1.1.1角的概念.doc

角的概念1.角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫正角.按顺时针方向旋转形成的角叫负角.如果一条射线没作任何旋转，我们称它形成了一个零角.其中正角、负角、零角统称为任意角.2.在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.4.终边落在x轴非负半轴的角的集合为：|=k360,kZ；终边落在y轴非负半轴的角的集合为：|=90+k360,kZ；终边落在x轴负半轴的角的集合为：|=180+k360,kZ；终边落在y轴负半轴的角的集合为：|=270+k360,kZ；5.第一象限角的集合为：|k360k360+90,kZ；第二象限角的集合为：|k360+90k360+180,kZ；第三象限角的集合为：|k360+180k360+270,kZ；第四象限角的集合为：|k360+270k360+360,kZ.一、角的概念的推广1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点.2.角的分类：正角、零角、负角.3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.是第一象限角可表示为|2k2k+,kZ；是第二象限角可表示为|2k+2k+,kZ；是第三象限角可表示为|2k+2k+,kZ；是第四象限角可表示为|2k+2k+2,kZ.4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在x轴非负半轴上的角的集合可记作：|=2k,kZ；终边落在x轴非正半轴上的角的集合可记作：|=2k+,kZ;终边落在y轴非负半轴上的角的集合可记作：|=2k+,kZ;终边落在y轴非正半轴上的角的集合可记作：|=2k+,kZ；终边落在坐标轴上的角可表示为：|=,kZ.5.终边相同的角:所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|=+2k,kZ.二、弧度制1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1，12周角=1 rad.3.弧度与角度的换算:360=2 rad;180= rad;1=rad0.017 45 rad；1 rad=（180）57.30=5718.4.弧长公式： l=|r（其中r为扇形的半径，为扇形圆心角的弧度数）.5.扇形的面积公式：S扇形=lr=|r2（其中r为扇形的半径，为扇形圆心角的弧度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750,图1-1-3中,正角=210,负角=-150,=-660. 图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角 象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角 所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示为角与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为|k36090+k360,kZ=|=+k360,090,kZ.第二象限角的集合为|k360+90180+k360,kZ=|=+k360,90180,kZ.第三象限角的集合为|180+k360270+k360,kZ=|=+k360,180270,kZ.第四象限角的集合为|270+k360360+k360,kZ=|=+k360,270360,kZ.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为|=k360,kZ.终边落在x轴负半轴上的角的集合为|=k360+180,kZ.终边落在x轴上的角的集合为|=k180,kZ.终边落在y轴正半轴上的角的集合为|=k360+90,kZ.终边落在y轴负半轴上的角的集合为|=k360+270,kZ.终边落在y轴上的角的集合为|=k180+90,kZ.终边落在坐标轴上的角的集合为|=k90,kZ.终边落在y=x上的角的集合为|=k180+45,kZ.终边落在y=-x上的角的集合为|=k180+135,kZ.终边落在y=x上的角的集合为|=k90+45,kZ.题组一：基础概念【题目】在直角坐标系中，作出下列各角：（1）360 （2）270 （3）390 （4）540【解】 【题目】设集合M=|为小于90的角，N=|为第一象限的角，则MN等于( )A|为锐角 B|为小于90的角 C|为第一象限角 D以上均不对解：小于90的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.MN由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.【题目】下列各命题正确的是( )A终边相同的角一定相等 B第一象限角都是锐角C锐角都是第一象限角 D小于90的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60和300是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60是小于90的角,但它不是锐角,应排除D.