2011高三数学专题复习：课本定义的用途、复数、立体几何大题解法、选择填空题解法、概率统计、高考三大压轴题解法等六大专题精编高考试题及复习资料.doc

高考专题 课本定义的用途 复数 例题几何大题 选择填空 概率统计 三大压轴题高考请谈定义的用途河北省井陉一中 梁彦庭 有关焦点三角形（椭圆或双曲线上一点和两个焦点构成的三角形）的题型，往往会用到圆锥曲线的定义。下例述：例1. P是椭圆+1上 的点，F1、为其焦点，若F1PF290，求PF1F2的面积。分析：由已知可以求出长轴为10，由定义可得PF1 +PF210，两边平方，得PF12+PF22=100-2|PF1|PF2|，这是一个联系PF12+PF22和|PF1|PF2|的式子，这也是一个隐藏条件，在涉及到焦点三角形的题型中常常会用到。同样，在双曲线中也有这个应用，如例2。解：SPF1PF2，而PF1 +PF210 （1），PF12+PF22=F1F22=36 （2），（1）2-（2），得： PF1PF232，S16.例2.设F1和F2为双曲线-y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2=90.求F1PF2的面积。解：由已知可得，F1(-，0)，F2(，0)F1F2=2,F1F22=20 由F1PF2=90,得20=FFPF1+PF 由双曲线定义得PF1-PF=2a=4，平方得PF12+PF22-2PF1PF1=16 -得2PF1PF2=4 S=PF1PF2=1例3.已知椭圆的焦点为F1(0，-1)和F2(0，1)，直线 y=4是椭圆的一条准线.点P在椭圆上，且PF1-PF2=1，求tgF1PF2的值.解：如图.由椭圆定义及a=2有PF1+PF2=4 （应用了定义）由题设有PF1-PF2=1 解出PF1=，PF2=，又F1F2 =2. 在PF1F2中，F1PF2=，cos=，从而sin=，tg=，tgF1PF2=.例4.椭圆+=1上一点P与两焦点 F1F2连线所成的角F1PF2=，求F1PF2的面积；若将椭圆变成双曲线-=1 ，求F1PF2的面积. 解：(1)(2c)=|PF1|+|PF2|-2|PF1|PF2|cosa=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|(1+cosa) |PF1|PF2|=, S=|PF1|PF2|sina=btg,(2). (2c)=(|PF1|-|PF2|)+2|PF1|PF2|(1-cos)，|P F1|PF2|=,S=bctg.高考谈关于复数的考查题型河北省井陉一中 梁彦庭 考试内容：复数的概念、复数的加法和减法、复数的乘法和除法、数系的扩充。考试要求：（）理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示和几何意义。（）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。在高考中，这一部分一般只会出一个小题，不会太难，只要搞懂最基础的知识就可以了，下面通过今年的高考题来说明：一.考查复数的有关概念：1.若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 分析：只需把化成虚部和实部的形式，让实部为零且虚部不为零即可。2若，其中、，使虚数单位，则(D). . . .分析：考查两个复数相等的充要条件，把等号两边化成实部和虚部的形式，然后让实部等于实部，虚部等于虚部列一个方程组求出、，即可。3. 复数的共轭复数是（ B ）ABCD4. 若复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ C ）A2B4 C6 D6 二.考查复数的基本运算：1. （湖北卷）（ C ）ABCD2. （湖南卷）复数zii2i3i4的值是（B）A1B0C1DI 分析：考查复数的周期性。3. （ A ）ABCD 分析：先化简底数，然后根据复数的周期性进行运算。4. 设复数：为实数，则x=（ A）A2B1C1D2 5.在复数范围内解方程(i为虚数单位) 解原方程化简为, 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=, 原方程的解是z=-i.6. 设、，若为实数，则 ( A)(A) (B) (C) (D) 7. 已知复数.8. （ D ）（A） （B） （C）1 （D）三.考查复数的几何意义：1. 复数在复平面内，z所对应的点在（B ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 分析：把复数化成实部和虚部的形式，然后通过实部（点的横坐标）和虚部（点的纵坐标）的符号判定复数对应点所在的象限。2. 在复平面内，复数(1i)2对应的点位于 ( B )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限高考谈立体几何大题方向及解题析河北省井陉一中 梁彦庭 着陆点：重庆卷文理第19题如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。PEADFMBC导游风向标：本小题是一道立体几何题，主要考查线面关系、四棱锥等基础知识以及空间想象能力、推理能力和基本运算能力，满分12分。本题第一小题学生的证明方法与参考解答大同小异，还有部分学生用空间向量的方法来证明；第二小题除评分参考答案上的解法和空间向量的解法外，文科学生使用射影面积公式或用三个角的余弦关系来解。理科学生的解法有：过C作CGEF的延长线于G，连AG或过C作CGDE交EF的延长线于G，连AG，后面的过程类似于参考解答；利用等体积的方法，设C到面AEF的距离为h，AB=，由，又令AC与面AEF所成的角为，则；线面平行的等距离法，由已知可得PD面AEM，而CD面AEM，所以C到面AEM的距离为D到面AEM的距离，即DE的值为C到面AEM的高长，从而轻松获解。本题第一小题学生出现的错误有：条件不全或写了一堆与结论无关的条件或把已知抄下来，然后便得出结论或向量坐标取得非常特殊等；第二小题文科学生的错误有：对二面角的定义未真正理解，把EMD、EBD、MFC作为二面角的平面角；不能确定射影面积公式中哪个为射影三角形，哪个为原三角形。理科学生的错误有：一是不知道如何作辅助线或根本无从下手；二是把FAC当成了所求的线面角；三是找出了AF与底面所成的角与所求的线面角不符。文理科学生共同的问题是书写不规范。这些问题都说明，学生审题不仔细，线线与线面的垂直、平行关系不是很清楚，空间观念和推理能力欠佳。试题分析： （1）证明：因PA底面，有PAAB，又知ABAD，故AB面PAD，推得BAAE，又AMCDEF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AMMF.