程组（3）也就是方程组（1）的一个解. 换句话说，方程组（1）的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样，特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定就是零解. 在（3）中我们分别用组数 （4）来代自由未知量（），就得出方程组（3）也就是方程组（1）的个解： （5）我们现在来证明，（5）就是一个基础解系. 首先证明线性无关，事实上，如果，即 比较最后个分量，得 因此，线性无关. 再证明方程组（1）的任意一个解都可以由线性表出，设 （6）是（1）的一个解，由于是（1）的解，所以线性组合 （7）也是（1）的一个解. 比较（7）和（6）的最后个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两个解完全一样，即 （8）这就是说，任意一个解都能表成的线性组合. 综合以上两点，我们就证明确为方程组（2）的一个基础解系，因而齐次线性方程组的解有基础解系. 证明中具体给出的这个基础解系是由个解组成. 至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量. 这就是定理的第二部分. 由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系（读者自己证明）. 下面来看一般线性方程组的解的结构. 如果把一般线性方程组 （9）的常数项换成0，就得到齐次线性方程组（1）. 方程组（1）称为方程组（9）的导出组. 方程组（9）的解与它的导出组（1）的解之间有密切的关系：1：线性方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解. 设（），是方程组（9）的两个解，即 （）它们的差是显然有（）这就是说，是导出组（1）的一个解. 2：线性方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解. 设（）是（9）的一个解，即 （）又设是导出组（1）的一个解，即 （）显然（）由这两点我们很容易证明下面的定理：定理9 如果是方程组(9)的一个特解,那么方程组(9)的任一个解都可以表成 (10)其中是导出组(1)的一个解,因此,对于方程组(9)的任一个