综上,应选C.答案：C【题目】下列命题中，正确的是（ ）A终边相同的角一定相等 B锐角都是第一象限角C第一象限的角都是锐角 D小于90的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指|k360k360+90，kZ，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.答案：B【题目】给出下列四个命题：（1）小于90的角是锐角；（2）钝角是第二象限角；（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。其中真命题的个数为 A0 B1 C2 D3【答案】B【题目】下列说法中，正确的是( )A第二象限的角是钝角B第二象限的角必大于第一象限的角C-150是第二象限角D-25216、46744、1 18744是终边相同的角思路分析：第二象限的角除包含钝角以外，还包含与钝角相差2k,kZ的角及若干负角，如460是第二象限的角但不是钝角；460是第二象限的角，730是第一象限角，显然460小于730；-150应为第三象限角，故A、B、C都是错误的.答案：D【题目】下列命题中的真命题是(D)A第一象限的角是锐角B小于90的角是第一象限角C第二象限的角比第一象限的角大D相等的角一定是终边相同的角【题目】设A=|为锐角，B=|为小于90的角，C=|为第一象限角，D=|为小于90的正角，则( )AA=B BB=C CA=C DA=D思路分析：A=|090，B|90，C=|k36090+k360,kZ，D|090，显然，A=D.答案：D【题目】已知A=锐角，B=0到90的角，C=第一象限角，D=小于90的角.求AB，AC，CD，AD.思路解析：搞清各集合的范围，是解题的关键.A=|090；B=|090;C=|k360k360+90,kZ;D=|90.AB=|090;AC=a|k360k360+90,kZCD=|k360k360+90,k为非正整数；AD=|90.【题目】判断下列命题是否正确，并说明理由小于90的角是锐角；第一象限的角小于第二象限的角；终边相同的角一定相等；相等的角终边一定相同；若90,180，则是第二象限角思路分析：利用各种角的定义进行判断.解：锐角集合是|090，即(0,90)，它是小于90的正角，而小于90的角还可以是负角和零角，显然是错误的；由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0360间的(0,90)与(90,180)，像390是第一象限角，120是第二象限角，显然390120，所以也是错误的；终边相同的角可能彼此相差360的整数倍，显然是错误的；由于角的顶点是原点，始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，显然是正确的；由于90、180都不是象限角，显然是错误的.辨析比较 第一象限角、小于90的角、090的角、锐角这四种角的范围有差别.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90的角应当包括锐角、零角及负角，在下一节学习了弧度制后，角变为实数，其大小关系更加明显.知识点五 已知角终边所在的象限，求 (nN,n1)所在的象限【题目】用集合表示下列各角：“0到90的角”“第一象限角”“锐角”“小于90的角”“090的角” 解：0到90的角的集合为|090第一象限角的集合为|k360k360+90，kZ锐角的集合为|090小于90的角的集合为|90090的角的集合为|090【题目】集合A=|=k90-36，kZ，B=|-180180，则AB等于（ ）A-36，54 B-126，144C-126，-36，54，144 D-126，54思路解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-1,0,1,2验证可知AB=-126,-36,54,144.答案：C【题目】已知角、的终边相同，那么-的终边在（ ）Ax轴的非负半轴上 By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上 Dy轴的非正半轴上解析：角、终边相同，=k360+,kZ,作差-=k360+-=k360，kZ.-的终边在x轴的非负半轴上.答案：A类题演练3题组二：终边相同的角与象限角【课本习题P5 3】已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角并指出它们是哪个象限的角（1）420；（2）75；（3）855；（4）510解：(1)第一象限；(2)第四象限；(3)第二象限；(4)第三象限.【题目】已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角并指出它们是哪个象限的角（1）490；（2）100；（3）760；（4）390解：(1)第二象限；(2)第三象限；(3)第一象限；(4)第四象限.如图.【题目】若为锐角，则角终边在第一象限，角180终边在第二象限，角180+终边在第三象限，角360终边在第四象限.