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数形结合也有简繁之分文章来源：现代教育报思维训练 作者：谢生苗 点击数：746 更新时间：2007-3-1 8:22:06 华罗庚先生的“数形结合百般好”的思想，在中学数学的学习中已深入人心，但如何结合才能更好或最好地探究，还没有引起我们足够的重视，以致对许多数形结合问题的解决还缺少反思与优化. 数形结合的核心与灵魂是“结合”.解题时，由于观察与联想的视角不同，会出现不同的“结合”，“结合”得好就得到好的解题方法，“结合”得不好就使解题过程繁琐且易出错，“结合”的优劣反映出了我们的基础与能力，也反映出我们思维灵活性与创造性的水平，“结合”的优化选择，应是数形结合法研究的重要一环.为便于说明，我们先看几例：【例1】已知方程mx=x+m有两个相异实根，求实数m的取值范围. 视角一：视方程mx=x+m两边的代数式为两个函数，分别画出函数y=mx，y=x+m的图象（如图1），由于两个函数中都含有m，故需进一步对m进行分类讨论，情况复杂.图1仅表示m0时的示意图. 视角二：由m0，先将原方程变形，得x-1=x，再视方程x-1=x两边的代数式为两个函数，分别画出函数y=x-1，y=x的图象（如图2），由图易看出： 当01或-10，即m1时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角三：用分离参数法，先将原方程化为=m. 分别作出函数y=，y=m的图象（如图3），由图易看出，当m1时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角四：用分离参数法，先将原方程化为. 当x0时，得1-=，当x0时，得-1-=. 分别作出函数y=，y=的图象（如图4），由图易看出，当01或-11或m-1时，两函 数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 可见，例1的各解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中的都含有m，因而他们的图象也是变化的，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便，又比视角二简单，不用讨论，这是因为视角二还有一个函数中含有m，而视角四中已不含m，所以这里以视角四为最理想.【例2】已知函数f（x）=ax2+bx且2f（1）4，1f（-1）2，求f（-2）的取值范围.这是我们常出错的题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知的数形结合法是线性规划法. 这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在 2a+b4 1a-b2 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b的最大（小）值问题.约束条件2a+b4，1a-b2的解集是非空集，在坐标平面上表示的区域是由直线：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所围成的封闭图形（图5中的阴影部分）. y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小，从图中易知当直线b=2a-y经过A（，），C（3，1）时截距分别为最小f（-2）=5和最大f（-2）=10. 所以5f（-2）10. 其实还可有如下数形结合法： 要求f（-2）的取值范围，只要确定f（-2）的最大（小）值，即找到f（x）的图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标，为此只要确定f（x）经过E、F时的函数表达式，由于f（x）=ax2+bx是经过原点（c=0）的抛物线系，所以只要再有两点就可确定，由已知2f（1）4，1f（-1）2，知f（x）在x=1时的最高点B（1，4），最低点A（1，2），f（x）在x=-1时的最高点D（-1，2），最低点C（-1，1），（如图6），由抛物线的图象特征易知经过F点的图象就是经过O、B、D的图象C2，经过E点的图象就是经过O、A、C的图象C1，于是： 将B（1，4），D（-1，2）坐标代入f（x）=ax2+bx得 解得a=3，b=1. 故图象经过O、B、D的函数为C2f（x）=3x2+x，所以 fmax（-2）=10. 将A（1，2），C（-1，1）的坐标代入f（x）=ax2+bx得 故图象经过O、A、C的函数为C1f（x）=x2+x，fmin（-2）=5. 所以5f（-2）10.【例3】正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cAk2.本题的难度较大，用代数方法一时是无从下手的.若能数形结合，揭示其条件a+A=b+B=c+C=k中隐含的几何背景联想到三数相等的几何图形是等边三角形，则可得如下简捷的证法. 证明：如图7， 作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取点L、M、N，使得QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c， 如果再观察a+A=b+B=c+C=k这个代数条件，从三数相等的几何图形是等边三角形，联想到四数相等a+A=b+B=c+C=k的几何图形是正方形.则又可作边长k的正方形（图8）. 由面积关系知其结论aB+bC+cAk2显然成立. 仅举三例，可见一斑，不但数形结合的确好，而且同是数形结合，也有不好与好之分，只有把握住“结合” 这一数形结合法的核心，才能把在由数到形这一变换、操作过程中的图形选择的多样性，变成解题的灵活性和创造性.在实际学习中要结合具体问题掌握一些常规的操作策略，例如要画的若是函数图象，那就要设法让要画图象的函数尽可能少含参变量，最好不含参变量，如果一定要含有，也要设法让它在较低次的函数（如一次函数）或在简单函数中含有.只有这样，才能从一个新的层面上去理解、掌握、运用好数形结合法. 在数形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的，“数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的