《函数的概念》的教学设计

函数的概念函数的概念 的教学设计的教学设计 浙江省义乌市第三中学浙江省义乌市第三中学 陈向阳陈向阳 教材分析 本节课选自 普通高中课程标准实验教科书数学 必修本 A 版 的第一章 1 2 1 函 数的概念 函数是中学数学中最重要的基本概念之一 它贯穿在中学代数的始终 从初一 字母表示数开始引进了变量 使数学从静止的数的计算变成量的变化 而且变量之间也是 相互联系 相互依存 相互制约的 变量间的这种依存性就引出了函数 在初中已初步探 讨了函数概念 函数关系的表示法以及函数图象的绘制 到了高一再次学习函数 是对函 数概念的再认识 是利用集合与对应的思想来理解函数的定义 从而加深对函数概念的理 解 函数与数学中的其他知识紧密联系 与方程 不等式等知识都互相关联 互相转化 函数的学习也是今后继续研究数学的基础 在中学不仅学习函数的概念 性质 图象等知 识 尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程 函数是中学数学的主体内容 起着承上启下的作用 函数又是初等数学和高等数学衔 接的枢纽 特别在应用意识日益加深的今天 函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依 存又互有制约的关系 因此对函数概念的再认识 既有着不可替代的重要位置 又有着重 要的现实意义 本节的内容较多 分二课时 本课时的内容为 函数的概念 函数的三要 素 简单函数的定义域及值域的求法 区间表示等 第二课时内容为 函数概念的复习 较复杂函数的定义域及值域的求法 分段函数 函数图象等 学情分析 学生在学习本节内容之前 已经在初中学习过函数的概念 并且知道可以用函数描述 变量之间的依赖关系 然而 函数概念本身的表述较为抽象 学生对于动态与静态的认识 尚为薄弱 对函数概念的本质缺乏一定的认识 对进一步学习函数的图象与性质造成了一 定的难度 初中是用运动变化的观点对函数进行定义 虽然这种定义较为直观 但并未完 全揭示出函数概念的本质 例如 对于函数 如果用运动变化的观点去看它 就不好解释 显得牵强 是无理数时当 是有理数时当 x x xf 0 1 但如果用集合与对应的观点来解释 就十分自然 因此 用集合与对应的思想来理解函数 对函数概念的再认识 就很有必要 由于数学符号的抽象性 学生因此会望而却步 从而 影响了学生学习数学的积极性 高一学生虽然在初中已接触了函数的概念 但在重新学习 它时还是存在一定的障碍 其中一个原因就是对新引进的函数符号 y f x 不甚其解 教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素 以美启真 在本节课的教学过程中 教师应该给学生提供实践动手的机会 为学生创设熟悉的问题情境 引导学生观察 计算 思考 从而理解问题的本质 归纳总结出结论 学法指导 本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究 注 意借助熟悉的一次函数 二次函数 反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解 要重视 符号 f x 的学习 借助具体函数来理解符号 y f x 的含义 由具体到抽象 克服由抽象的 数学符号带来的理解困难 从而提高理解和运用数学符号的能力 教学目标 知识目标 通过丰富的实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数 学模型 用集合与对应的思想理解函数的概念 理解函数的三要素及函 数符号的深刻含义 会求一些简单函数的定义域及值域 能力目标能力目标 培养学生观察 类比 推理的能力 培养学生分析 判断 抽象 归纳 概括的逻辑思维能力 培养学生联系 对应 转化的辩证思想 强化 形 与 数 结合并相互转化的数学思想 情感目标情感目标 渗透数学思想和文化 激发学生观察 分析 探求的兴趣和热情 强化 学生参与意识 培养学生严谨的学习态度 获得积极的情感体验 体会 在探究过程中由特殊到一般 从具体到抽象 运动变化 相互联系 相 互制约 相互转化的辩证唯物主义观点 感受数学的简洁美 对称美 数与形的和谐统一美 树立 数学源于实践 又服务于实践 的数学应 用意识 教学重点教学重点 函数的概念及 y f x 的理解与深化 教学难点教学难点 函数的概念及函数符号 f x 的理解 教学关键教学关键 在集合与对应的基础上理解函数的概念 教学方法教学方法 以建构主义理论为指导 辅以多媒体手段 