【题目】30角是DA第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【课本例题P4例1】在0360范围内与95012角终边相同的角是AA 12948 B2948 C27948 D 20948【课本例题P4例1】95012角是BA第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【课本习题P5课后练习4】在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：（1）5418；（2）3958；（3）119030答案：（1）30542第四象限角；（2）358第一象限角；（3）24930第三象限角【课本习题P9A1】在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：（1）265；（2）1000；（3）84310；（4）3900答案：（1）95第二象限角；（2）80第一象限角；（3）23650第三象限角； （4）300第四象限角【题目】700角是DA第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【题目】400角是AA第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【题目】在0360范围内与1050角终边相同的角是AA 30 B120 C210 D 330【题目】下列各角与95角终边相同的角是DA5 B85 C395 D265【题目】已知=1 690，（1）把改写成+k360（kZ,0360）的形式；（2）求，使的终边与相同，且-360360，并判断属于第几象限解：（1）=250+4360（k=4,=250）.(2)与终边相同，角可写成250+k360.又-360360,-360250+k360360，kZ.解得k=-1或0.=-110或250,是第三象限角.变式提升2【题目】在720到720之间与1050角终边相同的角是_【答案】690，330，30，390【题目】在720到720之间与1050角终边相同的角是_.【解析】 与1050终边相同的角可写成：1050+k360（kZ）,7201050+k360720,330k3601770,整数k的值为1，2，3，4.所求角为690，330，30，390.【答案】 690，330，30，390【题目】在-720到720之间与角-1 000角终边相同的角是_解法一：与角-1 000终边相同的角的集合是S=|=-1 000+k360,kZ，S中适合-720到720之间的元素是-1 000+1360=-640,-1 000+2360=-280,-1 000+3360=80,-1 000+4360=440.解法二：-720-1 000+k360720，解得.kZ，k=1,2,3,4.把k=1,2,3,4分别代入=-1000+k360,kZ，可以得集合中的元素为-640,-280,80,440.答案：-640,-280,80,440【题目】将885化为k360（0360，kZ）的形式是A165（2）360 B195（3）360C195（2）360 D165（3）360【解析】 885195（1080）195（3）360.【答案】 B【题目】将下列各角表示为k360（kZ，0360的形式，并判断角在第几象限.（1）56024 （2）56024（3）290315（4）290315（5）3900（6）3900【解】 （1）560242002436056024与20024终边相同在第三象限（2）5602415936（2）36056024与15936终边相同在第二象限（3）29031523158360290315与2315终边相同在第一象限（4）29031533645（9）360290315与33645终边相同在第四象限（5）3900300103603900与300终边相同在第四象限（6）390060（11）3603900与60终边相同在第一象限【题目】与角-1 050终边相同的最小正角是_思路分析：由于-1 05030-3360，所以与角-1 050终边相同的最小正角是30.答案：30【题目】与1995的终边相同的绝对值最小的角是 【答案】165【题目】与角1560终边相同的角的集合中，最小正角是_，最大负角是_【解析】 1560=120+4360,1560=240+5360.【答案】 120 240【题目】(1)已知-990-630，且与120角的终边相同，则=_(2)在-720到720之间与-1 050角终边相同的角是_解析：(1)与120角终边相同,故有=k360+120,kZ.又-990-630,-990k360+120-630,即-1 110k360-750.当k=-3时,=(-3)360+120=-960.(2)与1 050角终边相同的所有的角可表示为=k360+(-1 050),kZ,依题意得-720k360-1 050720,解得k4,k=1,2,3,4.所求的角为1360-1 050=-690,2360-1 050=-330,3360-1 050=30,4360-1 050=390.答案：(1)-960 (2)-690,-330,30,390【题目】在360到360之间与1050角终边相同的角是AA330和30 B320和30 C330和20 D330和120【题目】在0到360范围内与21终边相同的角是339，在360到720范围内与 21终边相同的角有 3 个；分别是21，339，699【题目】如图1-1-5，写出终边落在直线y=上的角的集合.