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指数与指数函数指数与指数函数 知识梳理知识梳理 一 指数运算一 指数运算 1 根式 根式 1 概念 若 则称 x 为 a 的 n 次方根 是方根的记号 n xa Nnn且 1 n 2 a 的 n 次方根的性质 在实数范围内 正数的奇次方根是一个正数 负数的奇次方根是一个负数 0 的奇次方根是 0 正数的偶次方 根是两个绝对值相等符号相反的数 0 的偶次方根是 0 负数没有偶次方根 n n aa n 为奇数 a n 为偶数 a nn a nn a 0 0 aa aa 2 有理数指数幂 有理数指数幂 1 分数指数幂的意义 注 无意义 0 1 0 Raaa 且 0 0 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 2 指数幂的运算性质 0 rsr s aaaar sR 0 rsr s aaaar sR 0 s rrs aaar sR 0 r rr ababa brR 二 指数函数二 指数函数 1 指数函数的概念 指数函数的概念 一般地 函数叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域为 1 0 aaay x 且 R 注意 注意 指数函数的底数的取值范围 底数不能是负数 零和 1 2 指数函数 指数函数的图象与性质的图象与性质 1 0 aaay x 0 a1 图象 x O y 1 0 1 xO y 1 0 1 定义域定义域 R 值域为 值域为 0 过定点 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 当时 0 x10 y 当时 0 x1 y 当时 0 x1 y 当时 0 x10 y 性质 在在 R 上单调递减上单调递减 在在 R 上单调递增上单调递增 典型例题典型例题 题型一 根式的化简 指数幂的运算题型一 根式的化简 指数幂的运算 例题例题 1 化简 1 2 3 7 7 2 4 4 3 4 4 2 a 解析 1 2 3 2 2 7 7 3 3 4 4 4 4 2 a 2 2 2 2 aa aa 点评 不注意 n 的奇偶性对式子的值的影响 是导致问题出现的一个重要原因 要在理解的基础上 记准 nn a 记熟 会用 活用 本题易错的是第 3 题 往往忽视 a 与 2 大小的讨论 造成错解 例题例题 2 计算 1 2 10 1 1 23 0 25610 23 23 33 3 3 6 3 解析 1 原式 382032101 2 3 4 2 3 3 3 3 3 3 32 9 3 3 3 6 3 2 1 3 1 6 1 6 1 3 1 2 1 1 点评 利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时 其顺序是先把根式化为分数指数幂 再由幂的运算性质来运算 变式变式 1 化简 1 3 1 3 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 bababa 2 14623 yxyx 0 0 yx yy 3 52 674 364 2 解析 1 原式 3 1 3 6 1 2 1 3 2 a 6 5 3 1 2 1 baab99 0 2 原式 2 11 2 1 6 22 2 1 1 2 1 4 6 6 3 1 yyxyxyx 3 原式 22223223 22 32 23 222 点评 本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力 一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式 变式变式 2 若 则 103 x 104 y 2 10 x y 解析 4 9 431010101010 2 2 22 yxyxyx 点评 本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用 将 看作一个整体 再进行代数运10 x10y 算 题型二 指数函数概念 定义域和值域题型二 指数函数概念 定义域和值域 例题例题 3 下列函数中属于指数函数的有 个 1 2 3 4 5 6 7 x y32 1 3 x y x y 3 x y 3 1 2 3xy x y 4 x ay 12 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 选 A 只有 4 6 属于指数函数的形式 1 0 aaay x 点评 在判断是否为指数函数时 应严格按照的形式来判断 特别要注意函数中是否有表 1 0 aaay x 明的取值范围 a 例题例题 4 求下列函数的定义域和值域 求下列函数的定义域和值域 1 2 2 3 y ax 1 a 0 a 1 y 4 1 x y 3 2 x 解析 1 令 x 4 0 则 x 4 所以函数 y 2的定义域是 x R x 