毕业论文泰勒展开式及其应用 伟

1 泰勒公式及其应用 摘摘 要要 文章主要对泰勒公式在近似计算 求极限 证明不等式 外推 求曲线的 渐近线方程和判断级数收敛性 对函数凹凸性及拐点判断 广义积分敛散性中的 应用关于界的估计 和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析 从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位 关键词 泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 不等式 根的唯一存在性 极 值 近似计算 一 引言 近代微积分的蓬勃发展 促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研 究 特别是泰勒 笛卡尔 费马 巴罗 沃利斯等人作出了具有代表性的工作 泰勒公式是 18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在 微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的 泰勒将函数展开成级数得到泰 勒公式 对于一般函数 设它在点存在直到阶的导数 由这些导数构成f 0 xn 一个次多项式n 2 000 0000 1 2 n n n fxfxfx T xf xxxxxxx n 称为函数在点处的泰勒多项式 若函数在点存在直至阶导数 则有f 0 xf 0 xn 即 0 n n f xT xxx 2 00 000000 2 n nn fxfx f xf xfxxxxxxxxx n 称为泰勒公式 我们都知道 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容 它的理论方法已经 成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具 集中体现了微积分 逼近法 的精髓 在近似计算上有着独特的优势 利用它可以将非线性问题 化为线性问题 并能满足很高的精确度要求 在微积分的各个方面都有重要的 应用 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用 它可以应用于求极限 2 判断函数极值 求高阶导数在某些点的数值 判断广义积分收敛性 近似计算 不等式证明等方面 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法 借助泰勒 公式的广泛应用 将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去 得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性 二 预备知识 2 1 泰勒公式的定义 定义 2 1 若函数在存在阶导数 则有 1 f x 0 xn 2 00 000 1 2 fxfx f xf xxxxx 0 0 n n n fx xxr x n 1 其中 0 n nn r xr xo xx 满足 上述公式称为在点处带有佩亚诺余项的的泰勒公式 f x 0 xx 当 0 时 1 式变成 0 x 称此式为 带有佩亚诺余 0 2 0 1 0 0 2 nn n xox n f x f x f fxf 项的 麦克劳林公式 定义 2 2 若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数 则 2 f x 0 x1 n 200 00000 2 n n n fxfx f xf xfxxxxxxxr x n 3 2 这里为拉格朗日余项 其中在与之间 n r x 1 1 0 1 n n n f r xxx n x 0 x 称 2 为在的泰勒公式 f 0 x 当 0 时 2 式变成 0 x 2 0 0 0 0 2 n n n ff f xffxxxr x n 称此式为 带有拉格朗日余项的 麦克劳林公式 常见函数的展开式 1 2 1 2 1 n xn x x n e n xx xe 12 1 5 3 sin 22 1253 n n n xo n xxx xx 2462 2 cos1 1 2 4 6 2 n nn xxxx xo x n 231 1 ln 1 1 231 n nn xxx xxo x n 1 1 1 2nn xoxxx x 2 2 1 1 1 x mm mxx m 定理 2 1 介值定理 设函数 在闭区间 上连续 且 若 3 f ba bfaf 为介于 与之间的任何实数 则至少存在一点 使得 0 af bf 0 x ba 00 xf 4 2 2 泰勒公式的意义 泰勒公式的意义是 用一个次多项式来逼近函数 而多项式具有形式n f x 简单 易于计算等优点 泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成 我 f xn n P x 0 n n Rxo xx 们来详细讨论它们 当 1 时 有 n 1000 P xf xfxxx 是的曲线在点处的切线 方程 称为曲线在点 yf x 00 xf x yf x 的一次密切 显然 切线与曲线的差异是较大的 只是曲线的近似 00 xf x 当 2 时 有 n 2 0 20000 2 fx P xf xfxxxxx 是曲线在点的 二次切线 也称曲线在点 yf x 00 xf x yf x 的二次密切 可以看出 二次切线与曲线的接近程度比切线要好 当次 00 xf x 数越来越高时 接近程度越来越密切 近似程度也越来越高 2 3 泰勒公式余项的类型 泰勒公式的余项分为两类 一类佩亚诺型余项 一类是拉格朗 0 n o xx 日型余项 它们的本质相同 但性质各异 1 1 0 1 1 nn fxx