又因AEPD，AECD，故AE面PCD，而MFAE，得MF面PCD，故MFPC，因此MF是AB与PC的公垂线.（2）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上.易知PD面MAE，故DEBE，又OHBE，故OH/DE，因此OH面MAE.连结AH，则HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 设AB=a，则PA=3a， .因RtADERtPDA，故高考数学前三大题突破训练（1-10）（一）17.已知为的最小正周期， ，且求的值18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率19.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知ABC45，AB2，BC=2，SASB。()证明：SABC；()求直线SD与平面SAB所成角的大小；（二）17.在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。19. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。()求证：EF平面SAD；()设SD = 2CD，求二面角AEFD的大小ABCDSEF（三）17.已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率19. 在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值（四）17.已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率19. 如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。（五）17.已知函数求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间18. 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。19. 如图，在四棱锥中，侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离（六）17. 设函数f(x)=ab，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，xR.（）若f(x)=1且x，求x；（）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.18. 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：()抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；()抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；()抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.19. 如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。（七）17.设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围18. 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .现3人各投篮1次,求:()3人都投进的概率;()3人中恰有2人投进的概率.ABCDEFPQHG19. 如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH（）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若，求与平面PQEF所成角的正弦值（八）17.在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值18.甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95（）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；（）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率.19. 如图，正四棱柱中，点在上且ABCDEA1B1C1D1（）证明：平面；（）求二面角的大小（九）17.在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求18. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.()若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；()若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.19. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的 正切值为，求二面角EAFC的余弦值。（十）17.设函数，其中向量，且的图象经过点（）求实数的值；（）求函数的最小值及此时值的集合18. 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：（）这三个电话是打给同一个人的概率；（）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；A1AC1B1BDC19. 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，（）证明：平面平面；（）求二面角的大小参考答案（一）17.解：因为为的最小正周期，故因，又故由于，所以18. 解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜所求概率为0.09乙连胜四局的概率为0.09（2）丙连胜三局的对阵情况如下：第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜故丙三连胜的概率0.40.5（1-0.4）0.60.16219. 