(用0到360的角表示)图1-1-5思路分析：先在0到360之间找到两个角，使得其终边分别与射线y=(x0)、y=(x0)重合，再写出与其终边相同的角的集合，最后求并集.解：终边落在y=(x0)上的角的集合是S1=|=60+k360,kZ；终边落在y=(x0)上的角的集合是S2=|=240+k360,kZ.于是，终边落在y=上的角的集合是S=S1S2=|=60+k360,kZ|=240+k360,kZ=|=60+2k180,kZ|=60+(2k+1)180,kZ=|=60+180的偶数倍|=60+180的奇数倍=|=60+180的整数倍=|=60+n180,nZ.图1-1-6巧妙变式：如图1-1-6，若角的终边落在y= (x0)与y=(x0)所夹的小区域内，求角的集合.思路点拨：应先写出终边落在y=(x0)与y=(x0)上的角的集合，再运用不等式写出所在小区域内的角的集合.所夹的小区域内角的集合是|30+k360150+k360,kZ.方法归纳 若过原点的直线l的倾斜角为，则终边落在直线l上的角的集合是|=+k180,kZ.当k取偶数时，表示终边落在直线l所在的上半平面部分；当k取奇数时，表示终边落在直线l所在的下半平面部分.求两条射线所夹区间角的集合的关键是找出与区间的两条边界终边相同的角的集合.知识点三 象限角的集合【课本例题P4例2】终边落在y轴上的角的集合为DA|=k360+90，kZ B|=k90+90，kZC|=k180，kZ D|=k180+90，kZ【课本例题P5例3】终边落在直线y=x上的角的集合为DA|=k360+45，kZ B|=k90+45，kZC|=k180-45，kZ D|=k180+45，kZ【课本习题P9 A2】终边落在x轴上的角的集合为CA|=k360+90，kZ B|=k90+90，kZC|=k180，kZ D|=k180+90，kZ【题目】终边落在x轴正半轴上的角的集合为AA|=k360，kZ B|=k180，kZC|=k90，kZ D|=k360+90，kZ【题目】终边在x轴非负半轴上角的集合是k360，kZ；终边在x轴上角的集合是=k，kZ,终边在第一象限的角的集合是.【题目】用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.解：（1）从图中看出，图中两个角的终边在一条直线上.在0360范围内，且另一个角为225，故所求集合为：S=|=45+k360，kZ|=225+k360,kZ.=|=45+2k180，kZ|=45+180+2k180,kZ.=|=45+2k180，kZ|=45+（2k+1）180,kZ.=|=45+n180，nZ(2)从图中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为：S=|=30+k360，kZ|=330+k360,kZ.=|=30+k360，kZ|=-30+360+k360,kZ.=|=30+k360，kZ|=-30+（k+1）360,kZ.=|=30+n360，nZ.(3)从图中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为：S=|=30+k360，kZ|=150+k360,kZ.=|=30+k360，kZ|=-30+180+2k180,kZ.=|=30+2k180，kZ|=-30+（2k+1）180,kZ.=|=（-1）n30+n180，nZ.3.任意角的概念【题目】若角的终边经过点P(-1,)，则与角终边相同的角的集合是( )A|=135+k360，kZ B|=150+k360，kZC|=120+k360，kZ D|=240+k360，kZ思路分析：如图，过点P作PMx轴于点M，在RtPMO中，|OM|=1,|MP|=,tanPOM=.POM=60.与角终边相同的角的集合是|=120+k360,kZ.答案：C【题目】 若=21，则与终边相同的角可以表示为 Ak360+21（kZ ） Bk180+21（kZ ） Ck36021（kZ ） Dk18021（kZ）【答案】C【课本习题P5 5】写出与225终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来：【解】 225135360与37023终边相同角的集合为S135k360，kZ在720360范围内的角分别是135，135360，135720.即135，225，585.【课本习题P9 A3】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360360的元素写出来：（1）60；（2）75；（3）82430；（4）475；（5）90；（6）270；（7）180；（8）0【解】 （1）60k360，kZ，300，60；（2）75k360，kZ，75，285；（3）82430k360，kZ，10430，82430；（4）475k360，kZ，245，475；（5）90k360，kZ，270，90；（6）270k360，kZ，90，270；（7）180k360，kZ，180，180；（8）k360，kZ，360，0【题目】与460终边相同的角可以表示成A460+k360（kZ） B100+k360（kZ）C260+k360（kZ） D260+k360（kZ）【解析】 460=2360+260460与260角终边相同，与460角终边相同的角可表示成260+k360（kZ）.