采用着重于学生探索研究的 启发式教学为主 变式教学为辅 及引导 探究 讲解 演练相结合 在教学过程中 多一点情境和归纳 多一点探索和发现 多一点思考和 回顾 通过不同形式的自主学习 探究活动 丰富和改善教与学的方式 体验数学发现和创造的历程 发展创新意识和实践能力 在课堂结构上 设计 创设情境创设情境 引入课题 引导探求引入课题 引导探求 形成知识 形成知识 变式训练变式训练 巩固知识 讨论研究巩固知识 讨论研究 深化知识 总结反思深化知识 总结反思 提高认提高认识识 任务后延任务后延 自主探究自主探究 这样几个主要环节 环环相扣 层层深入 以 期达到教学目标 设计思想设计思想 设计 环节 设计意图师生活动 一 创设 问题 情境 引出 课题 以实际问题为背景 以 学生熟悉的情境入手激活学 生的原有知识 形成学生的 再创造 欲望 让学生在 熟悉的环境中发现新知识 使新知识和原知识形成联系 同时也体现了数学的应用价 值 通过问题 2 这两个用已 有概念不太容易回答的问题 引发学生的认知冲突 有着 承上启下的作用 既是对初 中已学的函数概念的进一步 深入 又是为下一步用集合 语言来刻画函数的本质做好 伏笔 教师提出问题 1 我们在初中学习过函数的概念 它是如何定义的呢 在初中已经学过哪些函数 在学生回答的基础上出 示投影 我们已经学习了一些具体的函数 那么为什么还要学 习函数呢 先请同学们思考下面的两个问题 问题 2 由上述定义你能判断 y 1 是否表示一个 函数 函数 y x 与函数表示同一个函数吗 x x y 2 学生思考 讨论后 教师点拨 仅用上述函数概念很 难回答这些问题 我们需要从新的角度来认识函数概 念 这就是今天我们要学习的课题 函数的概念 板 书 二 借助 信息 技术 讨论 归纳 以实际问题为载体 以 信息技术的作图功能为辅助 在三个实例的教学中 重点 在于引导学生体会函数概念 中的对应关系 通过实例 1 体会用解析式刻画变量之 间的对应关系 关注 t 和 h 的范围 通过实例 2 体会用 图象刻画变量之间的对应关 师 实例 1 演示动画 用 几何画板 动态地显 示炮弹高度 h 关于炮弹发射时间 t 的函数 启发学生 观察 思考 讨论 尝试用集合与对应的语言描述变 量之间的依赖关系 在 t 的变化范围内 任给一个 t 按照给定的解析式 都有唯一的一个高度 h 与之 相对应 生 用计算器计算 然后用集合与对应的语言描述变 量之间的依赖关系 师 实例 2 引导学生看图 并启发 在 t 的变化 系 关注 t 和 S 的范围 通 过实例 3 体会用表格刻画变 量之间的对应关系 为了更好地使学生尝试 用集合与对应的语言进行描 述 可以利用信息技术设置 教学情境 通过学生的观察 思考 讨论来归纳结论 体 现了学生自主探究的学习方 式 让他们通过实践来进一 步体验到在集合对应观下的 函数内涵 也为学生应用信 息技术解决数学问题提供了 一种新的途径和方法 范围内 任给一个 t 按照给定的图象 都有唯一的 一个臭氧空洞面积 S 与之相对应 生 动手测量 然后用集合与对应的语言描述变量之 间的依赖关系 师生 实例 3 共同读表 然后用集合与对应的语 言描述变量之间的依赖关系 问题 3 分析 归纳以上三个实例 它们有什么共同 特点 生 分组讨论三个实例的共同特点 然后归纳出函数 定义 并在全班交流 师生 由学生概括 教师补充 引导学生归纳出三个 实例中变量之间的关系均可描述为 对于数集 A 中的每一个 x 按照某种对应关系 f 在 数集 B 中都有唯一确定的 y 与它对应 记作 f A B 三 从特 殊到 一般 引出 函数 概念 从特殊到一般 揭示数 学通常的发现过程 给学生 数学创造 的体验 这种 引出概念的方式自然而又易 于学生接受和形成概念 注重双语 规范数学概 念的理解 在涉及的每一个 数学概念其后注明英语 有 利于教师实施双语教学 也 有利于教师和学生阅读外文 数学材料 这也是体现新课 标实验教材的创新之处 函数 y f x 是学生学习 的难点 这是一个抽象的数 学符号 教学时首先要强调 符号 y f x 为 y 是 x 的 函数 这句话的数学表示 它仅仅是数学符号 而不是 表示 y 等于 f 与 x 的乘积 在有些问题中 对应关系 f 可用一个解析式表示 但在 不少问题中 对应关系 f 不 便用或不可能用解析式表示 而用其他方式 如图象 列 表 来表示 所以教师应向 学生明确指出 y f x 不一 定就是解析式 函数的表示 方式除了解析式外 还有其 它表示方法 如实例 2 的图 象法 实例 3 的列表法 问题 4 