4 4 1 x 又因为 0 所以 2 1 即函数 y 2的值域是 y y 0 且 y 1 4 1 x 4 1 x4 1 x 2 因为 x 0 所以只有 x 0 因此函数 y 的定义域是 x x 0 3 2 x 而 y 0 1 即函数 y 的值域是 y y 1 3 2 x 3 2 3 2 x 3 定义域为 R 因为的值域为 所以的值域为 x ay 0 1 x ay 1 点评 由于指数函数 y ax a 0 且 a 1 的定义域是 R 所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指 数函数的定义域来求 并利用好指数函数的单调性 例题例题 5 如图 设 a b c d 0 且不等于 1 y ax y bx y cx y dx 在同一坐标系中的图象如图 则 a b c d 的大小顺序 A a b c d B a b d c C b a d c D b a c d 解析 a1 a 直线 x 1 与各函数图象交点的纵坐标为底数值 故 b a d1 时 指数函数底数越大 图象越靠近 y 轴 当 0 底数5 aaay x 解析 因为 y ax过点 0 1 所以当 x 0 时 y 1 5 6 所以原函数过定点 0 6 点评 解决定点问题 关键是理解指数函数的定点 变式变式 4 已知指数函数的图象过点 3 1 求的值 3 1 0 fff 2 利用图像比较三个函数值的大小 解析 1 设指数函数 f x ax a 0 且 a 1 因为图象过点 3 所以 f 3 a3 即 a f x x 3 1 3 1 再把 0 1 3 分别代入 得 f 0 0 1 f 1 1 f 3 1 1 2 由图易知 f 1 f 0 f 3 点评 根据待定系数法求函数解析式 这是方程思想的运用 变式变式 5 当时 函数和的图象只可能是 a 0yaxb ax by 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O A B C D 解析 选项 A 中一次函数 指数函数应是减函数 故 A 对 1 0 ba 选项 B 中一次函数 指数函数应是增函数 故 B 错 1 0 ba 选项 C 中一次函数 指数函数应是减函数 故 C 错 1 0 ba y dx y cxy bx y ax O y x 选项 D 中一次函数 指数函数应是增函数 故 D 错 1 0 ba 故答案选 A 点评 利用一次函数和指数函数的关系来确定图象 是本题的关键 ba 题型三 解指数式方程 不等式题型三 解指数式方程 不等式 例题例题 6 解下列方程 1 2 1232 1 xx 12 12 2 xx 解析 1 23661232 3 1 1232 1 x xxxxx 2 3401212 212 2 xxxx xx 或 点评 解此类方程时 常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解 例题例题 7 解下列不等式 1 2 16 14 x14 2 2 1 x x 解析 1 4 1 01416 14 xx x 2 5 1 14222 2 1 1414 xxx xxx x 点评 解此类不等式时 常化为同底 再利用函数单调性求解 变式变式 6 解下列方程 1 2 27329 1 xx 2353 252 xx 解析 1 原方程化为 6 3 x 27 0 3 x 3 3 x 9 0 2 3 x 3 x 30 由 3 x 9 0 得 3 x 32 故 x 2 是原方程的解 2 原方程化为 0235 3 3 222 xx 0 23 13 23 xx 得 0 23 2 x 013 3 x 13 3 x 3 x 点评 解类一元二次方程时要注意运用整体的思想 例如题 1 把看成未知数 解得的一元二次方程 x 3x 的根等于 再解出最终结果 解得的结果一定要进行检验 x 3 题型四 指数函数性质的应用题型四 指数函数性质的应用 例题例题 8 比较下列两个数的大小 1 2 0 70 8 3 3 0 1 0 1 0 75 0 75 3 4 2 1 60 6 0 8 1 8 3 2 3 1 5 3 解析 利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较 对 1 因为函数 y 3x在 R 上是增函数 0 8 0 7 所以 30 8 30 7 对 2 因为函数 y 0 75x在 R 上是减函数 0 1 0 1 所以 0 75 0 1 0 750 1 对 3 由指数函数的性质知 1 80 6 1 80 1 0 80 0 81 6 所以 1 80 6 0 81 6 对 4 由指数函数的性质知 0 1 20 2 所以 2 3 1 3 2 3 1 5 3 3 1 3 2 5 3 点评 首先把这两个数看作指数函数的两个函数值 利用指数函数的单调性比较 若两个数不是同一函数的两 个函数值 则寻求一个中间量 1 两个数都与这个中间量进行比较 然后得两个数的大小 数学上称这种方法 为 中间量法 例题例题 9 求函数的单调区间和值域 