n 佩亚诺型余项是定性的余项 仅表示余项是比 当 0 n o xx 0 nxx 时 高阶的无穷小 如 表示当时 用 0 xx 3 3 sin 6 x xxo x 0 x sin x 近似 误差 余项 是比高阶的无穷小 3 6 x x 3 x 5 拉格朗日型余项是定量的余项 也可以写成 1 1 0 1 1 nn fxx n 定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究 00 xxx 三 泰勒公式的应用三 泰勒公式的应用 3 13 1 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 简化极限运算 就可用某项的泰勒展开式来代替该项 使得原来函数的极限 转化为类似多项式有理式的极限 例 1 求极限 sin 2 lim sincos x x x exx xxx 0 1 分析 此为型极限 若用罗比达法求解 则很麻烦 这时可将和 0 0 cosxsin x 分别用泰勒展开式代替 则可简化此比式 x e 解 由1sin 2 x x exx 233 33 1 2626 xxxx xo xxxo x 1 343 33 6126 xxx o xo x 32 33 sincos 1 62 xx xxxxo xxo x 3 3 3 x o x 于是 6 1sin 2 lim sincos x x x exx xxx 0 3 3 3 3 1 6 2 3 x o x x o x 3 3 2 2 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式 当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物 不妨作一个辅助 函数并用泰勒公式代替 往往使证明方便简捷 例 1 当时 证明 0 x 3 1 sin 6 xxx 证明 取 则 3 1 sin 6 f xxxx 0 0 x 0 0 0 0 0 0 1 cos 0 0 ffffxx f 带入泰勒公式 其中 3 得n 其中 3 1 cos 000 3 x f xx 10 故 当时 0 x 3 1 sin 6 xxx 例 2 设在二次可导 而且 试求存 f x 0 1 0 1 0ff 01 lim 1 x f x 在 使 0 1 8f 证 由于在的最小值不等于在区间端点的值 故在内存在 f x 0 1 0 1 1 x 使 由费马定理知 1 1f x 1 0fx 又 2 1111 2 f f xf xfxxxxx 介于与之间 2 1 1 2 f xx x 1 x 由于 不令和 有 0 1 0ff 0 x 1x 7 2 1 1 0 0 1 0 2 f fx 所以 2 1112 2 1 1 fxx 当时 而当时 可见与 1 1 1 2 x 2 1 28x 1 1 1 2 x 2 1 2 1 8x 1 f 中必有一个大于或等于 8 2 f 3 33 3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性利用泰勒公式判断广义积分的敛散性 当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时 就可以利用泰 勒公式将级数通项简化成统一形式 以便利用判敛准则 在判定广义积 敛散性时 通常选取广义积分进行比较 在此通过 a f x dx 1 0 p a dx p x 研究无穷小量的阶来有效地选中的值 从而简单地判 f xx 1 p a dx x p 定的敛散性 注意到 如果得收敛 则得收敛 a f x dx a f x dx a f x dx 例 1 研究广义积分的敛散性 4 332 xxx dx 解 22 1 1 1 2 xxxo x 332f xxxx 11 22 33 1 1 2x xx 2222 3 19113 1911 1 1 2 2828 xoo xxxxxx 3 23 2 911 4 o xx 因此 即是的阶 而收敛 3 2 9 lim 1 4 x f x x 0f x 1 x x 3 2 3 2 4 1 dx x 故收敛 从而 4 f x dx 4 332 xxx dx 8 例 2 讨论级数的敛散性 1 11 ln n n nn 注意到 若将其泰勒展开为的幂的形式 开二次方后恰与 11 lnln 1 n nn 1 n 相呼应 会使判敛易进行 1 n 解 因为 234 1111111 lnln 1 234 n nnnnnnn 所以 11 ln 1nn 所以 11 ln0 n n u nn 故该级数是正项级数 又因为 3323323 22 111111111111 ln 234 22 n o nnnnnnnnnn nn 所以 33 22 111111 ln 22 n n u nnnn nn 9 因为收敛 所以由正项级数比较判别法知原级数收敛 3 1 2 1 2 n n 3 43 4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点 例 1 设内 f x 在 a b 上连续在 a b 上具有一阶和二阶导数 若在 a b 是凹向的 0fx f x 在 a b 上 12 xx证明 设c d为 a b 内任意两点 且 c d 足够小 0 所以 120 0f xf xf x 2 可得 12 0 2 f xf x f x 由任意性可得在足够小的区间上是凹向的再有 c d 的任意性 12 xx f x c d 得在内任意小的区间内都是凹向的 所以在区间是凹向 f x a b f x a b 的 利用泰勒公式对极值的判定可相似的推出函数拐点的判定 即 若在某个内阶可导 且满足 f x 0 U x n 10 且 1 000 0 n fxfxfx 0 0 2 n fxn 若 1 为奇数 则为拐点 n 00 xf x 