解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，DBCAS又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为解法二：DBCAS（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以又，为等腰直角三角形，如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为（二）17.解：（），又，（），边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：所以，最小边18. 解：（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则答：抛掷2次，向上的数不同的概率为（II）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。向上的数之和为6的结果有、5种，AAEBCFSDGMyzx答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为19.(1）如图，建立空间直角坐标系设，则，取的中点，则平面平面，所以平面（2）不妨设，则中点M又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为（三）17.解：（）设中角的对边分别为，则由，可得，（），即当时，；当时，18. 解:（1）（2）方法一：方法二：方法三：19. （I）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为（四）17. 解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是18. 解：（）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为（）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为19. 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为。（五）17.解：（I）函数的最小正周期是；（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）18. 解：设表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i0，1；表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i0，1，2；（1）依题意所求的概率为(2)解法一：所求的概率为解法二：所求的概率为19.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以所以异面直线所成的角的余弦值为：(2)设平面PCD的法向量为，所以 ；令x=1,则y=z=1,所以 又则，点A到平面PCD的距离为：w（六）17.解：（）依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1，得sin(2 x +)=.-x，-2x+，2x+=-，即x=-.（）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(xm)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由（）得 f(x)=2sin2(x+)+1.|m|，m=-，n=1. 18. 解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为所以.19. 解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，ABCDPxyzH连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为（七）17.解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知，所以由此有，所以，的取值范围为18. 解: ()记甲投进为事件A1 ， 乙投进为事件A2 ， 丙投进为事件A3，则 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ， P(A1A2A3)=P(A1) P(A2) P(A3) = = 3人都投进的概率为() 设“3人中恰有2人投进为事件BP(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =P()P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P(A1)P(A2)P() =(1) + (1) + (1) = 3人中恰有2人投进的概率为19. 以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分（）解：由（）知是平面的法向量由为中点可知，分别为，的中点所以，因此与平面所成角的正弦值等于（八）17.解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值18. 解：（I）任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为（II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为ABCDEA1B1C1D1yxz解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为19. 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，-3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为（九）17解：（1）又解得，是锐角（2），又18. 解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.由题意，得 所以，化简，得解得，或（舍去），19. 由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为（十）17.解：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为18. 解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.