八年级数学上册5.3应用_鸡兔同笼“鸡兔同笼”补遗素材.docx

“鸡兔同笼”补遗北师大版八年级（上）第五章第三节介绍了应用二元一次方程组-鸡兔同笼，本文再介绍与之相关的一些知识，供同学们学习时参考今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何？它出自我国古代数学著作孙子算经中著名的“雉兔同笼”问题书中给出的解法是：“上置头，下置足，半其足，以头除（此处除之意为除去即减去）足，以足除头，即得”书中先设“金鸡独立”，玉兔双腿（即“半其足”），这时共有腿数为942 = 47在这47条腿中，每数一条腿应该有一只鸡，而每数两条腿才有一只兔，所以：兔数为 4735 = 12，即“以头除足”鸡数为 3512 =23这道题用列二元一次方程组的方法可以很容易求解：设鸡有只，兔有只，则由题意，可得解这个方程组，得我们再把这个解法一般化：在一般情况下，设鸡有只，兔有只，A为鸡、兔总共只数，B为鸡、兔总共足数则解之，可得这就是说，兔数为腿数的二分之一（半其足），与总头数之差（以头除足）在古代朱世杰算学启蒙（1299年）永乐大典中的丁巨算法（1355年）严恭通原算法中，也载有鸡兔同笼问题，朱世杰的解法与孙子算经不同，而与现代的算术解法则几乎完全一样今有鸡兔100，共足272只，只云鸡足二，兔足四，问鸡兔各几何？其解法是：“列一百，以兔足乘之，得数内减共足余一百二十八为实，列鸡、兔足以少减多余二为法而一得鸡，反减一百即兔，合问”又术曰：“倍一百以减共足余半之即兔也”此即：鸡数 （1004272）（42） = 64兔数 10064 = 36或兔数 （2721002）2 = 36鸡数 10036 = 64吴敬九章算法比类大全（1450年）卷六也载有几个很有趣味的类似的诗词古体算题，如争强斗胜八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒两处争强来斗胜，二相胜负正交加三十六头齐厮打，一百八手乱相抓旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？吴敬原书的解法：置列互乘对减得 1083366 = 108为被除数，3816 = 18为除数，故：夜叉数为10818 = 6哪吒数为（366）3 = 10此法与现在的方程组解法相类似：设夜叉数为，哪吒数为，则解得“鸡兔同笼”问题，在我国民间流传十分广泛，民间流传有“野鸡兔子四十九，一百条腿地下走借问英贤能算士，野鸡兔子各多少？（请同学们自己列方程组解答）下面这道题是流传于我国民间的“板凳木马问题”它同“鸡兔问题”很相似板凳木马三十三，共足一百单；请问能算者，它们各若干？这道题的意思是：板凳木马的总数是33个，腿的总数是101条板凳、木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）解：设有板凳个，木马个，根据题意，得 解得即板凳有2条，木马有31个在李汝珍（约公元1763 1830）著的古典小说镜花缘中有这样一段趣味故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请众女才子们到府中的小鳌山观灯当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂着许多灯球，五彩缤纷，秀丽壮观，宛如列星，高低错落一时竟难分辨其有灯多少，卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目她告诉米兰芬：“楼上的灯有两种；一种上做三个大灯球，下缀六个小灯球；另一种上做三个大灯球，下缀18个小灯球楼下的灯也分两种：一种一个大球下缀两个小球；另一种是一个大球下缀四个小球”她请米兰芬算一算楼上楼下大小灯球各多少盏？米兰芬想了一想，请宝云命人查一查楼上楼下大小灯球各多少个查的结果是：楼上大灯球396个，小灯球1440个；楼下大灯球360个，小灯球1200个米兰芬采用孙子算经中雉兔同笼“的解法，先算楼下的：一大四小灯的盏数：12002360 = 240一大二小灯的盏数：360240 = 120楼上三大十八小的盏数：（14402396）6 = 54三大六小的盏数：（396354）3 = 78用列二元一次方程组的方法求解如下：解：设楼下一个大球下缀两个小球的灯有盏，一个大球下缀四个小球的灯有盏，根据题意，得 解得答：（略）请同学们用同样的方法算一算楼上两种灯的盏数在我国明朝永乐年间，由翰林学士解缙等人编撰的永乐大典中也有类似的题目，请看下面这道题：钱二十贯，买四百六十尺，绫每尺四十三，罗每尺四十四问绫、罗几何？这道题的意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文，罗的价格是每尺44文问买了绫、罗各多少尺？（贯：古代货币单位；文：古代货币单位1贯1000文；尺：已经废止使用的市制长度单位）经过我们仔细地观察、比较，可以发现，此题也可以归为“鸡兔问题”来求解解：设买绫尺，买罗尺，根据题意，得解得 即买绫240尺，买罗220尺在九章算术中的：“玉石问题”也属于这一类：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石方三寸，中有玉，并一十一斤问玉、石各重几何？（斤、两：都是已经废止使用的重量单位古代，1斤16两；寸：是已经废止使用的市制长度单位）这道题的意思是：宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，重量是11斤在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两？解：设这个正方体中宝玉寸，石料寸，根据题意，得 解得则有宝玉：14798（两）， 石料：13678（两）答：（略）中国的鸡兔问题后来传到了日本日本江户时代出版社出版的算法童子问一书中就有许多类似这样解法的题目下面这道题就是这本书中比较典型的一道：院子里有狗，厨房的菜墩上有章鱼狗和章鱼的总头数是14，总足数是96，求狗和章鱼各有多少（注：章鱼有8只足）解：设狗有条，章鱼有尾，根据题意，得 解得即有狗4条，有章鱼10尾列一次方程组解“鸡兔