函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢 如果能 怎样给函数重新下一个定义呢 在学生回 答的基础上教师归纳总结 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对 应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个数 x 在数集 B 中都有唯一确定的 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 function 记作 y f x x A 自变量 x 的取值范围 A 叫做函 数的定义域 domain 与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 函数值的集合叫做函数的值域 range 在函数概念得出后 教师强调指出 y f x 仅 仅是数学符号 为了更好地理解函数符号 y f x 的含 义 教师提出下一个问题 问题 5 y f x 一定就是函数的解析式吗 师生 函数的解析式 图象 表格都是表示函数的方 法 补充练习 下列图象中不能作为函数的图 xfy 象的是 A B C D 启发并引导学生思考 讨论 交流 教师归纳总结出 函数的要点 1 函数是一种特殊的对应 非空数集到非空数集 的对应 2 函数的核心是对应法则 通常用记号 f 表示函数 的对应法则 在不同的函数中 f 的具体含义不一样 x y o 2 2 x y o 2 2 x y o 2 2 x y o 2 2 函数记号 y f x 表明 对于定义域 A 的任意一个 x 在 对应法则 f 的作用下 即在 B 中可得唯一的 y 当 x 在定义域中取一个确定的 a 对应的函数值即为 f a 集合 B 中并非所有的元素在定义域 A 中都有元素和 它对应 值域 BC 3 函数符号 y f x 的说明 1 y f x 即为 y 是 x 的函数 的符号表示 2 y f x 不一定能用解析式表示 3 f x 与 f a 是不同的 通常 f a 表示函数 f x 当 x a 时的函数 4 在同时研究两个或多个函数时 常用不同符号 表示不同的函数 除用符号 f x 外 还常用 g x F x x 等符号来表示 4 定义域是函数的重要组成部分 如 f x x x R 与 g x x x 0 是不同的两个函数 四 借助 熟悉 函数 平台 加深 对函 数概 念的 理解 设置问题 6 这个情境 目的是用函数的定义去解释 学过的一次函数 反比例函 数 二次函数 使得对函数 的描述性定义上升到集合与 对应语言刻画的定义 同时 利用信息技术工具画出函数 的图象 是让学生进一步体 会 数 与 形 结合在理 解函数中的作用 更好地帮 助理解上述函数的三个要素 从而加强学生对函数概念的 理解 进一步挖掘函数概念 中集合与函数的联系 明确 定义域 值域和对应关系是 决定函数的三要素 这是一 个整体 以此更好地培养学 生深层次思考问题的习惯 问题 6 集合 A A R 到集合 B B R 的对应 f A B 使得集合 B 中的元素与 0 abaxy 集合 A 中的元素 x 对应 如何表示这个函数 定义 域和值域各是什么 函数呢 函数 0 k x k y 呢 0 0 2 acbxaxy 教师演示动画 用 几何画板 显示这三种函数的动 态图象 启发学生观察 分析 并请同学们思考之后 填写下表 函数一次 函数 反比例 函数 二次函数 对应 关系 定义 域 值域 问题 7 函数的三要素是什么 教师引导学生归纳总结 函数的三要素是定义域 值 域及对应法则 在函数的三要素中 当其中的两要素 已确定时 则第三个要素也就随之确定了 如当函数 的定义域 对应法则已确定 则函数的值域也就确定 了 五 再创 情境 问题 8 利用学生思维的 空白处设置问题 能引起学 生探究的欲望 从而自然引 出以形求数的思想 接着 问题 8 比较函数的近代定义与传统定义的异同点 你对函数有什么新的认识 学生思考 讨论 教师点拨 函数近代定义与传统定义在实质上是一致的 两个定 0 a0 a 引导 探究 函数 概念 的新 认识 通过 引导 给学生解决后 续问题的方法 即观察图象 的方法 问题 9 引导学生对问题 2 进行反思和总结 并将之 一般化 利用数学语言来表 达 培养学生反思问题 总 结归纳的习惯和善于运用数 学语言抽象所发现的结论的 能力 义中的定义域与值域的意义完全相同 两个定义中的 对应法则实际上也一样 只不过叙述的出发点不同 传统定义是从运动变化的观点出发 近代定义的对应 