由题意，得 所以，A1AC1B1BDCzyx化简，得解得，或（舍去），19. （）如图，建立空间直角坐标系，则，点坐标为，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，如图，可取，则，即二面角为 选择、填空题专题练习班级： 姓名：1已知全集U=R，集合（ ）Ax|x2Bx|x2Cx|1x2Dx|1x22设已知且，则的取值范围是： ( ) A B. C. D.3设是函数的导函数,的图象如图所示，则的图象最有可能的是O12xyxyyO12yO12xO12xABCDO12xy题5图4直线垂直的充要条件是（ ）ABCD5命题“”的否定为 （ ）(A) (B) (C) (D) 6. 若平面四边形满足,则该四边形一定是A直角梯形 B矩形 C菱形 D正方形2,4,67有一棱长为的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为A B2 C3 D48若，则一定不属于的区间是 ( ) A B C D 9等差数列an 中，a3 =2，则该数列的前5项的和为( ) A10 B16 C 20 D3210不等式成立的充分不必要条件是A或 B或 CD 二、填空题 （每题5分，满分20分，请将答案填写在题中横线上）11. 线性回归方程必过的定点坐标是_.否是开始输入f 0 (x )结束=2008输出 f i (x)12. .在如下程序框图中，已知：，则输出的是_.13. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运 动到（0，1），接着它按如图所示的x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）（0，1）（1，1）（1，0）（2，0），且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这个粒子所处的位置的坐标为_。14. 从以下两个小题中选做一题（只能做其中一个，做两个按得 分最低的记分）（1）设直线参数方程为（为参数），则它的截距式方程为 。（2）如图AB是O的直径，P为AB延长线上一点，PC切 O于点C，PC=4，PB=2。则O的半径等于 ；选择、填空题专题练习（一）参考答案：BDCDB CBCAD11. 12. 13. 14.（1） 14（2）. 3 高中数学高考综合复习专题 概率与统计（二）一、知识网络： 二、高考考点：1.离散型随机变量的分布列、期望与方差以及运用期望与方差的意义解决实际问题；2.抽样方法的概念与区别；3.总体分布值所用的计算；正态分布的公式以及正态分布曲线的性质应用；4.线性相关以及回归方程的意义。三、知识要点：（二）统计1、抽样方法统计的基本思想是用样本估计总体，即通常不是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。1o简单随机抽样设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，并且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。认知：（）简单随机抽样的特点总体的个体数有限；从总体中逐个地进行抽取；等概率（不放回）抽样（）通过逐个抽取的方法从总体中抽取一个容量为n的样本，每次抽取一个样本时各个个体被抽到的概率（记为P1）相等，并且在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率（记为P2）也相等，但这里P1P2。公式：如果运用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则（在整个抽样过程中）每个个体被抽到的概率为 。（1）抽签法将总体中所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。（2）随机数表法事先制好随机数表，表中共随机出现0，1，2，9十个数字且在表中每个位置上出现各个数字的概率都是相等的，在此基础上，严格按照课本介绍的步骤进行。2o系统抽样（1）定义当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样。系统抽样与简单随机抽样的联系在于：将总体匀分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样。（2）系统抽样的步骤编号：采用随机方式将总体中的个体编号；分段：将整个编号进行分段，分段的间隔 ；当 时，在随机性和客观性的保障下，从总体中剔除一些个体后使剩下的总体中的个数N能被n整除，并取 ；确定起始个体编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号 ；按照事先确定的规则抽取样本：通常是将 加上间隔 ，得到第2个编号 + ，再将（ + ）加上 ，得到第3个编号 + ，如此继续下去，直到获得整个样本。3o 分层抽样（1）定义当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，而后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层，分层抽样与简单随机抽样或系统抽样的联系：将总体分成几层，分层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样。（2）分层抽样的特点分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，按照各层所占比例抽取样本。小结：三种抽样方法的比较类别共同点 各自特点相互联系适用范围简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少系统抽样 将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽取时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取。各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2、总体分布的估计用样本的某种特征去估计总体的相应特征，是统计学处理问题的基本方法，其中的重要方面，是利用样本的频率分布估计总体取值的概率分布规律（总体分布），即利用频率分布表、条形图及频率分布直方图去估计分布。1o 第一种情况当总体中的个体取的值很少时，其频率分布的表示形式主要有两种：（1）频率分布表：由所取样本的不同数值及其相应频率构制而成。