2 为偶数 则不是拐点 n 00 xf x 证明 写出在处的泰勒公式 fx 0 x 22 000000 2 nnn f xfxfxxxfxxxno xx 因为 1 000 0 n fxfxfx 则 同样余项是的高阶 22 000 2 nnn fxfxxxno xx 2 0 nxx 无穷小 所以的符号在的心领域内与相同 fx 0 x 2 00 2 nn fxxxn 当为奇数时 显然在的两边 符号相异 即n 0 x 2 00 2 nn fxxxn 的符号相异 所以为拐点 fx 00 xf x 当为偶数时 则的符号相同 所以不是拐点 n fx 00 xf x 例 2 4判断 0 是否是cos xx xeex 2的拐点 解 2sin xx xeex 0 0 2cos xx xeex 0 0 2sin xx xeex 0 0 4 2sin xx xeex 4 0 4 0 因为 所以不是的拐点 n 4 4 0 cos xx xeex 2 3 53 5 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 11 利用基本初等函数的幂级数展开式 通过泰勒展开式可以求得 例 1 求函数的幂级数展开式 nx fxe 解 由于 所以的拉格朗日余项为 0 1 1 2 3 nxn fxefn f x 1 01 1 x n n e r xx n 显见 1 1 x n n e r xx n 它对任何实数 x 都有 1 lim0 1 x n x e x n 因而 所以有lim 0 n x r x 11 1 2 1 xn exxxx n 3 63 6 1 1 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式进行近似计算 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算 用 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为 xf 2 0 0 0 0 2 n n ff f xffxxx n 其误差是余项 n r x 例 1 计算 lg11 的值 准确到 5 10 解 111 lg11lg 101 1lg 1 1ln 1 10lg1010 因为 231 1 1 ln 1 1 1 23 1 1 nn n n xxxx xx nnx 10 1x 要使 1 1 1 10 1 1 ln10 10 nn n n 1 5 10 10 2 1 n n 12 5 1 4 2 1 1010 nn n 取 故 4n 11111 lg111 1 04139 ln10 10200300040000 例 2 估计下列近似公式的绝对误差 2 11 0 1 28 xx xx 解 2 1 1 23 21 11 1 1 282 1 2 nnn n xxnn xx nn 1 1 2 1 10 n n xx 当时 2n 55 3 22 2 3 311 1 1 161623 r xxx 2 2 泰勒公式在外推上的应用 外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合 产生精度较高的近似值 的方法 它的基础是泰勒公式 其原理可以简述如下 若对于某个值 按参数算出的近似值可以展开成ah 1 a h 23 1123 a hac hc hc h 这里先不管的具体形式 那么按参数算出的近似值就是 i c 2 h 1 2 h a 23 1123 111 2248 h aac hc hc h 和与准确值的误差都是阶的 1 a h 1 2 h aa o h 现在 将后 式乘 2 减去 式 便得到 11 23 223 2 2 2 1 h aa h a had hd h 也就是说 对两个阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后 o h 却得到了具有阶的近似值 这样的过程就称为外推 2 o h 2 a h 若进行了一次外推之后精度仍未达到要求 则可以从出发再次外推 2 a h 13 22 34 334 4 2 4 1 h aa h a hae he h 得到阶的近似值 这样的过程可以进行步 直到 3 o h 3 a h1k 1 11 1 2 2 21 k kk k k k h aah a hao h 满足预先给定的精度 外推方法能以较小的待解获得高精度的结果 因此是一种 非常重要的近似计算技术 例 1 单位圆的内接正边形的面积可以表示为n 1 sin 2 2 S hh h 这里 按照泰勒公式 1 h n 35 1 2 2 2 23 5 hh S hh h 246 123 c hc hc h 因此 其内接正边形的面积可以表示为2n 35 1 23 5 hhh Sh h 246 123 1 4 c hc hc h 用它们作为的近似值 误差都是量级的 o h 现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合 4 22 4 123 hh SS hSS h h S hS 那么通过简单的计算就可以知道 46 23 S hd hd h 项被消掉了 也就是说 用近似表示 其精度可以大大提高 2 h S h 3 7 3 7 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 如果泰勒公式已知 其通项中的加项的系数正是 从 f x 0 nxx 1 0 xf n n 14 而可反过来求高阶导数数值 而不必再依次求导 例 1 设 求 2 ln 1 f xxx 0 3 n fn 由得泰勒公式 ln 1 x 23 ln 1 23 xx xx 1 n nn x o x n 1 可得 23 2 23 xx f xxx 1 n nn x o x n 1 0 x 4 3 