对称性在各种积分中的定理

对称性在积分计算中的应用定理2.1.1 设函数在平面上的有界区域上连续，且关于轴对称.如果函数是关于的奇函数，即，则；如果是关于的偶函数，即， ，则.其中是在轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于轴对称的情形.则由定理2.1.1知.由定理2.1.1可得如下推论.推论2 设函数在平面上的有界区域上连续，若积分区域既关于轴对称，又关于轴对称，则 若函数关于变量均为偶函数，则.其中是区域在第一象限的部分，. 若函数关于变量或变量为奇函数，则.当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理2.1.2 设函数在平面上的有界区域上连续，且关于原点对称.如果，则；如果，则，其中，.为了叙述的方便，我们给出区域关于的轮换对称性的定义.定义2.1.1 设为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意，存在，则称区域（或光滑平面曲线段）关于具有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理2.1.3 设函数在平面上的有界区域上连续，且关于具有轮换对称性，则. 定理2.2.1 设函数是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于坐标平面对称，则(1) 若是关于变量的奇函数，则；(2) 若是关于变量的偶函数，则.其中是的前半部分，. 同理可写出关于坐标平面（或）对称时的情形. 与二重积分类似，我们也可得到如下结论.定理2.2.2 设函数是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于原点对称，则(1) 若，则；(2) 若，则.其中，为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于的轮换对称性定义.定义2.2.1 设是一有界可度量的集几何体（可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的，都存在，存在，则称关于具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理2.2.3 设函数是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于具有轮换对称性，则. 3.1 对称性在第一型曲线积分计算中的应用本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论.定理3.1.1 设平面分段光滑曲线关于轴（或轴）对称，且在上有定义、可积，则(1) 若为关于（或）的奇函数，则；(2) 若为关于（或）的偶函数，则.其中.由定理3.1.1可得如下推论.推论3 设平面分段光滑曲线关于轴对称且关于轴对称，且在上有定义、可积，则 若关于均为偶函数，则， 其中.(2) 若关于或为奇函数，即或 ，则.当曲线关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理3.1.2 设平面分段光滑曲线关于原点对称，且在上有定义、可积，则(1) 若，则；(2) 若，则.其中为的上半平面或右半平面.关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.定理3.1.3 设平面分段光滑曲线关于具有轮换对称性，且在上有定义、可积，则.定理3.2.1 设为平面上分段光滑的定向曲线，为定义在上的连续函数； 当关于轴对称时： 若是关于的偶函数，则； 若是关于的奇函数，则， 若是关于的奇函数，则； 若是关于的偶函数，则；其中是位于轴上方的部分. 当关于轴对称时： 若是关于的奇函数，则； 若是关于的偶函数，则； 若是关于的偶函数，则； 若是关于的奇函数，则；其中是位于轴右方的部分. 当关于原点对称时： 若关于为偶函数，即且，则； 若关于为奇函数，即且，则.其中为对于轮换对称性，我们有如下定理.定理3.2.2 设为平面上分段光滑的定向曲线，为定义在上的连续函数.若曲线关于具有轮换对称性，则.的右半平面或上半平面部分.4.1 对称性在第一型曲面积分计算中的应用在第一型曲面积分的计算中，经常会碰到积分曲面关于某个坐标面对称的情形，与前几节类似，我们可以利用积分区域的对称性（关于坐标面、原点、轮换对称）及被积函数的奇偶性来简化第一型曲面积分的计算，下面给出相应的定理及例题.定理4.1.1 设分片光滑曲面关于坐标面对称，且在上有定义、可积，则 若为关于的奇函数，则； 若为关于的偶函数，则.其中.同理可写出曲面关于坐标面（或）对称的相应结论.对于轮换对称性，我们有如下定理.定理4.1.2 设分片光滑曲面关于具有轮换对称性，且在上有定义、可积，则.4.2对称性在第二型曲面积分计算中的应用 与第二型曲线积分一样，我们可以根据第二型曲面积分积分的定义及物理背景（计算流体流量），同样可以得到对称性在第二型曲面积分计算中的相关结论.定理4.2.1 设积分曲面光滑或分段光滑，且，曲面和的法线方向相反，若