试验结果频数频率第一组个体所取数值 第二组个体所取数值 在这里，对总体中的个体所取数值进行分组之后，落在各个小组内的数值的个数叫做频数，每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率，其特点是：在对n个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数的总和等于样本容量，各组频率的总和则等1。（2）条形图：上述频率分布表的几何表示其中，横轴表示试验结果的若干情况（即个体的若干取值），纵轴表示各试验结果的频率值（即个体取不同数值的频率），条形图是用其高度表示取各值的频率（参见课本典型问题的条形图）。2o 第二种情况当总体中的个体取不同数值较多，甚至无限时，其频率分布的表示形式为以下两种形式：（1）频率分布表研究一批数据的频率分布，一般按以下步骤进行计算数据中最大值与最小值的差（极差），了解这批数据变动的范围。决定组数与组距：根据一批数据的多少，将数据分成若干组，目的是描述数据分布的规律，组距是指每个小组的两个端点之间的距离。决定分点：使分点与数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点。列出频率分布表：已知数据落在各小组内的数据的个数叫做这一小组的频数，每小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率，计算出各个小组的频率，填入表中分组频数累计频数频率 这个表叫做频率分布表（2）频率分布直方图为将频率分布表中的结果直观形象地表示出来，常常绘制出频率分布直方图：以横轴表示各组分布，纵轴表示（各组）频率与组距的比值，以各个组距为底，以各组频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便得到频率分布直方图，在这里，每个矩形面积都等于相应小组的频率，即小矩形面积= ；各组频率之和等于1，即各小矩形的面积之和为1。3o 两种情况的比较与延伸有比较才能有鉴别，比较与鉴别是深化认知的基本途径。（1）上述两种情况的不同之处情况1的频率分布表中列出的是几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度来表示各个值的频率；情况2的频率分布表列出的是在各个不同区间内取值（连续型总体）的频率，相应的直方图是用矩形面积的大小来表示在相应区间内取值的频率。（2）延伸当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小时，频率直方图便会无限接近于一条光滑曲线总体密度曲线，总体密度曲线反映了总体分布，即反映了总体在各个范围内取值的概率，根据这一曲线，可求出总体在区间（ ）内取值的概率：它等于总体密度曲线，直线 轴共同围成的图形面积。认知：同一试验中的每次抽取个体，可以看成在同一随机试验下相应随机变量所取的一个值，当总体与随机变量如此沟通之后，总体分布即相应的随机变量的频率分布，于是，我们可以运用概率的理论来研究和解决统计问题。3、正态分布（1）定义如果随机变量的概率密度函数为 ，则称服从参数为的正态分布，记作N（ ）， 的图象称为正态曲线。特例：当=0，=1时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表达式为 ，相应的曲线称为标准正态曲线。认知：（）若N（ ），则参数表示总体的平均数：E=；参数表示总体的标准差： （）当N（ ）时， 。（2）正态曲线的性质（）曲线在x轴上方，与x轴不相交；（）曲线关于直线x=对称；（）当x=时曲线位于最高点；（）当x时，曲线上升，当x时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，向x轴无限靠近，呈现出“中间高、两边低”的钟型曲线。（）当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线矮胖，表示总体的分布越分散；越小，曲线瘦高，表示总体的分布越集中。（）当相同时，正态分布曲线的位置由期望值确定。（3）正态分布与标准正态分布如果随机变量的概率密度函数为 ，则称服从标准正态分布，即（0，1）。1o 当（0，1）时，在标准正态分布表中，相应于x0的值(x0)是指总体取值小于x0的概率，即(x0)=P（xx0）其中，当x00时，(x0)的值可在标准正态分布表中查到；当x00时，由(x0)=1-(-x0)计算(x0)的值。在这里，标准正态曲线与x轴之间的区域面积表示总体取值的概率，其值为1。 据此通过查出标准正态分布表中x=a，x=b时(x)的值，进而计算出概率 2o 当N（ ）时，（） ；（） ； （4）假设检验方法的基本思想与生产过程中质量控制图（）假设检验的基本思想根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设。假设检验是就正态总体而言，进行假设检验的三部曲为提出统计假设，统计假设中的变量服从正态分布 ；确定一次实验中的取值 是否落入范围 ；作出推断：如果 ，则接受统计假设；如果 ，则拒绝统计假设。（）生产过程中的质量控制图及其原理生产过程中的质量控制图及其原理，根据上述假设检验的基本思想制作：将正态分布曲线顺时针旋转90o即得质量控制图（本书从略）。四、经典例题例1、某单位有120人，其中青年技术工人60人，工程师36人，技术研究人员24人，从中抽取一个容量为20人的样本，分别采用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方法，试论证不论哪种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是相等的。 证明：（1）简单随机抽样法：每个个体被抽到的概率均为 ；（2）系统抽样方法：将120人平均分成20个小组，每组6人，每组取1人，则每个个体被抽到的概率也是 ；（3）分层抽样法：青年技工、工程师、研究员之比为60：36：24=5：3：2，又 ， ， ，故应当从青年技工、工程师、研究员中分别抽取10人，6人，4人，每个个体被抽到的概率分别为 ， ， ，即均为 ；于时可知，不论采用哪一种抽样方法，总体的每一个个体被抽到的概率都是 。点评：简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法，这三种抽样方法既存在差异又相互联系，三种抽样方法的共同点：在抽样过程中，每一个个体被抽到的概率都是相等的，均等于样本容量n与总体中的个体数量N的比值 。例2 、（1）某中学高一年级组有400人，高二年级组有320人，高三年级组有280人，以每人被抽取的概率为0.2，向该中学抽取一个容量为n的样本，则n= ；（2）若从高一的107名学生中，采