法则是从集合与对应的观点出发 问题 9 学生在前面学习的基础上 反思对问题 2 的 解答 重新思考问题 2 谈谈自己的认识 教师启发 引导学生画图 以形求数 师生 是函数 1Rxy 与不是同一个函数 xy x x y 2 六 师生 释疑 深入 研究 问题 10 以学生已解决的 问题出发创设情境 引起学 生的学习兴趣 再次引发学 生在构建自身基础上的 再 创造 并通过独立思考后的 讨论 培养学生分析解决问 题 用数学语言交流沟通的 能力 设置问题 11 这个情境 是因为 区间概念 这段内 容并不难理解 所以可以先 让学生自已阅读 然后进行 不等式 区间与数轴表示的 互相转化 以此熟悉区间的 概念 问题 11 此情境的设置 是为学生提供了自主探究的 平台 从阅读学习中发现问 题 分析问题 解决问题 既符合了学生的心理特点 又注重了学生的思维过程 问题 10 如何判断两个函数是否相同 引导学生对问题 2 进行抽象概括并归纳总结 当两个函数的定义域 对应关系完全一致时 我 们就称这两个函数相等 问题 11 研读课本 叙述区间的概念 请同学们在 阅读后填写下表 定义名称符号数轴表示 闭区间 开区间 半开半 闭区间 教师指导学生自学 解决学生提出的问题 并指出说 明 1 区间是集合 2 区间的左端点必小于右端点 3 无穷大是一个符号 不是一个数 4 以 或 为区间的一端时 这一端 必须是小括号 七 举例 应用 深化 目标 例题是为了使学生更好 地理解函数定义而设置的 既考虑了数学思维的严谨性 也体现了数学知识的应用性 通过例 1 使学生学会 例 1 已知函数 2 1 3 x xxf 1 求函数的定义域 xf 2 求的值 3 2 3 ff 3 当时 求的值 0 a 1 afaf bxax ba bxax ba ba bxax a b ab bxax axx axx bxx bxx x y o 1 y 2 2 x y o xy 2 2 x y o x x y 2 2 2 求简单函数的定义域 以此 更好地突出重点 例 1 表明 当对应法则确定后 对于定 义域内的一个数 只要将它 代入解析式 就可求出它所 对应的函数值 进一步体会 函数记号的含义 例 2 表明判定两个函数 是否相同 不仅要看对应关 系是否一样 还要看定义域 是否相同 通过判断函数的 相等使学生认识到函数的整 体性 进一步加深学生对函 数概念的理解 例 3 的设置补充 其目 的既是第 22 页练习 3 与习题 3 的伏笔 也是为了让学生 体会到从特殊到一般的思想 方法 同时也后面研究函数 的性质 奇函数 作准备 变式训练的设计以一个问题 为背景 一题多用 一题多 变 由浅入深 体现梯度 使不同程度的学生都有发展 通过一组精心设计的问题链 来引导和激发学生的参与意 识 创新意识 培养学生探 究问题的能力 从而提升学 生的思维品质 借助三个变 式层层深入 是理论到实践 的升华 使概念深化 强化 类化 f 的作用与含义印入 心底 得到再次认同 初步 掌握与应用能力也就自然形 成了 让学生思考 并提问个别学生 师问 怎样求函数的定义域 追问 与有何区别与联系 xf af 点拨 表示当自变量时函数的值 afax xf 是一个常量 而是自变量的函数 它是一个 xfx 变量 是的一个特殊值 af xf 例 2 下列函数中哪个与函数 y x 相等 1 2 2 xy 33 xy 3 4 2 xy x x y 2 师问 判断函数相等的依据是什么 变式 若改 2 为呢 33 ty 思考 你能举出一些函数相等的具体例子吗 例 3 已知函数 2 Rxxxf 1 画出函数的图象 xf 2 求的值 afafafaf 3 你从 2 中发现了什么结论 4 求函数的值域 xf 教师引导学生解决此题的关键点 并进行变式 变式 1 已知 2 Rxxxf 当时 求函数的值域 20 x 当时 求函数的值域 2 1 0 1 2 x 变式 2 已知 2 Rxxxf 当函数值域为时 求函数定义域 4 2 当函数值域为时 求函数定义域 2 8 4 变式 3 1 已知 2 Rxxxf 求的值 12 1 xfaf 变式 3 2 已知 1 1 2 Raaaf 求函数 xf 八 练习 交流 反馈 巩固 利用课堂练习巩固所学 的知识内容 数学思想和方 法 以求达到教学目标 本 环节以个别指导为主 体现 面对全体学生的课改理念 课堂练习 课本第 22 页练习 1 2 3 以学生回答 板演的形式进行 充分发挥师与生 生与生的互动 以教师 学生相互交流来巩固本节课 的学习 九 学生 归纳 小结 关注学生学习的主动性 培养学生的合作意识 培养 学生表达交流数学的能力 自主小结