【答案】 C【题目】与-457角终边相同角的集合是（ ）A|=k360+457,kZ B|=k360+97,kZC|=k360+263,kZ D|=k360-263,kZ解法1：-457=-2360+263,应选C.解法2：-457角与-97角终边相同，又-97角与263角终边相同，又263角与k360+263角终边相同，应选C.答案：C【题目】与-457终边相同的角的集合是( )A|=k360+457，kZ B|=k360+97，kZC|=k360+263，kZ D|=k360-263，kZ思路分析：本题考查终边相同的角的表示方法，可用特殊值法来研究.解法一：当k=-2时，有-457=-2360+263；也可采用定义分析.解法二：因为-457角与-97角终边相同，-97角与263角终边相同，所以-457角与263角终边相同；还可用排除法加以排除.解法三：因为-457角与-97角终边相同，容易排除A、B、D.答案：C【题目】写出与37023终边相同角的集合S，并把S中在720360间的角写出来.【解】 370231023360与37023终边相同角的集合为S1023k360，kZ在720360之间的角分别是1023，1023360，1023720.即1023，34937，70937.【题目】如果与x+45具有同一条终边，角与x-45具有同一条终边，那么与间的关系是（ ）A+=0 B-=0C+=k360,kZ D-=k360+90,kZ思路解析：利用终边相同的角的关系，分别写出、，找出它们的关系即可.由题意，得=k360+x+45,kZ；=n360+x-45,nZ.两式相减，得-=(k-n)360+90,(k-n)Z.答案：D【题目】在角的集合|=k90+45,kZ中,(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个属于区间(-360，360)内的角？思路分析：本题主要考查对=k90+45(kZ)所表示的角的认识，从代数角度看，取k=，-2，-1，0，1，2，可以得为，-135，-45，45，135，225，从图形角度看=k90+45(kZ)，即以角45为基础，依次加上90的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90，所得各角如图1-1-7所示.图1-1-7解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.(2)由-360k90+45360得k，又kZ，故k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.所以在给定的角的集合中属于区间(-360，360)的角共有8个.方法归纳 把代数计算与对图形的认识结合起来，会使这类问题处理起来更容易些.在数学学习中，数形结合的方法始终是解决问题的最重要的方法之一，做题时要注意这种思想的应用.【题目】若18090，则180与的终边A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于原点对称 D以上都不对【解法一】 特例法，不妨取=100,则180=280,这时100和280关于y轴对称.【解法二】 =90,180与终边关于90终边所在直线即y轴对称.【答案】 B 【题目】设P=|=k180+（1）k30，kZ，Q=|=k18030，kZ，则有AP=Q BPQ CPQ DPQ=【解析】 P=|=k180+（1）K30，kZ=|=n360+30,nZ|=n360+150，nZQ=|=n36030，nZ|=n360+18030，nZ=|=n36030，nZ|=n360+150，nZ|=n360+210，nZPQ.【答案】 B【题目】若Ak360，kZ；Bk180，kZ；Ck90，kZ，则下列关系中正确的是AABCBABCCABCDABC【解析】 集合A为终边在x轴非负半轴上角的集合；集合B为终边在x轴上角的集合；集合C为终边在坐标轴上角的集合；因此ABC.【答案】 D【题目】第一象限角的集合为 |k360k360+90，kZ；【题目】第二象限角的集合为 |k360+90k360+180，kZ；【题目】第三象限角的集合为 |k360+180k360+270，kZ；【题目】第四象限角的集合为 |k360+270k360+360，kZ.【题目】第一象限角的集合为AA|k360k360+90，kZ B|k360+90k360+180，kZC|k360+180k360+270，kZ D|k360+270k360+360，kZ【题目】第二象限角的集合为BA|k360k360+90，kZ B|k360+90k360+180，kZC|k360+180k360+270，kZ D|k360+270k360+360，kZ【题目】第三象限角的集合为CA|k360k360+90，kZ B|k360+90k360+180，kZC|k360+180k360+270，kZ D|k360+270k360+360，kZ【题目】第四象限角的集合为DA|k360k360+90，kZ B|k360+90k360+180，kZC|k360+1