23 2 3 1 2 xx y 解析 令在上递减 在上递增 又为减函数 22 31 32 24 uxxx 3 2 3 2 u y 3 1 2 所以在上递增 在上递减 当时 为最大值 23 2 3 1 2 xx y 3 2 3 2 2 3 x 4 4 1 32 3 1 2 y 所以的值域为 23 2 3 1 2 xx y 32 0 4 点评 首先要考察函数的定义域 再利用复合函数单调性的判断方法 同增异减 来判断单调区间 变式变式 7 已知是奇函数 求常数的值 mxf x 13 2 m 解析 由是奇函数 得 xf0 xfxf 即 得 0 13 2 13 2 mm xx 02 31 32 13 2 m x x x 02 31 13 2 m x x 1 m 点评 此题中函数的定义域为 所以不能利用来求解 应利用奇函数的定义求0 x0 0 f xfxf 出值 m 变式变式 8 判断函数的单调性 奇偶性 12 12 x x xf 解析 任取 使 Rxx 21 21 xx 12 12 22 2 12 12 12 12 21 21 2 2 1 1 21 xx xx x x x x xfxf 因为 所以 为增函数 所以 所以 02 x 0 12 12 21 xxx y2 022 21 xx 0 21 xfxf 所以在上单调递增 xfR 所以为奇函数 21 21 12 2 12 2 12 12 xfxf x x xx xx x x xf 点评 在判断一个函数的单调性和奇偶性时 要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断 在判断此题函数的奇 偶性时 通过分子分母同乘化简 从而比较与的关系 x 2 xf xf 方法与技巧总结方法与技巧总结 1 在进行有理数指数幂运算时 运算的方法及步骤为 根式运算时 常转化为分数指数幂 根式化为分数指数幂时 由里往外依次进行 有分式的转化为负数指数幂 底数尽量化为一致 四则运算的顺序是先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号的先算括号内的 整数幂的运算性质及运算 规律扩充到分数指数幂后 其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 2 指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域 值域 过定点 单调性 奇偶性 图像特征 要用到数形结 合思想 分类讨论思想 题库题目仅供选择使用 巩固练习巩固练习 1 下列各式中正确的是 A a B C a 0 1 D 44 a 6 2 2 3 2 10 5 12 12 2 将化为分数指数幂的形式为 3 22 A B C D 2 1 2 3 1 2 2 1 2 6 5 2 3 函数 f x 的定义域是 x 21 A B 0 0 C D 0 4 下列函数中 值域为的函数是 0 A B C D x y 2 3 12 x y12 x y x y 2 2 1 5 已知指数函数图像经过点 则 3 1 p 3 f 6 若 a 1 则 a 的取值范围为 12 2 a a 7 48 37 3 27 10 2 1 0 9 7 2 0 3 2 2 2 1 8 若函数是奇函数 则 14 1 x axfa 9 已知函数 求其单调区间及值域 2 25 1 3 xx y 10 已知函数 f x xx 22 1 用函数单调性定义及指数函数性质证明 是区间上的增函数 f x 0 2 若 求的值 325 x xfx 课后作业课后作业 1 下列各式中成立的一项 A B C D 7 1 77 mn m n 3 12 4 3 3 4 3 4 33 yxyx 33 39 2 化简 a b 为正数 的结果是 4 2 1 6 1 3 2332 b ab baab A B ab C D a2b a b b a 3 设 则 1 5 0 90 48 123 1 4 8 2 yyy A B C D 312 yyy 213 yyy 132 yyy 123 yyy 4 函数的图象如图 其中 a b 为常数 则下列结论正确的是 bx axf A B 0 1 ba0 1 ba C D 0 10 ba0 10 ba 5 函数的定义域是 1 x ye A B C D 0 0 1 1 6 函数在区间上是增函数 则实数的取值范围是 1 1 2 2 2 xax xf 5 a A 6 B C D 6 6 6 7 设 5x 4 5y 2 则 yx 2 5 8 105 4 3 2 0625 0 8 3 3 4 1 6 9 函数的图象恒过定点 10 3 3 aaay x 且 10 若函数是奇函数 则 14 1 x axfa 11 已知 求的最小值与最大值 3 2x 11 1 42 xx f x 12 已知 xx xx xf 1010 1010 1 判断函数的奇偶性 2 证明 是定义域内的增函数 xf 3 求的值域 xf 拓展训练拓展训练 1 化简 结果是 11111 3216842 