2 x x 1 2 n nn x o x n 1 0 x 所以 0 2 n n f n 3 1 n 3 8 3 8 利用泰勒公式求行列式的值利用泰勒公式求行列式的值 若一个行列式可看做的函数 一般是的 n 次多项式 记作 按泰xx f x 勒公式在某处展开 用这一方法可求得一些行列式的值 0 x 例 1 求 n 阶行列式 D xzzz yxzz yyxz yyyx 1 解 记 按泰勒公式在处展开 n fxD z 2 1 2 1 n nnnn n fzfxzfxz fxf zxzxzxz n 2 易知 000 000 000 000 zy zy D zy zy 1 kz zy 15 3 由 3 得 时都成立 1 1 2 3 k k fzz zykn 根据行列式求导的规则 有 112211 1 2 1 nnnn fxnfxfxnfxfxf xfx 于是在处的各阶导数为 xfnzx 2 1 n nnx zn fzfznfznz zy 3 1 1 n nnx zn fzfznfzn nz zy 11 1 1 2 1 2 nn nnx z fxfn nf zn nz 1 2 n n fzn n 把以上各导数代入 2 式中 有 1232 1 3 1 2 nnn n nn n fxz zyz zyxzz zyx 1 1 2 1 2 1 1 2 nn n nn n z xzxz n 若 有 zy 1 1 n n fxxyxny 若 有 zy nn n z xyy xz fx zy 3 93 9 利用泰勒公式证明与某阶导数的中间值利用泰勒公式证明与某阶导数的中间值 例 1 设函数在闭区间上具有三阶连续函数 f x 1 1 证明在区间内至少存在一点使 1 0 1 1 00 fff 1 1 3 3f 证明 分别把在展开成泰勒公式 由题设得 1 1 ff 0 x 3 11 11 0 1 0 0 0 01 26 fffff 3 22 11 1 1 0 0 10 26 ffff 两式相减消去其中未知的 0 0 得 16 3 3 3 3 1212 11 1 3 62 ffff 若 3 3 12 ff 则得证 否则 1 2 3 3 12 ff 界于 之间 由连续函数的中值定理知 对任意的 3 3 12 ff 与 3 12 3 f 3 103 10 利用泰勒公式解经济学问题利用泰勒公式解经济学问题 我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用 而定积分在经济学中是 不可缺的 在这里将以定积分为平台 利用泰勒公式去解决经济学问题 例 1 完全竞争行业中某厂商的成本函数为 STC 假设产品的价格为 66 3 13 元 求 1 由于竞争市场供求发生变化 由此决定新的价格为 30 元 在心 的价格下 厂商是否会发生亏损 如果会 最小的亏损额是多少 解 1 由于市场供求发生变化 新的价格为 27 元 厂商是否发生亏损仍需 要根据 P MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负 不论利润最大还是亏损 最小 均衡条件都是 P MC 成本函数为 STC 令 由泰勒公式我们知道 3 13 f x 3 13 2 1 1 1 2 m m m xmxx 所以 所以 STC 又因为 P MC 即 27 23 133xxx 2 363xx 所以 4 1xx 因为 2 00000 1 1 1 1 2 ff xfxxfxx 1 2 00000 1 0 2 ff xfxxfxx 2 所以 22 22 646300 6 16120 d TCd TC dxdx 故 是利润最大或者最小的产量 4 1xx 17 利润 33 1 274 14 17TRTCPQx 3 27 1 1 1 19TRTC 可见 当 价格为 27 元时 当厂商生产量为 1 时 其最大盈利额为 19 当厂商生产量为 4 时 其发生亏损 最小亏损额为 17 3 11 3 11 泰勒公式关于界的估计泰勒公式关于界的估计 我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的 有的有上节 而有 的有下界 再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用 这里我们探讨泰勒 公式关于界的估计 这里通过例题来分析界的估计 例1 设在上有二阶导数 时 试证 f x 0 1 01x 1f x 2fx 当时 01x 3fx 证 2 1 1 1 1 2 ff xfxxfx 2 1 0 2 ff xfxxfx 所以 22 11 1 0 1 22 fffxfxfx 22 11 1 0 1 22 fxfffxfx 22 2 1 2 13xx 3 123 12 泰勒公式展开的唯一性问题 泰勒公式展开的唯一性问题 泰勒公式的展开式有多种 常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式 带 有拉格朗日型余项的泰勒展开式 而最为常用的是麦克劳林展开式 它是当 时的特殊的泰勒公式展开式 现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性 0 0 x 例1 设是连续的阶导数 在处有展开式 f xn f x 0 xx 2 010200 n nn f xaa xxaxxaxxR x 1 且余项满足 n R x 0 0 lim0 n n xx R x xx 18 2 则必有 0 1 2 k k fx akn k 3 其中 0 fxf x 证 根据泰勒公式 在处可以展开成 f x 0 xx 0 00 0 i n in i fx f xxxo xx i 4 让 1 式与 4 式联立可得 0 000 00 i nn iin in ii fx a xxRxxxo xx i 此式令取极限 得 两边消去