1212121212 A B C D 1 1 32 1 1 2 2 1 1 32 1 2 1 32 1 2 1 32 1 1 2 2 2 若函数的图像经过第一 三 四象限 则一定有 1 0 1 x yabaa A B 01 ba且010 ba且 C D 010 ba且11 ba且 3 设集合 则是 2 3 1 x Sy yxR Ty yxxR ST A B C D 有限集 TS 4 是偶函数 且不恒等于零 则 2 1 0 21 x F xf x x f x f x A 是奇函数 B 可能是奇函数 也可能是偶函数 C 是偶函数 D 不是奇函数 也不是偶函数 5 函数的图象是 1 aay x 6 函数164xy 的值域是 A 0 B 0 4 C 0 4 D 0 4 7 2010 重庆 函数 41 2 x x f x 的图象 A 关于原点对称 B 关于直线 y x 对称 C 关于 x 轴对称 D 关于 y 轴对称 8 方程的解 084172 14 xx x 9 函数在区间上的最大值比最小值大 则 10 aaaxf x 且 2 1 2 a a 10 若 求的值 3 2 1 2 1 xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 11 如果函数在上的最大值为 14 求实数的值 10 12 2 aaaay xx 且 1 1 a 12 已知 1 0 1 2 aaaa a a xf xx 1 判断的奇偶性 xf 2 讨论的单调性 xf 3 当时 恒成立 求 b 的取值范围 1 1 xbxf 13 2006 重庆文 已知定义域为 R 的函数 a b xf x x 1 2 2 是奇函数 1 求 a b 的值 2 若对任意的Rt 不等式0 2 2 22 ktfttf恒成立 求 k 的取值范围 参考答案参考答案 一 巩固练习答案一 巩固练习答案 1 选 D 2 选 原式 A 2 1 3 1 2 1 1 22 3 选 由得 从而 A021 x 12 x 0 x 4 选 注意先确定定义域 D 5 设 把代入得 27 1 x ay 3 1 3 1 a 27 1 3 1 3 3 f 6 得 所以 1 a1 1 12 22 aaaa01 a1 a 7 100 原式 100 48 37 3 16 9 100 3 5 8 由得 2 1 0 0 f 2 1 a 9 解 令 由于为减函数 所以在单调递增 在4 1 52 22 xxxu u y 3 1 2 25 1 3 xx y 1 单调递减 当时 取到最大值 所以值域为 1 1 xy 81 1 81 1 0 10 1 证明 任取 使 Rxx 21 21 xx 22 2 1 1 22 22 21 21 2121 21 xx xx xxxx xfxf 因为 所以 又 所以 0 21 xx1 2 1 21 xx 0 2 1 1 21 xx 022 21 xx 0 21 xfxf 所以在上是增函数 xf 0 2 解 由得 即 得或 32522 xxxxx 2351 2 2 0423 2 2 xx 42 x 12 x 得 2 x 二 课后作业答案二 课后作业答案 1 选 D 2 选 原式 C b a ba ab baba 3 7 3 4 3 2 3 5 3 2 3 7 2 1 23 3 2 3 1 3 选 由指数函数单调性得 C 8 19 02 1 22 y 44 148 0 3 2 22 y 5 1 5 1 1 3 22 y 132 yyy 4 选 D 5 选 B 6 选 是增函数 所以在上单调递增 所以 解得C u uf2 1 1 2 2 xaxu 5 5 2 1 2 a 6 a 7 8 8 2 4 5 5 5 22 2 y x yx 8 5 原式5 2 1 1 2 1 2 3 2 5 2 1 1 16 1 8 27 4 25 43 9 根据指数函数恒过点可得出 4 3 x ay 1 0 10 由得 得 2 1 0 xfxf0 14 1 14 1 xx aa02 41 14 a x x 2 1 a 11 解 令 则 x u 2 1 8 4 1 u 在上单调递减 在上单调递增 4 3 2 1 1 22 uuuy 2 1 4 1 8 2 1 当 即时 当 即时 2 1 u1 x 4 3 min xf8 u3 x57 max xf 12 1 解 的定义域为 R 且 是奇函数 xf 1010 1010 xfxf xx xx xf 2 证明 方法一 110 2 1 110 110 1010 1010 22 2 xx x xx xx xf 令 x2 x1 则 110 110 1010 2 110 2 1 110 2 1 12 12 12 22 22 22 12 xx xx xx xfxf 当 x2 x1时 10 10 0 又 10 1 0 10 1 0 2 2x 1 2x 1 2x 2 2x 故当 x2 x1时 0 即 所以是增函数 12 xfxf 12 xfxf xf 方法二 考虑复合函数的增减性 由 110 2 1 1010 1010 2 xxx xx xf y1 10